2019-2020学年新教材高中数学 第三章 函数的概念与性质 3.2.2.1 函数奇偶性的概念课件

函数的概念与性质第三章3．2函数的基本性质3．2.2奇偶性第1课时函数奇偶性的概念课前自主预习1．理解函数奇偶性的定义．2．掌握函数奇偶性的判断和证明方法．3．会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题．函数的奇偶性温馨提示：(1)奇偶性是函数的整体性质，所以判断函数的奇偶性应先明确它的定义域(对照函数的单调性是函数的局部性质，以加深理解)．(2)奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．1．函数f(x)＝x2－1，f(x)＝－1x，f(x)＝2x的图象分别如图所示：(1)各个图象有怎样的对称性？(2)对于以上三个函数，分别计算f(－x)，观察对定义域内的每一个x，f(－x)与f(x)有怎样的关系？[答案](1)y＝x2－1的图象关于y轴对称；y＝－1x和y＝2x的图象关于原点对称(2)对于f(x)＝x2－1，f(－x)＝x2－1＝f(x)；对于f(x)＝－1x，f(－x)＝－1x＝－f(x)；对于f(x)＝2x，f(－x)＝－2x＝－f(x)2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)偶函数的图象一定与y轴相交．()(2)奇函数的图象一定经过原点．()(3)函数f(x)＝x2，x∈[－1,2]是偶函数．()(4)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√课堂互动探究题型一函数奇偶性的判断【典例1】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝2－|x|；(2)f(x)＝x2－1＋1－x2；(3)f(x)＝xx－1；(4)f(x)＝2x＋1，x0，－2x＋1，x0.[思路导引]借助奇函数、偶函数的定义判断．[解](1)∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(2)∵函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)∵函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．(4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．当x0时，－x0，f(－x)＝1－(－2x)＝1＋2x＝f(x)；当x0时，－x0，f(－x)＝1＋(－2x)＝1－2x＝f(x)．综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数．判断函数奇偶性的2种方法(1)定义法(2)图象法[针对训练]1．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x2(x2＋2)；(2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；(3)f(x)＝1－x2x；(4)f(x)＝x2＋x，x0，x－x2，x0.[解](1)∵x∈R，关于原点对称，又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(2)∵x∈R，关于原点对称，又∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(3)f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称，又∵f(－x)＝1－－x2－x＝－1－x2x＝－f(x)．∴f(x)为奇函数．(4)显然函数f(x)的定义域关于原点对称．当x0时，－x0，f(－x)＝x2－x＝－(x－x2)＝－f(x)，当x0时，－x0，f(－x)＝－x－x2＝－(x2＋x)＝－f(x)，∴f(－x)＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数.题型二奇函数、偶函数的图象【典例2】已知奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示．(1)画出在区间[－5,0]上的图象．(2)写出使f(x)0的x的取值集合．[思路导引]根据奇函数图象特征作出函数图象，再求解．[解](1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于原点对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示．(2)由图象知，使f(x)0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．[变式]若将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，试画出在区间[－5,0]上的图象．[解]因为函数f(x)是偶函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于y轴对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，可知它在[－5,0]上的图象，如图所示．巧用奇、偶函数的图象求解问题(1)依据：奇函数⇔图象关于原点对称，偶函数⇔图象关于y轴对称．(2)求解：根据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数图象的问题．[针对训练]2．定义在[－3，－1]∪[1,3]上的函数f(x)是奇函数，其部分图象如图所示．(1)请在坐标系中补全函数f(x)的图象；(2)比较f(1)与f(3)的大小．[解](1)由于f(x)是奇函数，则其图象关于原点对称，其图象如图所示．(2)观察图象，知f(3)f(1).题型三利用函数的奇偶性求值【典例3】(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________；(2)设函数x＋1x＋ax为奇函数，则a＝________.[思路导引](1)先由定义域关于原点对称确定a值，再利用偶函数的定义求b；(2)利用奇函数的定义求a值．[解析](1)∵函数f(x)在[a－1,2a]上是偶函数，∴a－1＋2a＝0，得a＝13.又f(－x)＝f(x)，即13x2－bx＋1＋b＝13x2＋bx＋1＋b对x∈－23，23均成立，∴b＝0.(2)∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即－x＋1－x＋a－x＝－x＋1x＋ax.显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，故a＋1＝0，得a＝－1.[答案](1)130(2)－1利用奇偶性求参数的2种类型(1)定义域含参数：奇偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数．(2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解．[针对训练]3．若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，则m的值是()A．1B．2C．3D．4[解析]由f(－x)＝f(x)，得(m－1)x2－(m－2)x＋(m2－7m＋12)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)，所以m＝2.[答案]B4．已知函数f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)＝x2＋1x，则f(－1)＝________.[解析]∵f(x)为奇函数，且x0时，f(x)＝x2＋1x，∴f(－1)＝－f(1)＝－12＋11＝－2.[答案]－2课堂归纳小结1．一个条件：定义域关于原点对称是函数f(x)是奇(偶)函数的一个必要不充分条件．2．两个性质：函数为奇函数⇔它的图象关于原点对称；函数为偶函数⇔它的图象关于y轴对称．3．证明一个函数是奇函数，必须对f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)．而证明一个函数不是奇函数，只要能举出一个反例就可以了．4．熟悉常见函数的奇偶性：一次函数y＝kx＋b(k≠0)，当b＝0时是奇函数；当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数．y＝kx(k≠0)为奇函数．y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当b＝0时是偶函数，当b≠0时既不是奇函数也不是偶函数.