2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.2.1 三角函数的概念课件 新人教A版必

最新课程标准：(1)借助单位圆理解任意角的三角函数定义．(2)掌握三角函数在各象限的符号．(3)掌握诱导公式一并会应用．(4)会用三角函数线表示角的正弦、余弦和正切.知识点一任意角的三角函数的定义前提如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)正弦___叫做α的正弦，记作sinα，即sinα＝___余弦___叫做α的余弦，记作cosα，即cosα＝___正切___叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝___(x≠0)定义三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数.yyxxyxyx状元随笔三角函数的定义(1)三角函数是一个函数，符合函数的定义，是由角的集合(弧度数)到一个比值的集合的函数．(2)三角函数值实质是一个比值，因此分母不能为零，所以正切函数的定义域就是使分母不为零的角的集合．知识点二正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域三角函数定义域sinα___cosα___tanα{α∈R|α≠kπ＋π2，k∈Z}RR知识点三三角函数线状元随笔(1)三角函数线的方向．正弦线由垂足指向角α的终边与单位圆的交点，余弦线由原点指向垂足，正切线由切点指向切线与角α的终边或其反向延长线的交点．(2)三角函数线的正负：三条有向线段凡与x轴或y轴同向的，为正值，与x轴或y轴反向的，为负值．知识点四三角函数值在各象限的符号状元随笔对三角函数值符号的理解三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值．根据三角函数定义知：(1)正弦值符号取决于纵坐标y的符号；(2)余弦值的符号取决于横坐标x的符号；(3)正切值的符号是由x，y符号共同决定的，即x，y同号为正，异号为负．知识点五诱导公式一(1)语言表示：终边相同的角的_____三角函数的值相等．(2)式子表示sinα＋k·2π＝_____，cosα＋k·2π＝_____，tanα＋k·2π＝_____，其中k∈Z.同名sinαcosαtanα状元随笔诱导公式一(1)实质：是说终边相同的角的三角函数值相等.即角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现一次．(2)结构特征：左、右为同一三角函数；公式左边的角为α＋k·2π，右边的角为α.(3)作用：把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)角的三角函数值．体现了“大化小”“负化正”的数学思想．[教材解难]正确认识三角函数线(1)正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函数的几何表示，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负，凡与x轴或y轴同向的为正值，反向的为负值．(2)三角函数线的画法定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角a的三角函数线的画法，即先找到P，M，T点，再画出MP，OM，AT.(3)三角函数线的作用三角函数线的主要作用是解三角不等式及比较同角异名三角函数值的大小，同时它也是以后学习三角函数的图象与性质的基础．[基础自测]1．如图所示，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是()A．正弦线PM，正切线A′T′B．正弦线MP，正切线A′T′C．正弦线MP，正切线ATD．正弦线PM，正切线AT解析：α为第三象限角，故正弦线为MP，正切线为AT，所以C正确．答案：C2．sin780°的值为()A．－32B.32C．－12D.12解析：sin780°＝sin(2×360°＋60°)＝sin60°＝32，故选B.答案：B3．已知角α的终边与单位圆交于点－32，－12，则sinα的值为()A．－32B．－12C.32D.12解析：根据任意角的正弦定义，可得sinα＝y＝－12.答案：B4．若α是第三象限角，则点P(sinα，cosα)在第________象限．解析：∵α为第三象限角，∴sinα0，cosα0，∴P(sinα，cosα)位于第三象限．答案：三题型一三角函数的定义及应用[教材P178例1]例1求5π3的正弦、余弦和正切值．【解析】在直线坐标系中，作∠AOB＝5π3(如图)．易知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为12，－32.所以sin5π3＝－32，cos5π3＝12，tan5π3＝－3.1．在直角坐标系中作角．2．画出单位圆求交点．3．利用三角函数的定义求值．教材反思已知α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法(1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．(2)在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r0)．则sinα＝yr，cosα＝xr.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．