2019-2020学年新教材高中数学 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1.2 集合的基本关系课件 新

第一章集合与常用逻辑用语1．1.2集合的基本关系第一章集合与常用逻辑用语考点学习目标核心素养子集、真子集的概念理解子集、真子集的概念，会用列举法求有限集的所有子集数学抽象集合关系的判定能用符号和维恩图表达集合间的关系，会判断两个集合间的关系数学抽象、逻辑推理集合关系的应用能根据集合的关系解决简单的求参问题逻辑推理、数学运算问题导学预习教材P9－P13，思考以下问题：1．集合与集合之间的关系有哪几种？如何用符号表示这些关系？2．集合的子集是什么？真子集又是什么？如何用符号表示？3．集合相等的概念是什么？1．子集(1)概念：一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集．(2)记法：A⊆B(或B⊇A)(3)读法：A包含于B(或“B包含A”)(4)如果A不是B的子集，记作A⊆/B(或B⊉A)，读作“A不包含于B”(或“B不包含A”)．(5)性质：A⊆A；∅⊆A.■名师点拨“集合A是集合B的子集”可以表述为：若x∈A，则x∈B.2．真子集(1)概念：一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集．(2)记法：AB(或BA)(3)读法：A真包含于B(或“B真包含A”)(4)性质：对于集合A，B，C，①如果A⊆B，B⊆C，则A_____C；②如果AB，BC，则A_____C.⊆■名师点拨在真子集的定义中，AB首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.内部3．维恩图如果用平面上一条封闭曲线的______来表示集合，这种示意图通常称为维恩图．■名师点拨表示集合的维恩图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形，也可以是其他封闭曲线．4．集合的相等与子集的关系(1)一般地，如果集合A和集合B的元素____________，则称集合A与集合B相等，记作________，读作“A等于B”．(2)由集合相等以及子集的定义可知：如果________且________，则A＝B；反之，如果A＝B，则________且________．完全相同A＝BA⊆BB⊆AA⊆BB⊆A■名师点拨若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素的排列顺序无关．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“∈”“⊆”的意义是一样的．()(2)空集是任何集合的真子集．()(3)若集合A是集合B的真子集，则集合B中必定存在元素不在集合A中．()(4)若a∈A，集合A是集合B的子集，则必定有a∈B.()(5){1，2，3}＝{3，2，1}．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√已知集合M＝{1}，N＝{1，2，3}，能够准确表示集合M与N之间关系的是()A．MNB．M∈NC．N⊆MD．MN答案：D已知集合A＝{x|x是三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}，C＝{x|x是等腰直角三角形}，D＝{x|x是等边三角形}，则()A．A⊆BB．C⊆BC．D⊆CD．A⊆D解析：选B.因为等腰直角三角形必为等腰三角形，所以C⊆B.已知集合A＝{0，1}，B＝{－1，0，a＋3}，且A⊆B，则a＝________．解析：因为A⊆B，所以a＋3＝1，即a＝－2.答案：－2指出下列各对集合之间的关系：(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；(2)A＝(－1，4)，B＝(－∞，5)；(3)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．集合间关系的判断【解】(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．(2)用数轴表示区间A，B，如图所示，由图可知AB.(3)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB.(4)两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM.1．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的维恩图是()解析：选B.解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0，1}，易得NM，其对应的维恩图如选项B所示．2．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1，2}，C＝{x|x8，x∈N}，用适当的符号填空：(1)A________B；(2)A________C；(3){2}________C；(4)2________C.解析：集合A为方程x2－3x＋2＝0的解集，即A＝{1，2}，而C＝{x|x8，x∈N}＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．故(1)A＝B；(2)AC；(3){2}C；(4)2∈C.答案：(1)＝(2)(3)(4)∈(1)(2019·安庆检测)已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|0x5}，则满足条件ACB的集合C的个数为()A．1B．2C．3D．4子集、真子集的个数问题(2)已知集合A＝{x∈R|x2＝a}，使集合A的子集个数为2的a的值为()A．－2B．4C．0D．以上答案都不是(3)若集合A＝{2，3，4}，B＝{x|x＝mn，m，n∈A且m≠n}，则集合B的非空真子集的个数为()A．3B．6C．7D．8【解析】(1)由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，所以A＝{1，2}．由题意知B＝{1，2，3，4}，所以满足条件的C可为{1，2，3}，{1，2，4}．(2)由题意知，集合A中只有1个元素，必有x2＝a只有一个解；若方程x2＝a只有一个解，必有a＝0.(3)由题意A＝{2，3，4}，B＝{x|x＝mn，m，n∈A且m≠n}，可知B＝{6，8，12}，所以集合B的非空真子集的个数为23－2＝6.