2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.4.2.2 正弦函数、余弦函数的单调性与

知识点正、余弦函数的图象与性质正弦函数余弦函数图象值域[－1,1][－1,1]单调性在_____________(k∈Z)上递增，在______________(k∈Z)上递减在___________(k∈Z)上递增，在____________(k∈Z)上递减最值x＝________(k∈Z)时，ymax＝1；x＝________(k∈Z)时，ymin＝－1x＝____(k∈Z)时，ymax＝1；x＝______(k∈Z)时，ymin＝－12kπ－π2，2kπ＋π22kπ＋π2，2kπ＋3π2[2kπ－π，2kπ][2kπ，2kπ＋π]2kπ＋π22kπ－π22kπ2kπ＋π状元随笔(1)正、余弦函数的单调性：①求解或判断正弦函数、余弦函数的单调区间(或单调性)是求与之相关的复合函数值域(最值)关键的一步；②单调区间要在定义域内求解；③确定含有正弦函数或余弦函数的复合函数的单调性时，要注意用复合函数法来判断．(2)正、余弦函数的最值①明确正、余弦函数的有界性，即|sinx|≤1,|cosx|≤1；②对有些函数，其最值不一定就是1或－1，要依赖函数的定义域来决定；③形如y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的函数求最值时，通常利用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝Asinz的形式求最值．[教材解难]教材P207思考能．y＝sin－12x＋π3＝－sin12x－π3，要求y＝－sin12x－π3的单调递增区间，即求y＝sin12x－π3的单调递减区间．令z＝12x－π3，则函数y＝sinz的单调递减区间为π2＋2kπ，32π＋2kπ(k∈Z)．由π2＋2kπ≤12x－π3≤32π＋2kπ，k∈Z.得53π＋4kπ≤x≤113π＋4kπ，k∈Z.又x∈[－2π，2π]∴－2π≤x≤－π3，53π≤x≤2π故函数y＝sin－12x－π3在[－2π，2π]上的单调增区间是－2π，－π3，53π，2π.[基础自测]1．函数y＝sinx＋π2，x∈R在()A.－π2，π2上是增函数B．[0，π]上是减函数C．[－π，0]上是减函数D．[－π，π]上是减函数解析：y＝sinx＋π2＝cosx，所以在区间[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数．答案：B2．下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是()A．y＝cos|x|B．y＝cos|－x|C．y＝sinx－π2D．y＝－sinx2解析：y＝cos|x|在0，π2上是减函数，排除A；y＝cos|－x|＝cos|x|，排除B；y＝sinx－π2＝－sinπ2－x＝－cosx是偶函数，且在(0，π)上单调递增，符合题意；y＝－sinx2在(0，π)上是单调递减的．答案：C3．函数y＝1－2cosπ2x的最小值，最大值分别是()A．－1,3B．－1,1C．0,3D．0,1解析：∵－1≤cosπ2x≤1，∴－1≤y≤3.答案：A4．比较大小：sin3π5________cosπ5.解析：sin3π5＝sinπ2＋π10＝cosπ10.∵0＜π10＜π5＜π，y＝cosx在[0，π]上递减，∴cosπ10＞cosπ5，即sin3π5＞cosπ5.答案：＞题型一正、余弦函数的单调性[经典例题]例1(1)函数f(x)＝sinx＋π6的一个递减区间是()A.－π2，π2B．[－π，0]C.－23π，23πD.π3，4π3(2)函数y＝cos2x－π3的单调递增区间是________．【解析】(1)由π3≤x≤43π，可得π2≤x＋π6≤32π.所以π3，4π3是函数的一个减区间．(2)因为－π＋2kπ≤2x－π3≤2kπ，k∈Z.所以kπ－π3≤x≤kπ＋π6，k∈Z.【答案】(1)D(2)kπ－π3，kπ＋π6(k∈Z)(1)由A，B，C，D中x的范围，求出x＋π6的范围，验证是否为减区间．(2)将2x－π3代入到[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z中，解出x的范围，即可得增区间．方法归纳求与正、余弦函数有关的单调区间的策略及注意点(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．