2019-2020学年新教材高中数学 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.1.2.2 指数函数的

[基础自测]1．下列函数中是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增的是()A．y＝1xB．y＝|x|C．y＝2xD．y＝x3解析：y＝1x在(0，＋∞)上单调递减，所以排除A；y＝|x|是偶函数，所以排除B；y＝2x为非奇非偶函数，所以排除C.选D.答案：D2．下列判断正确的是()A．1.51.5＞1.52B．0.52＜0.53C．e2＜2eD．0.90.2＞0.90.5解析：因为y＝0.9x是减函数，且0.5＞0.2，所以0.90.2＞0.90.5.答案：D3．已知y1＝13x，y2＝3x，y3＝10－x，y4＝10x，则在同一平面直角坐标系内，它们的图像为()解析：方法一y2＝3x与y4＝10x单调递增；y1＝13x与y3＝10－x＝110x单调递减，在第一象限内作直线x＝1，该直线与四条曲线交点的纵坐标对应各底数，易知选A.方法二y2＝3x与y4＝10x单调递增，且y4＝10x的图像上升得快，y1＝13x与y2＝3x的图像关于y轴对称，y3＝10－x与y4＝10x的图像关于y轴对称，所以选A.答案：A4．已知函数f(x)＝4＋ax－1(a＞0且a≠1)的图像恒过定点P，则点P的坐标是________．解析：令x－1＝0，得x＝1，此时f(1)＝5.所以函数f(x)＝4＋ax－1(a＞0且a≠1)的图像恒过定点P(1,5)．答案：(1,5)题型一利用指数函数的单调性比较大小[教材P12例1]例1利用指数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：(1)0.8－0.1与0.8－0.2；(2)2.5a与2.5a＋1.【解析】(1)因为0.8－0.1与0.8－0.2都是以0.8为底的幂值，所以考察函数y＝0.8x，由于这个函数在实数集R上是减函数，又因为－0.1－0.2，所以0.8－0.10.8－0.2.(2)因为2.5a与2.5a＋1都是以2.5为底的幂值，所以考察函数y＝2.5x，由于这个函数在实数集R上是增函数，又因为aa＋1，所以2.5a2.5a＋1.状元随笔对于(1)(2)，要比较的两个值可以看作一个指数函数的两个函数值，因此可以直接利用指数函数的单调性进行比较．可以利用函数y＝0.8x和y＝2.5x的单调性，以及“x＝0时，y＝1”这条性质把它们联系起来.教材反思1.由例题可以看出，利用指数函数的单调性，通过自变量的大小关系可以判断相应函数值的大小关系．2．比较幂值大小的三种类型及处理方法跟踪训练1比较下列各题中两个值的大小：(1)57－1.8与57－2.5；(2)23－0.5与34－0.5；(3)0.20.3与0.30.2.解析：(1)因为0＜57＜1，所以函数y＝57x在其定义域R上单调递减，又－1.8＞－2.5，所以57－1.8＜57－2.5.(2)在同一平面直角坐标系中画出指数函数y＝23x与y＝34x的图像，如图所示．当x＝－0.5时，由图像观察可得23－0.5＞34－0.5.(3)因为0＜0.2＜0.3＜1，所以指数函数y＝0.2x与y＝0.3x在定义域R上均是减函数，且在区间(0，＋∞)上函数y＝0.2x的图像在函数y＝0.3x的图像的下方，所以0.20.2＜0.30.2.又根据指数函数y＝0.2x的性质可得0.20.3＜0.20.2，所以0.20.3＜0.30.2.底数相同，指数不同；底数不同，指数相同；底数不同，指数不同．题型二指数函数的图像问题[经典例题]例2(1)如图所示是下列指数函数的图像：①y＝ax②y＝bx③y＝cx④y＝dx则a，b，c，d与1的大小关系是()A．a＜b＜1＜c＜dB．b＜a＜1＜d＜cC．1＜a＜b＜c＜dD．a＜b＜1＜d＜c(2)当a＞0且a≠1时，函数f(x)＝ax－3－2必过定点________．B(3，－1)【解析】(1)可先分为两类，③④的底数一定大于1，①②的底数一定小于1，然后再由③④比较c，d的大小，由①②比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图像上升，且当底数越大，图像向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图像下降，且当底数越小，图像向下越靠近x轴，故选B.(2)当a＞0且a≠1时，总有f(3)＝a3－3－2＝－1，所以函数f(x)＝ax－3－2必过定点(3，－1)．【答案】(1)B(2)(3，－1)1．先由a＞1,0＜a＜1两个角度来判断函数的单调性，确定函数图像．2．由y＝ax过定点(0,1)来求f(x)过定点．方法归纳指数函数的图像随底数变化的规律可归纳为：(1)无论指数函数的底数a如何变化，指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图像与直线x＝1相交于点(1，a)，由图像可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大．(2)指数函数的底数与图像间的关系可概括记忆为：在第一象限内，底数自下而上依次增大．跟踪训练2(1)已知1＞n＞m＞0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图像为()(2)若a＞1，－1＜b＜0，则函数y＝ax＋b的图像一定在()A．第一、二、三象限B．第一、三、四象限C．