2019-2020学年新教材高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.4.2 对数函数的图象和性质课

知识点一对数函数的图象与性质(一)教材梳理填空0＜a＜1a＞1图象定义域__________值域_____过定点_____，即x＝___时，y＝___性质减函数增函数(0，＋∞)R(1,0)10(二)基本知能小试1．判断正误(1)函数y＝logax(a0，且a≠1)的图象过定点(1,0)．()(2)函数y＝logax(a0，且a≠1)在(0，＋∞)上是单调函数．()(3)由函数y＝log2x的图象向左平移1个单位可得y＝log2x＋1的图象．()答案：(1)√(2)√(3)×2．函数y＝lg(x＋1)的图象大致是()解析：由底数大于1可排除A、B，y＝lg(x＋1)可看作是y＝lgx的图象向左平移1个单位．(或令x＝0得y＝0，而且函数为增函数)答案：C3．函数f(x)＝|log12x|的单调递增区间是()A．0，12B．(0,1]C．(0，＋∞)D．[1，＋∞)解析：作出f(x)的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)．答案：D知识点二反函数(一)教材梳理填空指数函数(a＞0，且a≠1)和对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好相反．(二)基本知能小试1．判断正误(1)函数y＝log2x与y＝x2互为反函数．()(2)y＝4x与y＝log4x的图象关于y＝x对称．()答案：(1)×(2)√y＝ax2．若函数y＝f(x)是函数y＝3x的反函数，则f12的值为()A．－log23B．－log32C．19D．3解析：y＝f(x)＝log3x，∴f12＝log312＝－log32.答案：B题型一对数函数的图象问题[学透用活](1)底数对函数图象的影响：底数的大小决定了图象相对位置的高低．①上下比较：在直线x＝1的右侧，a＞1时，a越大，图象越靠近x轴；0＜a＜1时，a越小，图象越靠近x轴．②左右比较：比较图象与直线y＝1的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大．根据如图所示的图象，我们很容易得到上述结论．(2)由对数函数的图象可经过平移变换、对称变换得到其他函数的图象，进而利用图象解决问题．[典例1]函数f(x)＝loga|x|＋1(a＞1)的图象大致为()[解析]函数f(x)＝loga|x|＋1(a＞1)是偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称，当x＞0时，f(x)＝logax＋1是增函数；当x＜0时，f(x)＝loga(－x)＋1是减函数，又∵图象过(1,1)，(－1,1)两点，结合选项可知，选C.[答案]C[方法技巧]有关对数型函数图象问题的应用技巧(1)求函数y＝m＋logaf(x)(a＞0，且a≠1)的图象过定点时，只需令f(x)＝1求出x，即得定点为(x，m)．(2)给出函数解析式判断函数的图象，应首先考虑函数对应的基本初等函数是哪一种；其次找出函数图象的特殊点，判断函数的基本性质、定义域、单调性以及奇偶性等；最后综合上述几个方面将图象选出，解决此类题目常采用排除法．(3)根据对数函数图象判断底数大小的方法：作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小．[对点练清]1．[函数图象的识别]函数f(x)＝lg(|x|－1)的大致图象是()解析：由f(－x)＝lg(|－x|－1)＝lg(|x|－1)＝f(x)，得f(x)是偶函数，由此知C、D错误．又当x＞0时，f(x)＝lg(x－1)是(1，＋∞)上的增函数，故选B.答案：B2．[对数型函数图象的数据分析]如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则()A．0＜a＜b＜1B．0＜b＜a＜1C．a＞b＞1D．b＞a＞1解析：作直线y＝1，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0＜b＜a＜1.答案：B3．[图象过定点问题]若函数y＝loga(x＋b)＋c(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b，c的值分别为________．解析：∵函数的图象恒过定点(3,2)，∴将(3,2)代入y＝loga(x＋b)＋c，得2＝loga(3＋b)＋c.又当a＞0，且a≠1时，loga1＝0恒成立，∴c＝2,3＋b＝1，∴b＝－2，c＝2.答案：－2,24．[作图象并指明性质]画出函数y＝|log2(x＋1)|的图象，并写出函数的值域及单调区间．解：函数y＝|log2(x＋1)|的图象如图所示．由图象知，其值域为[0，＋∞)，单调减区间是(－1,0]，单调增区间是(0，＋∞)．题型二比较对数值大小[学透用活][典例2]比较大小：(1)loga5.1，loga5.9(a＞0，且a≠1)；[解]当a＞1时，y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，又5.1＜5.9，所以loga5.1＜loga5.9；当0＜a＜1时，y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，又5.1＜5.9，所以loga5.1＞loga5.9.