(3)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．跟踪训练1(1)若角α的终边经过点P(5，－12)，则sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________.(2)已知角α的终边落在直线3x＋y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．解析：(1)∵x＝5，y＝－12，∴r＝52＋－122＝13，则sinα＝yr＝－1213，cosα＝xr＝513，tanα＝yx＝－125.(2)直线3x＋y＝0，即y＝－3x，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，3)，则r＝－12＋32＝2，所以sinα＝32，cosα＝－12，tanα＝－3；在第四象限取直线上的点(1，－3)，则r＝12＋－32＝2，所以sinα＝－32，cosα＝12，tanα＝－3.答案：(1)－1213513－125(2)见解析状元随笔(1)若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)不是单位圆上的点，则先求r＝x2＋y2(r表示点P到原点的距离)，sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx.(2)在α的终边上任取一点，再利用三角函数的定义求解．题型二三角函数线[经典例题]例2做出3π4的正弦线、余弦线和正切线．【解析】角3π4的终边(如图)与单位圆的交点为P.作PM垂直于x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线AT，与3π4的终边的反向延长线交于点T，则3π4的正弦线为MP，余弦线为OM，正切线为AT.先作单位圆再作角，最后作出三角函数线．方法归纳三角函数线的画法(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线．(2)作正切线时，应从A(1,0)点引单位圆的切线，交角的终边或终边的反向延长线于一点T，即可得到正切线AT.跟踪训练2作出－5π8的正弦线、余弦线和正切线．解析：如图：sin－5π8＝MP，cos－5π8＝OM，tan－5π8＝AT.作单位圆、作角、画出三角函数线．题型三三角函数在各象限的符号[经典例题]例3若sinαtanα0，且cosαtanα0，则角α是()A.第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【解析】由sinαtanα0可知sinα，tanα异号，从而α是第二或第三象限角．由cosαtanα0可知cosα，tanα异号，从而α是第三或第四象限角．综上可知，α是第三象限角．【答案】C分别由sinαtanα＜0和cosαtanα＜确定角α是第几象限角→二者的公共部分即所求方法归纳判断三角函数值正负的两个步骤(1)定象限：确定角α所在的象限．(2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断．注意：若sinα0，则α的终边不一定落在第一象限或第二象限内，有可能终边落在y轴的非负半轴上．跟踪训练3判断下列各式的符号：(1)sin145°cos(－210°)；(2)sin3·cos4·tan5.解析：(1)∵145°角是第二象限角，∴sin145°0.∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°角是第二象限角，∴cos(－210°)0，∴sin145°cos(－210°)0.(2)∵π23π43π252π，∴sin30，cos40，tan50，∴sin3·cos4·tan50.确定角的终边所在的象限→分别判断三角函数值符号→得出式子的符号题型四诱导公式一的应用[经典例题]例4计算下列各式的值：(1)sin(－1395°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°；(2)sin－11π6＋cos12π5·tan4π.【解析】(1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos60°sin30°＝22×32＋12×12＝64＋14＝1＋64.(2)原式＝sin－2π＋π6＋cos2π＋2π5·tan(4π＋0)＝sinπ6＋cos2π5×0＝12.状元随笔(1)含有三角函数值的代数式的化简，要先利用诱导公式一把角的范围转化到0～2π范围内，求出相应的三角函数值．(2)准确记忆特殊角的三角函数值是三角函数化简求值的基础，此类问题易出现的错误就是对特殊角的三角函数值记忆不准确导致计算错误．方法归纳利用诱导公式一求值应注意：利用诱导公式一可把负角的三角函数转化为0～2π内的角的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数转化为0～2π内的角的三角函数，即实现了“负化正，大化小”，要注意记忆特殊角的三角函数值．跟踪训练4求下列各式的值：(1)sin25π3＋tan－15π4；(2)sin810°＋cos360°－tan1125°.解析：(1)sin25π3＋tan－15π4＝sin8π＋π3＋tan－4π＋π4＝sinπ3＋tanπ4＝32＋1.(2)sin810°＋cos360°－tan1125°＝sin(2×360°＋90°)＋cos(360°＋0°)－tan(3×360°＋45°)＝sin90°＋cos0°－tan45°＝1＋1－1＝1.应用诱导公式一时，先将角转化到0～2π范围内的角，再求值.对于特殊角的三角函数值一定要熟记．