2019-2020学年新教材高中数学 第六章 平面向量及其应用 6.2.2 向量的减法运算课件 新人

6．2.2向量的减法运算第六章平面向量及其应用考点学习目标核心素养相反向量理解相反向量的概念数学抽象向量的减法掌握向量减法的运算法则及其几何意义数学抽象、直观想象第六章平面向量及其应用问题导学预习教材P11－P12的内容，思考以下问题：1．a的相反向量是什么？2．向量减法的几何意义是什么？1．相反向量(1)定义：与a长度______，方向______的向量，叫做a的相反向差，记作_____，并且规定，零向量的相反向量仍是_________．(2)结论①－(－a)＝______，a＋(－a)＝(－a)＋a＝______；②如果a与b互为相反向量，那么a＝___，b＝____，a＋b＝__．相等相反－a零向量a0－b－a0■名师点拨相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量．2．向量的减法(1)向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝____________．求两个向量差的运算叫做向量的减法．(2)作法：在平面内任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则向量BA→＝a－b，如图所示．(3)几何意义：a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量．a＋(－b)■名师点拨(1)减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．(2)在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接向量终点，箭头指向被减向量”即可．(3)对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个相等向量之差等于0.()(2)两个相反向量之差等于0.()(3)两个向量的差仍是一个向量．()(4)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算．()√×√√在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是()A.AB→－DC→＝0B.AD→－BA→＝AC→C.AB→－AD→＝BD→D.AD→＋CB→＝0答案：C设b是a的相反向量，则下列说法一定错误的是()A．a与b的长度相等B．a∥bC．a与b一定不相等D．a是b的相反向量答案：C在平行四边形ABCD中，向量AB→的相反向量为________．答案：BA→，CD→化简下列各式：(1)(AB→＋MB→)＋(－OB→－MO→)；(2)AB→－AD→－DC→.向量的减法运算【解】(1)法一：原式＝AB→＋MB→＋BO→＋OM→＝(AB→＋BO→)＋(OM→＋MB→)＝AO→＋OB→＝AB→.法二：原式＝AB→＋MB→＋BO→＋OM→＝AB→＋(MB→＋BO→)＋OM→＝AB→＋MO→＋OM→＝AB→＋0＝AB→.(2)法一：原式＝DB→－DC→＝CB→.法二：原式＝AB→－(AD→＋DC→)＝AB→－AC→＝CB→.向量减法运算的常用方法1．下列四个式子中可以化简为AB→的是()①AC→＋CD→－BD→；②AC→－CB→；③OA→＋OB→；④OB→－OA→.A．①④B．①②C．②③D．③④解析：选A.因为AC→＋CD→－BD→＝AD→－BD→＝AD→＋DB→＝AB→，所以①正确，排除C，D；因为OB→－OA→＝AB→，所以④正确，排除B.故选A.2．化简下列向量表达式：(1)OM→－ON→＋MP→－NA→；(2)(AD→－BM→)＋(BC→－MC→)．解：(1)OM→－ON→＋MP→－NA→＝NM→＋MP→－NA→＝NP→－NA→＝AP→.(2)(AD→－BM→)＋(BC→－MC→)＝AD→＋MB→＋BC→＋CM→＝AD→＋(MB→＋BC→＋CM→)＝AD→＋0＝AD→.如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.向量的减法及其几何意义【解】法一：如图①，在平面内任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，连接BC，则CB→＝b－c.过点A作AD綊BC，连接OD，则AD→＝b－c，所以OD→＝OA→＋AD→＝a＋b－c.法二：如图②，在平面内任取一点O，作OA→＝a，AB→＝b，连接OB，则OB→＝a＋b，再作OC→＝c，连接CB，则CB→＝a＋b－c.法三：如图③，在平面内任取一点O，作OA→＝a，AB→＝b，连接OB，则OB→＝a＋b，再作CB→＝c，连接OC，则OC→＝a＋b－c.求作两个向量的差向量的两种思路(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.解：在平面内任取一点O，作向量OA→＝a，OB→＝b，则向量BA→＝a－b，再作向量BC→＝c，则向量CA→＝a－b－c.如图所示，四边形ACDE是平行四边形，点B是该平行四边形外一点，且AB→＝a，AC→＝b，AE→＝c，试用向量a，b，c表示向量CD→，BC→，BD→.用已知向量表示其他向量【解】因为四边形ACDE是平行四边形，所以CD→＝AE→＝c，BC→＝AC→－AB→＝b－a，故BD→＝BC→＋CD→＝b－a＋c.用已知向量表示其他向量的三个关注点(1)搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道．(2)注意综合应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问题．(3)注意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则．例如，在四边形ABCD中，AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝0.1．如图，O为平行四边形ABCD内一点，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，则OD→＝________．解析：因为BA→＝CD→，BA→＝OA→－OB→，CD→＝OD→－OC→，所以OD→－OC→＝OA→－OB→，OD→＝OA→－OB→＋OC→，所以OD→＝a－b＋c.答案：a－b＋c2．已知O是平行四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，若AB→＝a，BC→＝b，OD→＝c.试证明：a－b＋c＝OB→.证明：如图，a＋c＝AB→＋OD→＝DC→＋OD→＝OC→，OB→＋b＝OB→＋BC→＝OC→，所以a＋c＝OB→＋b，即a－b＋c＝OB→.1．在△ABC中，D是BC边上的一点，则AD→－AC→等于()A.CB→B.BC→C.CD→D.DC→解析：选C.在△ABC中，D是BC边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得AD→－AC→＝CD→.2．化简：AB→－AC→＋BD→－CD→＋AD→＝________．解析：原式＝CB→＋BD→＋DC→＋AD→＝CD→＋DC→＋AD→＝0＋AD→＝AD→.答案：AD→3．已知AB→＝10，|AC→|＝7，则|CB→|的取值范围为______．解析：因为CB→＝AB→－AC→，所以|CB→|＝|AB→－AC→|.又|AB→|－|AC→|≤|AB→－AC→|≤|AB→|＋|AC→|，3≤|AB→－AC→|≤17，所以3≤|CB→|≤17.答案：[3，17]4．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|OB→－OC→|＝|OB→－OA→＋OC→－OA→|，试判断△ABC的形状．解：因为OB→－OA→＋OC→－OA→＝AB→＋AC→，OB→－OC→＝CB→＝AB→－AC→.又|OB→－OC→|＝|OB→－OA→＋OC→－OA→|，所以|AB→＋AC→|＝|AB→－AC→|，所以以AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等，所以该平行四边形为矩形，所以AB⊥AC，所以△ABC是直角三角形．本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放