综上，当a＞1时，loga5.1＜loga5.9；当0＜a＜1时，loga5.1＞loga5.9.(2)log3π，log23，log32.[解]∵log23＝12log23，又1＜log23＜2，∴12＜log23＜1.又log32＝12log32＜12，log3π＞1，∴log3π＞log23＞log32.[方法技巧]比较对数值的大小的策略(1)比较两个底数为同一常数的对数的大小，首先要根据对数的底数来判断对数函数的单调性；然后比较真数的大小，再利用对数函数的单调性判断．(2)比较两个对数值的大小，对于底数是相同字母的，需要对底数进行讨论．(3)若不同底但同真，则可利用图象的位置关系与底数的大小关系解决或利用换底公式化为同底后再进行比较．(4)若底数和真数都不相同，则常借助中间量1,0，－1等进行比较．[对点练清]1．已知实数a＝log45，b＝120，c＝log30.4，则a，b，c的大小关系为()A．b＜c＜aB．b＜a＜cC．c＜a＜bD．c＜b＜a解析：由题知，a＝log45＞1，b＝120＝1，c＝log30.4＜0，故c＜b＜a.答案：D2．已知log12m＜log12n＜0，则()A．n＜m＜1B．m＜n＜1C．1＜m＜nD．1＜n＜m解析：因为0＜12＜1，log12m＜log12n＜0，所以m＞n＞1，故选D.答案：D题型三对数型函数的单调性[学透用活][典例3]求函数y＝log12(x2－3x＋5)的单调区间．[解]由于x2－3x＋5的判别式Δ＝(－3)2－4×5＝－11＜0，∴x2－3x＋5＞0，令u(x)＝x2－3x＋5，当x∈－∞，32时，u(x)为减函数，当x∈32，＋∞时，u(x)为增函数．∴y＝log12(x2－3x＋5)在－∞，32上为增函数，在32，＋∞上为减函数．综上函数y＝log12(x2－3x＋5)的增区间为－∞，32，减区间为32，＋∞.[方法技巧](1)先求g(x)＞0的解集(也就是函数f(x)的定义域)．形如f(x)＝logag(x)(a＞0，且a≠1)的函数的单调区间的求法：(2)当底数a＞1时，在g(x)＞0这一前提下，g(x)的单调增区间是f(x)的单调增区间；g(x)的单调减区间是f(x)的单调减区间．(3)当底数0＜a＜1时，在g(x)＞0这一前提下，g(x)的单调增区间是f(x)的单调减区间，g(x)的单调减区间是f(x)的单调增区间．[对点练清]1．[变条件]本例条件变为y＝log12(1－x2)，问题不变．解：由条件知1－x2＞0，∴－1＜x＜1.令t＝1－x2，x∈(－1,1)．当x∈(－1,0]时，x增大t增大，y＝log12t减少．∴x∈(－1,0]时，y＝log12(1－x2)是减函数．同理，x∈[0,1)时，y＝log12(1－x2)是增函数．故y＝log12(1－x2)的增区间为[0,1)，减区间为(－1,0]．2．已知函数f(x)＝lg(x2－2ax－a)在区间(－∞，－3)上是减函数，求实数a的取值范围．解：设u(x)＝x2－2ax－a.∵f(x)在(－∞，－3)上是减函数，∴u(x)在(－∞，－3)上是减函数，且u(x)＞0在(－∞，－3)上恒成立．又u(x)＝(x－a)2－a－a2在(－∞，a)上是减函数．∴u－3≥0，a≥－3，∴a≥－95.∴满足条件的实数a的取值范围是－95，＋∞.[课堂一刻钟巩固训练]一、基础经典题1．函数y＝loga(x－1)(0a1)的图象大致是()解析：∵0a1，∴y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，故排除C、D；又函数y＝loga(x－1)的图象是由y＝logax的图象向右平移一个单位长度得到的，故A正确．答案：A2．设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则()A．a＞c＞bB．b＞c＞aC．c＞b＞aD．c＞a＞b解析：∵3＜2＜3,1＜2＜5，3＞2，∴log33＜log32＜log33，log51＜log52＜log55，log23＞log22，∴12＜a＜1，0＜b＜12，c＞1，∴c＞a＞b.答案：D3．函数f(x)＝lg|x|为()A．奇函数，在区间(0，＋∞)上是减函数B．奇函数，在区间(0，＋∞)上是增函数C．偶函数，在区间(－∞，0)上是增函数D．偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数解析：已知函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于坐标原点对称，且f(－x)＝lg|－x|＝lg|x|＝f(x)，所以它是偶函数．又当x＞0时，f(x)＝lgx在区间(0，＋∞)上是增函数．又因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝lg|x|在区间(－∞，0)上是减函数．答案：D4．设a1，函数f(x)＝logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为12，则a＝________.解析：∵a1，∴f(x)＝logax在[a,2a]上递增，∴loga(2a)－logaa＝12，即loga2＝12，∴a12＝2，∴a＝4.答案：4二、创新应用题5．已知函数f(x)＝log3x.(1)在所给的平面直角坐标系中作出函数f(x)的图象；(2)由图象观察当x＞1时，函数的值域．解：(1)作出函数图象如图所示．(2)当x＞1时，f(x)＞0.故当x＞1时，函数值域为(0，＋∞)．