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最新课程标准:通过具体实例,结合y=x,y=1x,y=x2,y=x,y=x3的图象,理解它们的变化规律,了解幂函数.知识点一幂函数的概念一般地,函数________叫做幂函数,其中____是自变量,____是常数.状元随笔幂函数中底数是自变量,而指数函数中指数为自变量.y=xαxα知识点二幂函数的图象与性质函数y=xy=x2y=x3y=x12y=1x定义域RRR________________值域R________R________________奇偶性奇函数______________非奇非偶函数________{x|x≠0}{x|x≥0}{y|y≥0}{y|y≥0}{y|y≠0}偶函数奇函数奇函数单调性在R上递增在________上递减,在________上递增在R上递增在________上递增在(-∞,0)和(0,+∞)上递减图象过定点____________________(-∞,0)(0,+∞)(0,+∞)(0,0),(1,1)(1,1)状元随笔幂函数在区间(0,+∞)上,当α0时,y=xα是增函数;当α0时,y=xα是减函数.[教材解难]教材P90思考通常可以先根据函数解析式求出函数的定义域,画出函数的图象;再利用图象和解析式,讨论函数的值域、单调性、奇偶性等问题.[基础自测]1.在函数y=1x4,y=3x2,y=x2+2x,y=1中,幂函数的个数为()A.0B.1C.2D.3解析:函数y=1x4=x-4为幂函数;函数y=3x2中x2的系数不是1,所以它不是幂函数;函数y=x2+2x不是y=xα(α是常数)的形式,所以它不是幂函数;函数y=1与y=x0=1(x≠0)不相等,所以y=1不是幂函数.答案:B2.幂函数f(x)的图象过点(3,39),则f(8)=()A.8B.6C.4D.2解析:设幂函数f(x)=xα(α为常数),由函数的图象过点(3,39),可得39=3α,∴α=23,则幂函数f(x)=x23,∴f(8)=823=4.答案:C3.已知幂函数f(x)=(m2-3m+3)xm+1为偶函数,则m=()A.1B.2C.1或2D.3解析:∵幂函数f(x)=(m2-3m+3)xm+1为偶函数,∴m2-3m+3=1,即m2-3m+2=0,解得m=1或m=2.当m=1时,幂函数f(x)=x2为偶函数,满足条件.当m=2时,幂函数f(x)=x3为奇函数,不满足条件.故选A.答案:A4.判断大小:0.20.2________0.30.2.解析:因为函数y=x0.2是增函数,又0.20.3,∴0.20.20.30.2.答案:题型一幂函数的概念[经典例题]例1(1)下列函数:①y=x3;②y=12x;③y=4x2;④y=x5+1;⑤y=(x-1)2;⑥y=x;⑦y=ax(a1).其中幂函数的个数为()A.1B.2C.3D.4(2)若函数y=(m2+2m-2)xm为幂函数且在第一象限为增函数,则m的值为()A.1B.-3C.-1D.3(3)已知幂函数f(x)的图象经过点3,19,则f(4)=_____.BA116【解析】(1)②⑦为指数函数,③中系数不是1,④中解析式为多项式,⑤中底数不是自变量本身,所以只有①⑥是幂函数.(2)因为函数y=(m2+2m-2)xm为幂函数且在第一象限为增函数,所以m2+2m-2=1,m0,所以m=1.(3)设f(x)=xα,所以19=3α,α=-2,所以f(4)=4-2=116.【答案】(1)B(2)A(3)116(1)依据幂函数的定义逐个判断.(2)依据幂函数的定义列方程求m.(3)先设f(x)=xα,再将点(3,19)代入求α.方法归纳(1)幂函数的判断方法①幂函数同指数函数、对数函数一样,是一种“形式定义”的函数,也就是说必须完全具备形如y=xα(α∈R)的函数才是幂函数.②如果函数解析式以根式的形式给出,则要注意把根式化为分数指数幂的形式进行化简整理,再对照幂函数的定义进行判断.(2)求幂函数解析式的依据及常用方法①依据.若一个函数为幂函数,则该函数应具备幂函数解析式所具备的特征,这是解决与幂函数有关问题的隐含条件.②常用方法.设幂函数解析式为f(x)=xα,根据条件求出α.