第二、三、四象限D．第一、二、四象限解析：(1)由于0＜m＜n＜1，所以y＝mx与y＝nx都是减函数，故排除A、B，作直线x＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y＝mx的图像，故选C.(2)∵a＞1，且－1＜b＜0，故其图像如图所示．答案：(1)C(2)A由底数的范围判断函数图像.题型三解简单的指数不等式[经典例题]例3(1)不等式3x－2＞1的解为________；(2)若ax＋1＞1a5－3x(a＞0，且a≠1)，求x的取值范围．【解析】(1)3x－2＞1⇒3x－2＞30⇒x－2＞0⇒x＞2，所以解为(2，＋∞)．(2)因为ax＋1＞1a5－3x，所以当a＞1时，y＝ax为增函数，可得x＋1＞3x－5，所以x＜3.当0＜a＜1时，y＝ax为减函数，可得x＋1＜3x－5，所以x＞3.综上，当a＞1时，x的取值范围为(－∞，3)，当0＜a＜1时，x的取值范围为(3，＋∞)．【答案】(1)(2，＋∞)(2)见解析状元随笔首先确定指数不等式对应函数的单调性，然后根据单调性确定x的取值范围.方法归纳解指数不等式应注意的问题(1)形如ax＞ab的不等式，借助于函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论；(2)形如ax＞b的不等式，注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助于函数y＝ax的单调性求解．跟踪训练3(1)解不等式1322x－≤3；(2)已知(a2＋2a＋3)x＞(a2＋2a＋3)1－x，求x的取值范围．解析：(1)1322x－＝(3－1)22x－＝322x－，∴原不等式等价于322x－≤31.∵y＝3x是R上的增函数，∴2－x2≤1.∴x2≥1，即x≥1或x≤－1.∴原不等式的解集是{x|x≥1或x≤－1}．(2)∵a2＋2a＋3＝(a＋1)2＋2＞1，∴y＝(a2＋2a＋3)x在R上是增函数．∴x＞1－x，解得x＞12.∴x的取值范围是xx＞12.(1)化成同底，确定指数函数的单调性．(2)判断a2＋2a＋3的范围．题型四指数函数性质的综合应用例4已知函数f(x)＝a－12x＋1(x∈R)．(1)用定义证明：不论a为何实数，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数；(2)若f(x)为奇函数，求f(x)在区间[1,5]上的最小值．【解析】(1)证明：因为f(x)的定义域为R，任取x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝.因为x1＜x2，所以21x－22x＜0，又(1＋21x)(1＋22x)＞0.所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．所以不论a为何实数，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．(2)因为f(x)在x∈R上为奇函数，所以f(0)＝0，即a－120＋1＝0，解得a＝12.所以f(x)＝12－12x＋1，由(1)知，f(x)为增函数，所以f(x)在区间[1,5]上的最小值为f(1)．因为f(1)＝12－13＝16，所以f(x)在区间[1,5]上的最小值为16.(1)用定义法证明函数的单调性需4步：①取值；②作差变形；③定号；④结论．(2)先由f(x)为奇函数求a,再由单调性求最小值．方法归纳(1)求解含参数的由指数函数复合而成的奇、偶函数中的参数问题，可利用奇、偶函数的定义，根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，结合指数运算性质建立方程求参数；(2)若奇函数在原点处有定义，则可利用f(0)＝0，建立方程求参数．跟踪训练4已知定义在R上的函数f(x)＝2x＋a2x，a为常数，若f(x)为偶函数，(1)求a的值；(2)判断函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并用单调性定义给予证明；(3)求函数f(x)的值域．解析：(1)由f(x)为偶函数得对任意实数x都有2x＋a2x＝12x＋a·2x成立，即2x(1－a)＝12x·(1－a)，所以1－a＝0，所以a＝1.(2)由(1)知f(x)＝2x＋12x，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．证明如下：任取x1，x2∈(0，＋∞)且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝21x＋121x－22x＋122x＝(21x－22x)＋121x－122x＝(21x－22x)＋22x－21x21x·22x＝(21x－22x)1－1212xx＋＝(21x－22x)·212xx＋－1212xx＋，因为x1＜x2，且x1，x2∈(0，＋∞)，所以21x＜22x，212xx＋＞1，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．(3)由(2)知f(x)在[0，＋∞)上单调递增，又由f(x)为偶函数知函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，所以f(x)≥f(0)＝2.故函数f(x)的值域为[2，＋∞)．(1)由偶函数求a.(2)4步法证明f(x)在(0，＋∞)上的单调性．(3)利用单调性求最值，得值域．