2019-2020学年新教材高中数学 第一章 集合与常用逻辑用语 1.3 集合的基本运算 第二课时

(一)教材梳理填空(1)全集一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的，那么就称这个集合为全集，通常记作.所有元素U(2)补集文字语言对于一个集合A，由全集U中集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作符号语言∁UA＝__________________图形语言运算性质∁UA⊆U，∁UU＝∅，∁U∅＝，∁U(∁UA)＝，A∪(∁UA)＝，A∩(∁UA)＝不属于∁UA{x|x∈U，且x∉A}UAU∅(二)基本知能小试1．判断正误(1)全集一定含有任何元素．()(2)集合∁RA＝∁QA.()(3)一个集合的补集一定含有元素．()(4)研究A在U中的补集时，A可以不是U的子集．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．已知全集U＝{－1,0,1}，且∁UA＝{0}，则A＝()A．{－1,1}B．{－1,0,1}C．{0,1}D．{－1,0}解析：∵U＝{－1,0,1}，∁UA＝{0}，∴A＝{－1,1}．答案：A3．设全集为U，M＝{1,2}，∁UM＝{3}，则U＝()A．{1,2}B．{3}C．{1,2,3}D．{2,3}解析：U＝M∪∁UM＝{1,2}∪{3}＝{1,2,3}．答案：C4．若集合A＝{x|x＞1}，则∁RA＝()A．{x|x1}B．{x|x≤1}C．{x|x1}D．{x|x≥1}解析：∵A＝{x|x＞1}，∴∁RA＝{x|x≤1}．答案：B题型一补集的运算[学透用活](1)补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割．一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素逃不出全集的范围．(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A为全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的．(3)符号∁UA有三层意思：①A是U的子集，即A⊆U；②∁UA表示一个集合，且(∁UA)⊆U；③∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．(4)若x∈U，则x∈A或x∈∁UA，二者必居其一．[典例1](1)已知全集为U，集合A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，∁UB＝{1,4,6}，则集合B＝________.[解析]法一：∵A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}．又∁UB＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}．法二：借助Venn图，如图所示．由图可知B＝{2,3,5,7}．[答案]{2,3,5,7}(2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x＜5}，则∁UA＝________.[解析]将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示．由补集定义可得∁UA＝{x|x＜－3或x＝5}．[答案]{x|x＜－3或x＝5}[方法技巧]求集合补集的策略(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合补集的定义来求解．另外，针对此类问题，在解答过程中也常常借助Venn图来求解，这样处理相对来说比较直观、形象，且解答时不易出错．(2)如果所给集合是无限集，在解答有关集合补集问题时，则常借助数轴，先把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后根据补集的定义求解．[对点练清]1．若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，则∁UA等于()A．{x|0＜x＜2}B．{x|0≤x＜2}C．{x|0＜x≤2}D．{x|0≤x≤2}解析：∵U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈R|－2≤x≤0}，∴∁UA＝{x|0＜x≤2}，故选C.答案：C2．已知全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，集合A＝{(x，y)|xy＞0}，则∁UA＝________.解析：A＝{(x，y)|xy＞0}表示平面直角坐标系中第一、三象限的点，其补集应为第二、四象限的点及坐标轴上的点．答案：{(x，y)|xy≤0}3．设全集S＝{1,2,3,4}，且A＝{x∈S|x2－5x＋m＝0}，若∁SA＝{2,3}，则m＝________.解析：因为S＝{1,2,3,4}，∁SA＝{2,3}，所以A＝{1,4}，即1,4是方程x2－5x＋m＝0的两根，由根与系数的关系可得m＝1×4＝4.答案：4题型二集合的交、并、补集的综合运算[学透用活][典例2]已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}．(1)求A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁UB)；(2)求∁U(A∪B)和∁U(A∩B)．