2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.3.1 诱导公式（一）课件 新人教A版必

知识点状元随笔诱导公式一～四的理解(1)公式一～四中角α是任意角．(2)公式一概括为：终边相同的角的同名三角函数值相等．(3)公式一、二、三、四都叫诱导公式，它们可概括如下：①记忆方法：2kπ＋α，－α，π±α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“函数名不变，符号看象限”．②解释：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原函数名在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值，如sin(π＋α)，若α看成锐角，则π＋α的终边在第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin(π＋α)＝－sinα.[教材解难]教材P190思考利用公式一～公式四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行：[基础自测]1．对于诱导公式中的角α，下列说法正确的是()A．α一定是锐角B．0≤α2πC．α一定是正角D．α是使公式有意义的任意角解析：诱导公式中的角α是使公式有意义的任意角．答案：D2．sin600°的值是()A.12B．－12C.32D．－32解析：sin600°＝sin(600°－720°)＝sin(－120°)＝－sin120°＝－sin60°＝－32.答案：D3．若sin(π＋α)＝－12，则sin(4π－α)的值是()A．－12B.12C．－32D.32解析：∵sin(π＋α)＝－12，∴sinα＝12，sin(4π－α)＝－sinα＝－12.答案：A4．化简：cos－αtan7π＋αsinπ＋α＝________.解析：原式＝cosαtanα－sinα＝－sinαsinα＝－1.答案：－1题型一给角求值问题[经典例题]例1(1)sin43π·cos56π·tan－43π的值是()A.－343B.343C．－34D.34(2)求下列三角函数式的值：①sin(－330°)·cos210°.②3sin(－1200°)·tan(－30°)－cos585°·tan(－1665°)．【解析】(1)sin43π·cos56π·tan－43π＝sinπ＋π3cosπ－π6tan－2π＋2π3＝－sinπ3·－cosπ6tanπ－π3＝－32·－32·(－3)＝－334.(2)①sin(－330°)·cos210°＝sin(30°－360°)cos(180°＋30°)＝sin30°·(－cos30°)＝12×－32＝－34.②3sin(－1200°)·tan(－30°)－cos585°·tan(－1665°)＝－3sin1200°·－33－cos(720°－135°)·tan(－9×180°－45°)＝sin(1080°＋120°)－cos135°·tan(－45°)＝32－－22×(－1)＝3－22.答案：(1)A(2)①－34②3－22负角化正角，大角化小角，直到化为锐角求值．方法归纳利用诱导公式解决给角求值问题的方法(1)“负化正”；(2)“大化小”，用公式一将角化为0°到360°间的角；(3)“小化锐”，用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；(4)“锐求值”，得到锐角的三角函数后求值．跟踪训练1(1)sin4π3＋tan7π6的值为()A.36B．－33C．－36D.33(2)sin2120°＋cos180°＋tan45°－cos2(－330°)＋sin(－210°)＝________.解析：(1)原式＝－sinπ3＋tanπ6＝－32＋33＝－36.故选C.(2)原式＝sin260°＋(－1)＋1－cos230°＋sin30°＝322－322＋12＝12.答案：(1)C(2)12首先利用诱导公式把角化为锐角再求值．题型二已知三角函数值求相关角的三角函数值[经典例题]例2若sin(π＋α)＝12，α∈－π2，0，则tan(π－α)等于()A.－12B．－32C．－3D.33【解析】因为sin(π＋α)＝－sinα，根据条件得sinα＝－12，又α∈－π2，0，所以cosα＝1－sin2α＝32.所以tanα＝sinαcosα＝－13＝－33.所以tan(π－α)＝－tanα＝33.故选D.【答案】D将已知条件利用诱导公式化简，建立要求的因式与已知条件的联系从而求值．方法归纳解决条件求值问题的方法(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．跟踪训练2已知α为第二象限角，且sinα＝35，则tan(π＋α)的值是()A.43B.34C．－43D．－34解析：因为sinα＝35且α为第二象限角，所以cosα＝－1－sin2α＝－45，所以tanα＝sinαcosα＝－34.所以tan(π＋α)＝tanα＝－34.故选D.答案：D先由正弦求余弦时，注意α的范围，最后利用诱导公式求值．题型三三角函数式的化简与证明[教材P190例2]例3化简cos180°＋αsinα＋360°tan－α－180°cos－180°＋α.解析：tan(－α－180°)＝tan[－(180°＋α)]＝－tan(180°＋α)＝－tanα，cos(－180°＋α)＝cos[－(180°－α)]＝cos(180°－α)＝－cosα，所以原式＝－cosαsinα－tanα－cosα＝－cosα.用诱导公式消除角的差异→用同角三角函数关系消除名称差异教材反思利用诱导公式一～四化简应注意的问题(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；(2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变；(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切．跟踪训练3证明：sinα－2018πcosα＋2019πsin－αcosα－2πcosα＋2018πsinα＋2018π＝tanα.解析：证明：sinα－2018πcosα＋2019πsin－αcosα－2πcosα＋2018πsinα＋2018π＝sinα－cosα－sinαcosαcosαsinα＝tanα.状元随笔证明三角恒等式时，要针对恒等式左、右两边的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异.能用诱导公式的先用诱导公式将不同角化为相同角，再统一函数名称，从而实现左右统一．思路方法分类讨论思想在三角函数中的应用例证明：2sinα＋nπcosα－nπsinα＋nπ＋sinα－nπ＝(－1)ncosα，n∈Z.证明：当n为偶数时，令n＝2k，k∈Z，左边＝2sinα＋2kπcosα－2kπsinα＋2kπ＋sinα－2kπ＝2sinαcosαsinα＋sinα＝2sinαcosα2sinα＝cosα.右边＝(－1)2kcosα＝cosα，∴左边＝右边．当n为奇数时，令n＝2k－1，k∈Z，左边＝2sinα＋2kπ－πcosα－2kπ＋πsinα＋2kπ－π＋sinα－2kπ＋π＝2sinα－πcosα＋πsinα－π＋sinα＋π＝2－sinα－cosα－sinα＋－sinα＝2sinαcosα－2sinα＝－cosα.右边＝(－1)2k－1cosα＝－cosα，∴左边＝右边．综上所述，2sinα＋nπcosα－nπsinα＋nπ＋sinα－nπ＝(－1)ncosα，n∈Z成立．点评：解答此类题目的关键在于正确应用诱导公式化简，如果被化简式子中的角是kπ±α(k∈Z)的形式，往往对参数k进行讨论．常见的一些关于参数k的结论有sin(kπ＋α)＝(－1)ksinα(k∈Z)；cos(kπ＋α)＝(－1)kcosα(k∈Z)；sin(kπ－α)＝(－1)k＋1sinα(k∈Z)；cos(kπ－α)＝(－1)kcosα(k∈Z)等．