跟踪训练1(1)给出下列函数:①y=1x3;②y=3x-2;③y=x4+x2;④y=3x5;⑤y=(x-1)2;⑥y=0.3x.其中是幂函数的有()A.1个B.2个C.3个D.4个(2)函数f(x)=(m2-m-1)·x23mm+-是幂函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)是增函数,求f(x)的解析式.解析:(1)可以对照幂函数的定义进行判断.在所给出的六个函数中,只有y=1x3=x-3和y=3x5=x53符合幂函数的定义,是幂函数,其余四个都不是幂函数.(2)根据幂函数定义得m2-m-1=1,解得m=2或m=-1,当m=2时,f(x)=x3在(0,+∞)上是增函数,当m=-1时,f(x)=x-3在(0,+∞)上是减函数,不合要求.故f(x)=x3.答案:(1)B(2)f(x)=x3(1)利用幂函数定义判断.(2)由幂函数的系数为1,求m的值,然后逐一验证.题型二幂函数的图象及应用[经典例题]例2幂函数y=xm,y=xn,y=xp,y=xq的图象如图,则将m,n,p,q的大小关系用“”连接起来结果是________.【解析】过原点的指数α0,不过原点的α0,所以n0,当x1时,在直线y=x上方的α1,下方的α1,所以p1,0m1,0q1;x1时,指数越大,图象越高,所以mq,综上所述nqmp.【答案】nqmp依据α0,0α1和α1的幂函数图象的特征判断.方法归纳解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小,相关结论为:在(0,1)上,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低);在(1,+∞)上,指数越大,幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x-1或y=x12或y=x3)来判断.要先回忆幂函数的五种常见类型的图象与性质特点.跟踪训练2当α∈-1,12,1,2,3时,幂函数y=xα的图象不可能经过第__________象限.解析:幂函数y=x-1,y=x,y=x3的图象经过第一、三象限;y=x12的图象经过第一象限;y=x2的图象经过第一、二象限.所以幂函数y=xαα=-1,12,1,2,3的图象不可能经过第四象限.答案:四要先回忆幂函数的五种常见类型的图象与性质特点.题型三幂函数的单调性质及应用[教材P91例1]例3证明幂函数f(x)=x是增函数.【证明】函数的定义域是[0,+∞).∀x1,x2∈[0,+∞),且x1x2,有f(x1)-f(x2)=x1-x2=x1-x2x1+x2x1+x2=x1-x2x1+x2.因为x1-x20,x1+x20,所以f(x1)f(x2),即幂函数f(x)=x是增函数.利用定义法证明幂函数的单调性.教材反思幂函数当α0时在第一象限单调递增,当α0时在第一象限单调递减.比较幂值的大小,关键在于构造适当的函数,若指数相同而底数不同,则考虑幂函数;若指数不同底数相同,则考虑指数函数;若底数不同,指数也不同,需引入中间量,利用幂函数与指数函数的单调性,也可以借助幂函数与指数函数的图象.跟踪训练3比较下列各题中两个幂值的大小.(1)3.11.3与2.91.3;(2)1432与1332;(3)1213与3214.解析:(1)函数y=x1.3在(0,+∞)上为增函数,又因为3.12.9,所以3.11.32.91.3.(2)方法一函数y=x32在(0,+∞)上为减函数,又因为1413,所以14321332.方法二1432=432,1332=332.而函数y=x32在(0,+∞)上单调递增,且43,所以432332,即14321332.(3)因为1213120=1;而3214320=1;所以12133214.(1)利用函数y=x1.3的单调性来判断.(2)利用函数y=x32的单调性来判断.(3)找中间量判断.
本文标题:2019-2020学年新教材高中数学 第三章 函数的概念与性质 3.3 幂函数课件 新人教A版必修第
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