【答案】(1)B(2)C(3)B(变条件)若将本例(1)的条件改为{2，3}⊆C⊆{1，2，3，4，5}，试写出集合C的所有可能．解：当C中含有两个元素时，C为{2，3}；当C中含有三个元素时，C为{2，3，1}，{2，3，4}，{2，3，5}；当C中含有四个元素时，C为{2，3，1，4}，{2，3，1，5}，{2，3，4，5}；当C中含有五个元素时，C为{2，3，1，4，5}，所以满足条件的集合C为{2，3}，{2，3，1}{2，3，4}，{2，3，5}，{2，3，1，4}，{2，3，1，5}，{2，3，4，5}，{2，3，1，4，5}．(1)求集合子集、真子集个数的3个步骤(2)与子集、真子集个数有关的4个结论假设集合A中含有n个元素，则有①A的子集的个数有2n个；②A的非空子集的个数有2n－1个；③A的真子集的个数有2n－1个；④A的非空真子集的个数有2n－2个．若集合A{1，2，3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合有________个．解析：若A中含有一个奇数，则A可能为{1}，{3}，{1，2}，{3，2}；若A中含有两个奇数，则A＝{1，3}．答案：5(1)给出以下5组集合：①M＝{(－5，3)}，N＝{－5，3}；②M＝{1，－3}，N＝{3，－1}；③M＝∅，N＝{0}；④M＝{π}，N＝{3.1415}；⑤M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{y|y2－3y＋2＝0}．其中是相等集合的有()A．1组B．2组C．3组D．4组集合相等(2)设集合M＝{1，x，y}，N＝{x，x2，xy}，且M＝N，则x2019＋y2018＝________．【解析】(1)对于①，M＝{(－5，3)}中只有一个元素(－5，3)，N＝{－5，3}中有两个元素－5，3，故M，N不是相等集合；对于②，M＝{1，－3}，N＝{3，－1}，集合M和集合N中的元素不同，故M，N不是相等集合；对于③，M＝∅，N＝{0}，M是空集，N中有一个元素0，故M，N不是相等集合；对于④，M＝{π}，N＝{3.1415}，M和N中各有一个元素，但元素不相同，故M，N不是相等集合；对于⑤，M和N都只有两个元素1，2，所以M和N是相等集合．故选A.(2)因为M＝N，所以x2＝1，xy＝y或x2＝y，xy＝1.由集合中元素的互异性，可知x≠1，解得x＝－1，y＝0所以x2019＋y2018＝－1.【答案】(1)A(2)－1(1)两个集合是否相等，不能只从集合的形式上看，应该先确定这两个集合的所有元素，再根据集合相等的定义进行判断．(2)根据集合相等求系数，应从集合相等的概念入手，寻找两个集合中元素之间的关系．首先分析一个集合中元素与另一个集合中哪个元素相等，共有几种情况，然后通过列方程(组)求解．当集合中未知元素不止一个时，往往要分类讨论．求出参数值后要注意检验是否满足集合中元素的互异性．设a，b∈R，若集合{1，a＋b，a}＝0，ba，b，则a－b＝________．解析：因为{1，a＋b，a}中含有元素0，a≠0，所以a＋b＝0，所以0，ba，b＝{0，－1，b}．由已知{1，a＋b，a}＝0，ba，b，得{1，0，a}＝{0，－1，b}，所以a＝－1，b＝1，所以a－b＝－2.答案：－2已知区间A＝[－3，4]，B＝(1，m)(m1)，且B⊆A，则实数m的取值范围是________．由集合间的包含关系求参数【解析】由于B⊆A，结合数轴分析可知，m≤4，又m1，所以1m≤4.【答案】1m≤41．(变条件)本例若将“B＝(1，m)(m1)”改为“B＝(1，m)”，其他条件不变，则实数m的取值范围又是什么？解：若m≤1，则B＝∅，满足B⊆A.若m1，则由例题解析可知1m≤4.综上可知m≤4.2．(变条件)本例若将“B＝(1，m)(m1)”改为“B＝(2m－1，m＋1)”，其他条件不变，则实数m的取值范围又是什么？解：因为B⊆A，(1)当B＝∅时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.(2)当B≠∅时，有－3≤2m－1，m＋1≤4，2m－1＜m＋1，解得－1≤m2.综上得m≥－1.由集合间的包含关系求参数的方法(1)当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论；(2)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点．[注意](1)不能忽视集合为∅的情形．(2)当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论．已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，BA，求m的值．解：A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3，2}．因为BA，所以B＝{－3}或B＝{2}或B＝∅.当B＝{－3}时，由m·(－3)＋1＝0，得m＝13.当B＝{2}时，由m·2＋1＝0，得m＝－12.当B＝∅时，m＝0.综上所述，m＝13或m＝－12或m＝0.1．已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间的最适合的关系是()A．A⊆BB．A⊇BC．ABD．AB解析：选D.集合A是能被3整除的整数组成的集合，集合B是能被6整除的整数组成的集合，所以BA.2．满足{a}⊆M{a，b，c，d}的集合M共有()A．6个B．7个C．8个D．15个解析：选B.依题意a∈M，且M{a，b，c，d}，因此M中必含有元素a，且可含有元素b，c，d中的0个、1个或2个，即M的个数等于集合{b，c，d}的真子集的个数，有23－1＝7(个)．3．设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，则实数x的值为________，y的值为________．解析：因为集合A＝B，则x＝0或y＝0.①当x＝0时，x2＝0，则B＝{0，0}，不满足集合中元素的互异性，故舍去；②当y＝0时，x＝x2，解得x＝0或x＝1，由①知x＝0应舍去，故x＝1.综上可知，x＝1，y＝0.答案：104．设集合A＝{1，3，a}，B＝{1，1－2a}，且B⊆A，则a的值为________．解析：由题意得1－2a＝3或1－2a＝a，解得a＝－1或a＝13.当a＝－1时，A＝{1，3，－1}，B＝{1，3}，符合条件．当a＝13时，A＝1，3，13，B＝1，1