[解](1)因为A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}，所以∁UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，∁UB＝{x|x＜－3或2＜x≤4}，所以A∩B＝{x|－2＜x≤2}，(∁UA)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}，A∩(∁UB)＝{x|2＜x＜3}．(2)由条件知A∪B＝{x|－3≤x＜3}，所以∁U(A∪B)＝{x|x＜－3或3≤x≤4}．又A∩B＝{x|－2＜x≤2}，所以∁U(A∩B)＝{x|x≤－2或2＜x≤4}．[方法技巧]解决集合运算问题的方法(1)要进行集合运算时，首先必须熟练掌握基本运算法则，可按照如下口诀进行：交集元素仔细找，属于A且属于B；并集元素勿遗漏，切忌重复仅取一；全集U是大范围，去掉U中A元素，剩余元素成补集．(2)解决集合的混合运算问题时，一般先运算括号内的部分，如求(∁UA)∩B时，先求出∁UA，再求交集；求∁U(A∪B)时，先求出A∪B，再求补集．(3)当集合是用列举法表示时(如数集)，可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时(如不等式形式表示的集合)，则可运用数轴求解．[对点练清]1．设全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，M＝{1,3,5,7}，N＝{5,6,7}，则∁U(M∪N)＝()A．{5,7}B．{2,4}C．{2,4,8}D．{1,3,5,6,7}解析：∵M∪N＝{1,3,5,7}∪{5,6,7}＝{1,3,5,6,7}，∴∁U(M∪N)＝{2,4,8}．答案：C2．设全集U＝M∪N＝{1,2,3,4,5}，M∩(∁UN)＝{2,4}，则N＝()A．{1,2,3}B．{1,3,5}C．{1,4,5}D．{2,3,4}解析：画出Venn图，阴影部分为M∩(∁UN)＝{2,4}，所以N＝{1,3,5}．答案：B3．已知全集U＝R，集合A＝{x|x＋1＜0}，B＝{x|x－3＜0}，那么集合(∁UA)∩B＝()A．{x|－1≤x＜3}B．{x|－1＜x＜3}C．{x|x＜－1}D．{x|x＞3}解析：∵A＝{x|x＋1＜0}＝{x|x＜－1}，B＝{x|x－3＜0}＝{x|x＜3}，∴∁UA＝{x|x≥－1}，∴(∁UA)∩B＝{x|－1≤x＜3}．答案：A题型三与补集有关的求参数问题[学透用活][典例3]设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2x4}，全集U＝R，且(∁UA)∩B＝∅，求实数m的取值范围．[解]由已知A＝{x|x≥－m}，得∁UA＝{x|x－m}，因为B＝{x|－2x4}，(∁UA)∩B＝∅，所以－m≤－2，即m≥2，所以m的取值范围是{m|m≥2}．[方法技巧]由集合的补集求解参数的问题(1)如果所给集合是有限集，由补集求参数问题时，可利用补集定义并结合知识求解．(2)如果所给集合是无限集，与集合交、并、补运算有关的求参数问题时，一般利用数轴分析法求解．[对点练清]1．[变条件]本例将条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UA)∩B≠∅”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？解：由已知得A＝{x|x≥－m}，所以∁UA＝{x|x－m}，又(∁UA)∩B≠∅，所以－m－2，解得m2.所以m的取值范围是{m|m2}．2．[变条件]本例将条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UB)∪A＝R”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？解：由已知A＝{x|x≥－m}，∁UB＝{x|x≤－2或x≥4}．又(∁UB)∪A＝R，所以－m≤－2，解得m≥2.所以m的取值范围是{m|m≥2}．3．已知集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|m＜x＜m＋9}，若(∁RA)∩B＝B，求实数m的取值范围．解：∁RA＝{x|x≤－2或x≥3}，由(∁RA)∩B＝B，得B⊆∁RA，∴m＋9≤－2或m≥3.故m的取值范围是{m|m≤－11或m≥3}．[课堂一刻钟巩固训练]一、基础经典题1．已知U＝R，集合A＝{x|x＜－2或x＞2}，则∁UA＝()A．{x|－2＜x＜2}B．{x|x＜－2或x＞2}C．{x|－2≤x≤2}D．{x|x≤－2或x≥2}解析：根据补集的定义可得∁UA＝{x|－2≤x≤2}．答案：C2．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{1,2,5}，∁UB＝{4,5,6}，则A∩B＝()A．{1,2}B．{5}C．{1,2,3}D．{3,4,6}解析：因为∁UB＝{4,5,6}，所以B＝{1,2,3}，所以A∩B＝{1,2,5}∩{1,2,3}＝{1,2}，故选A.答案：A3．已知全集S＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|x2＋y2≠0}，用列举法表示集合∁SA＝________.解析：∁SA＝{(x，y)|x2＋y2＝0}＝{(0,0)}．答案：{(0,0)}4．已知全集U＝R，M＝{x|－1x1}，∁UN＝{x|0x2}，那么集合M∪N＝________.解析：∵U＝R，∁UN＝{x|0x2}，∴N＝{x|x≤0或x≥2}，∴M∪N＝{x|－1x1}∪{x|x≤0或x≥2}＝{x|x1或x≥2}．答案：{x|x1或x≥2}二、创新应用题5．已知集合A＝{x|xa}，B＝{x|x－1，或x0}．若A∩(∁RB)＝∅，求实数a的取值范围．解：∵B＝{x|x－1，或x0}，∴∁RB＝{x|－1≤x≤0}，因而要使A∩(∁RB)＝∅，结合数轴分析(如图)，可得a≤－1.即实数a的取值范围是{a|a≤－1}．