(2)在求形如y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asinz的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝Acos(ωx＋φ)(A0，ω0)的函数的单调区间同上．(3)①ω0时，一般用诱导公式转化为－ω0后求解；②若A0，则单调性相反．跟踪训练1(1)下列函数，在π2，π上是增函数的是()A.y＝sinxB．y＝cosxC．y＝sin2xD．y＝cos2x(2)求函数y＝2sinπ3－2x的单调递增区间．解析：(1)因为y＝sinx与y＝cosx在π2，π上都是减函数，所以排除A，B.因为π2≤x≤π，所以π≤2x≤2π.因为y＝sin2x在2x∈[π，2π]内不具有单调性，所以排除C.(2)由y＝2sinπ3－2x，得y＝－2sin2x－π3.∴要求函数y＝2sinπ3－2x的单调递增区间，只需求出函数y＝2sin2x－π3的单调递减区间．令π2＋2kπ≤2x－π3≤3π2＋2kπ，k∈Z，解之得5π12＋kπ≤x≤11π12＋kπ，k∈Z.∴函数的单调递增区间为5π12＋kπ，11π12＋kπ(k∈Z)．答案：(1)D(2)5π12＋kπ，11π12＋kπ(k∈Z)(1)逐个验证选项把不符合题意的排除．(2)首先利用诱导公式化简函数为y＝－2sin2x－π3，再利用性质求增区间．题型二比较三角函数值的大小[教材P206例4]例2不通过求值，比较下列各组数的大小：(1)sin－π18与sin－π10；(2)cos－23π5与cos－17π4.解析：(1)因为－π2－π10－π180，正弦函数y＝sinx在区间－π2，0上单调递增，所以sin－π18sin－π10.(2)cos－23π5＝cos23π5＝cos3π5，cos－17π4＝cos17π4＝cosπ4.因为0π43π5π，且函数y＝cosx在区间[0，π]上单调递减，所以cosπ4cos3π5，即cos－17π4cos－23π5.可利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小．为此，先用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，然后再比较大小．教材反思比较三角函数值大小的方法(1)利用诱导公式转化为求锐角三角函数值．(2)不同名的函数化为同名函数．(3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间．跟踪训练2比较下列各组数的大小．(1)sin－376π与sin493π；(2)cos870°与sin980°.解析：(1)sin－376π＝sin－6π－π6＝sin－π6，sin493π＝sin16π＋π3＝sinπ3，因为y＝sinx在－π2，π2上是增函数，所以sin－π6sinπ3，即sin－376πsin493π.(2)cos870°＝cos(720°＋150°)＝cos150°，sin980°＝sin(720°＋260°)＝sin260°＝sin(90°＋170°)＝cos170°，因为0°150°170°180°，所以cos150°cos170°，即cos870°sin980°.首先利用诱导公式化成同名的三角函数，把角转化为同一单调区间，最后利用函数的单调性比较大小．题型三正、余弦函数的最值问题[经典例题]例3函数y＝2cos2x＋π6－1的最小值是____________，此时x＝________.【解析】当2x＋π6＝π＋2kπ，k∈Z，x＝5π12＋kπ，k∈Z时，ymin＝－2－1＝－3.【答案】－35π12＋kπ，k∈Z观察函数解析式特点，由y＝cos2x＋π6的最小值，求函数y＝2cos2x＋π6－1的最小值，并求x的取值．方法归纳求正、余弦函数最值问题的关注点(1)形如y＝asinx(或y＝acosx)的函数的最值要注意对a的讨论．(2)将函数式转化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式．(3)换元后配方利用二次函数求最值．跟踪训练3求下列函数的值域：(1)y＝cosx＋π6，x∈0，π2；(2)y＝2sin2x＋2sinx－12，x∈π6，5π6.解析(1)由y＝cosx＋π6，x∈0，π2可得x＋π6∈π6，2π3，函数y＝cosx在区间π6，2π3上单调递减，所以函数的值域为－12，32.(2)令t＝sinx，∴y＝2t2＋2t－12＝2t＋122－1.∵x∈π6，5π6，∴12≤sinx≤1，即12≤t≤1，∴1≤y≤72，∴函数f(x)的值域为1，72.(1)先由x的范围求出x＋π6的范围，再求值域．(2)先换元令t＝sinx，再利用二次函数求值域．