2019-2020学年新教材高中数学 第六章 平面向量及其应用 6.4.3 余弦定理、正弦定理（第2

第2课时正弦定理第六章平面向量及其应用考点学习目标核心素养正弦定理通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法逻辑推理第六章平面向量及其应用问题导学预习教材P45－P48的内容，思考以下问题：1．在直角三角形中，边与角之间的关系是什么？2．正弦定理的内容是什么？1．正弦定理条件在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c结论________＝bsinB＝________文字叙述在一个三角形中，各边和它所对角的________的比相等asinAcsinC正弦■名师点拨对正弦定理的理解(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．(3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与其对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系．2．正弦定理的变形若R为△ABC外接圆的半径，则(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R；(3)sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c；(4)a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝2R.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正弦定理不适用于直角三角形．()(2)在△ABC中必有asinA＝bsinB．()(3)在△ABC中，若a＞b，则必有sinAsinB．()(4)在△ABC中，若sinA＝sinB，则必有A＝B.()××√√在△ABC中，a＝3，b＝5，sinA＝13，则sinB＝()A.15B.59C.53D.1解析：选B.因为a＝3，b＝5，sinA＝13，所以由正弦定理得sinB＝bsinAa＝5×133＝59.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若A＝105°，B＝45°，b＝22，则c＝()A.22B.1C.2D.2解析：选D.由三角形内角和定理得，C＝180°－(A＋B)＝180°－(105°＋45°)＝30°.由正弦定理得，c＝bsinCsinB＝22·sin30°sin45°＝2.在△ABC中，若sinAa＝cosBb，则B的度数为________．解析：根据正弦定理知，sinAa＝sinBb，结合已知条件可得sinB＝cosB，又0°＜B＜180°，所以B＝45°.答案：45°在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形．已知两角及一边解三角形【解】因为A＝45°，C＝30°，所以B＝180°－(A＋C)＝105°.由asinA＝csinC得a＝csinAsinC＝10×sin45°sin30°＝102.因为sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝2＋64，所以b＝csinBsinC＝10×sin（A＋C）sin30°＝20×2＋64＝52＋56.已知三角形的两角和任一边解三角形的思路(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对的边，再由三角形内角和定理求出第三个角．(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．1．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b＝()A．42B．43C．46D．323解析：选C.A＝180°－B－C＝45°，由正弦定理asinA＝bsinB，得b＝asinBsinA＝8sin60°sin45°＝46.2．在△ABC中，A＝60°，sinB＝12，a＝3，求三角形中其他边与角的大小．解：因为sinB＝12，所以B＝30°或150°，当B＝30°时，由A＝60°得C＝90°；当B＝150°时，不合题意，舍去．所以由正弦定理bsinB＝csinC＝asinA，得b＝sinBsinA·a＝sin30°sin60°×3＝3，c＝sinCsinA·a＝sin90°sin60°×3＝23.已知△ABC中的下列条件，解三角形：(1)a＝10，b＝20，A＝60°；(2)a＝2，c＝6，C＝π3.已知两边及其中一边的对角解三角形【解】(1)因为bsinB＝asinA，所以sinB＝bsinAa＝20sin60°10＝31，所以三角形无解．(2)因为asinA＝csinC，所以sinA＝asinCc＝22.因为c＞a，所以C＞A.所以A＝π4.所以B＝5π12，b＝csinBsinC＝6·sin5π12sinπ3＝3＋1.[变条件]若本例(2)中C＝π3改为A＝π4，其他条件不变，求C，B,b.解：因为asinA＝csinC，所以sinC＝csinAa＝32.所以C＝π3或2π3.当C＝π3时，B＝5π12，b＝asinBsinA＝3＋1.当C＝2π3时，B＝π12，b＝asinBsinA＝3－1.(1)已知两边及其中一边的对角解三角形的思路①首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；②如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角；③如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．(2)已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数；②在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表：A为钝角A为直角A为锐角ab一解一解一解a＝b无解无解一解ab无解无解absinA两解a＝bsinA一解absinA无解1．(2019·广东省揭阳市检测)在△ABC中，cosA＝12，a＝43，b＝42，则B等于()A．45°或135°B．135°C．45°D．60°解析：选C.由cosA＝12，得sinA＝32，A＝60°，由正弦定理得sinB＝bsinAa＝22.因为三角形的内角和为180°，且a＞b，所以B＝45°.2．已知在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是()A．x2B．x2C．2x22D．2x23解析：选C.由asinBba，得22x2x，所以2x22.已知在△ABC中，角A，B所对的边分别是a和b，若acosB＝bcosA，则△ABC一定是()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形判断三角形的形状【解析】由正弦定理得：acosB＝bcosA⇒sinAcosB＝sinBcosA⇒sin(A－B)＝0，由于－π＜A－B＜π，故必有A－B＝0，A＝B，即△ABC为等腰三角形．【答案】A[变条件]若把本例条件变为“bsinB＝csinC”，试判断△ABC的形状．解：由bsinB＝csinC可得sin2B＝sin2C，因为三角形内角和为180°，所以sinB＝sinC．所以B＝C.故△ABC为等腰三角形．判断三角形形状的两种途径[注意]在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，满足acosA＝bcosB＝ccosC，则△ABC的形状是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解析：选C.由正弦定理得asinA＝bsinB＝csinC，又acosA＝bcosB＝ccosC，得sinAcosA＝sinBcosB＝sinCcosC，即tanA＝tanB＝tanC，所以A＝B＝C，即△ABC为等边三角形．1．(2019·辽宁沈阳铁路实验中学期中考试)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cosC＝()A.33B.63C.32D.62解析：选B.由正弦定理，得ABsinC＝ACsinB，即2sinC＝3sin60°，解得sinC＝33.因为AB＜AC，所以C＜B，所以cosC＝1－sin2C＝63.2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝()A．1∶2∶3B．3∶2∶1C．2∶3∶1D．1∶3∶2解析：选D.在△ABC中，因为A∶B∶C＝1∶2∶3，所以B＝2A，C＝3A，又A＋B＋C＝180°，所以A＝30°，B＝60°，C＝90°，所以a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝sin30°∶sin60°∶sin90°＝1∶3∶2.3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c－acosB＝(2a－b)cosA，则△ABC的形状是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形解析：选D.已知c－acosB＝(2a－b)cosA，由正弦定理得sinC－sinAcosB＝2sinAcosA－sinBcosA，所以sin(A＋B)－sinAcosB＝2sinAcosA－sinBcosA，化简得cosA(sinB－sinA)＝0，所以cosA＝0或sinB－sinA＝0，则A＝90°或A＝B，故△ABC为等腰三角形或直角三角形．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放