2019-2020学年新教材高中数学 第三章 函数 3.1 函数的概念与性质 3.1.2 函数的单调

3.1.2函数的单调性第2课时函数的平均变化率(教师独具内容)课程标准：1.了解函数平均变化率的几何意义.2.理解函数递增和递减的充要条件，并能够运用函数递增和递减的充要条件判断函数的单调性．教学重点：函数递增和递减的充要条件．教学难点：运用函数递增和递减的充要条件证明函数的增减性.课前自主学习课堂合作研究随堂基础巩固课后课时精练核心概念掌握核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练【情境导学】(教师独具内容)上节课我们学习了从函数单调性的定义来证明函数单调性的方法，那么证明函数的单调性还有没有其他方法呢？这节课我们就来研究证明函数单调性的另一种方法——函数的平均变化率．核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练【知识导学】知识点一函数平均变化率的定义一般地，对于函数y＝f(x)，当x1≠x2时，称，为函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1x2时)或[x2，x1](x1x2时)上的平均变化率．□01ΔfΔx＝fx2－fx1x2－x1核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练知识点二函数递增和递减的充要条件一般地，若I是函数y＝f(x)的定义域的子集，对任意x1，x2∈I且x1≠x2，记y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，ΔyΔx＝y2－y1x2－x1即ΔfΔx＝fx2－fx1x2－x1，则：(1)y＝f(x)在I上是增函数的充要条件是在I上恒成立；(2)y＝f(x)在I上是减函数的充要条件是在I上恒成立．□01ΔyΔx0□02ΔyΔx0核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于给定平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若记Δx＝x2－x1，Δy＝y2－y1，则ΔyΔx表示直线AB的斜率．()(2)若函数y＝f(x)在(a，b)上是增函数，则在(a，b)上一定有ΔyΔx0.()(3)在增函数和减函数的充要条件中，可以把“任意x1，x2”改为“存在x1，x2”．()答案(1)×(2)√(3)×答案核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)函数递增的充要条件是其图像上任意两点连线的斜率都________0，函数递减的充要条件是其图像上任意两点连线的斜率都________0.(2)函数：①f(x)＝x2，②f(x)＝1x，③f(x)＝|x|，④f(x)＝2x＋1中，满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，都有ΔyΔx0的是________．(3)函数f(x)＝－x2－2x的最大值是________．答案(1)(2)②(3)1答案课前自主学习课堂合作研究随堂基础巩固课后课时精练核心素养形成核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练题型一函数单调性的证明及应用例1证明：函数f(x)＝xx2＋1(x0)在(0,1]上是增函数，在[1，＋∞)上是减函数，并求这个函数的最值．[证明]设x1≠x2，则ΔfΔx＝fx2－fx1x2－x1＝x2x22＋1－x1x21＋1x2－x1＝1－x1x2x21＋1x22＋1.答案核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练当x1，x2∈(0,1]时，有1－x1x20，从而ΔfΔx0，因此f(x)在(0,1]上是增函数．当x1，x2∈[1，＋∞)时有1－x1x20，从而ΔfΔx0，因此f(x)在[1，＋∞)上是减函数．由函数的单调性可知，函数没有最小值；而且，当x∈(0,1]时，有f(x)≤f(1)，当x∈[1，＋∞)时，不等式f(x)≤f(1)也成立．因此f(1)＝12是函数的最大值．答案核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练金版点睛函数的最值与单调性的关系(1)运用函数的单调性求最值是求解函数最值问题的重要方法，特别是当函数图像不好作或作不出来时，单调性几乎成为首选方法．(2)如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c)上是减函数，则函数y＝f(x)，x∈(a，c)在x＝b处有最大值f(b)．(3)如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c)上是增函数，则函数y＝f(x)，x∈(a，c)在x＝b处有最小值f(b)．核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练(4)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则在区间[a，b]的左、右端点处分别取得最小(大)值、最大(小)值．(5)若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决出最大(小)．函数的最大(小)值是整个值域范围内最大(小)的．(6)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势．核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练[跟踪训练1]判断函数f(x)＝2x－1在区间[2,6]上的单调性，并求函数在该区间上的最值．解设x1≠x2，则ΔfΔx＝fx2－fx1x2－x1＝2x2－1－2x1－1x2－x1＝－2x2－1x1－1.答案核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练当x1，x2∈[2,6]时，有x2－10，x1－10，从而ΔfΔx0，因此f(x)在区间[2,6]上是减函数．由函数的单调性可知，函数f(x)＝2x－1在区间[2,6]上的两个端点处分别取得最大值和最小值，即当x＝2时取得最大值，最大值是2，当x＝6时取得最小值，最小值是25.答案核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练题型二函数平均变化率的应用例2向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图像如图所示，那么水瓶的形状可以是()核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练[解析]由函数图像可知，固定的Δh内，随着h的增大，ΔV逐渐减少，由此可以判断水瓶的下半部分体积大，上半部分体积小．故选B.解析[答案]B答案核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练金版点睛解决这类问题的关键是要弄清随着自变量的改变，函数平均变化率的变化情况，然后由函数平均变化率的变化情况确定容器的形状.核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练[跟踪训练2]一高为H、满缸水量为V的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为h时的水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图像可能是图中的()答案B答案核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练解析由鱼缸的形状可知，水的体积随着h的减小，先减少得越来越快，后减少得越来越慢．故选B.解析课前自主学习课堂合作研究随堂基础巩固课后课时精练随堂水平测试核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练1．在函数平均变化率的定义中，Δx应满足()A．Δx0B．Δx0C．Δx≠0D．Δx＝0答案C解析由函数平均变化率的定义，知Δx≠0.故选C.答案解析核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练2．函数f(x)＝1－x2在区间[0,2]上的平均变化率为()A．－3B．－4C．2D．－2答案D解析函数f(x)＝1－x2在区间[0,2]上的平均变化率为f2－f02－0＝－3－12＝－2.答案解析核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练3．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是()答案A答案核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练解析汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶直至停车，在行进过程中s随时间t的增大而增大，故排除C，D.因为汽车在加速行驶的过程中行驶路程s随时间t的变化越来越快，在减速行驶直至停车的过程中行驶路程s随时间t的变化越来越慢，排除B.故选A.解析核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练4．函数f(x)＝3x2－6x＋1，x∈[0,3]的最大值是________，最小值是________．答案10－2解析因为函数f(x)＝3x2－6x＋1＝3(x－1)2－2，当x∈[0,3]时，f(x)在[0,1]上是减函数，在[1,3]上是增函数．故函数f(x)在[0,3]上的最大值是f(3)＝10，最小值是f(1)＝－2.答案解析核心概念掌握核心素养形成随堂水平测试课后课时精练5．证明：函数f(x)＝2x2＋4x在(－∞，－1]上是减函数．证明设x1≠x2，则ΔfΔx＝fx2－fx1x2－x1＝2x22＋4x2－2x21＋4x1x2－x1＝2(x1＋x2)＋4.当x1，x2∈(－∞，－1]时，有x1＋x2－2,2(x1＋x2)－4，从而ΔfΔx0，因此f(x)在(－∞，－1]上是减函数．答案本课结束