2019-2020学年新教材高中数学 第九章 统计 9.2.2 总体百分位数的估计 9.2.3 总体

知识点一百分位数一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．状元随笔可以通过下面的步骤计算一组n个数据的第p百分位数：第1步，按从小到大排列原始数据．第2步，计算i＝n×p%.第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．知识点二众数、中位数、平均数的概念1．众数：一组数据中，____________________的数据是众数．2．中位数：把一组数据按照________排成一列，把处在________的数据(或________________)叫做这组数据的中位数．3．平均数：如果有n个数x1，x2，x3，…，xn，那么这n个数的平均数为________________．重复出现次数最多大小顺序最中间两个数据的平均数1n(x1＋x2＋…＋xn)状元随笔对众数、中位数、平均数的理解(1)众数、中位数与平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量．(2)众数考查各个数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中部分数据多次重复出现时，其众数往往更能反映问题．(3)中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能在所给的数据中，也可能不在所给的数据中．(4)实际问题中求得的平均数、众数和中位数应带上单位．知识点三标准差、方差1．标准差的计算公式标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，s＝____________________________________.2．方差的计算公式标准差的平方s2叫做方差．s2＝__________________________________________，其中，xi(i＝1,2，…，n)是________，n是________，x是________．1n[x1－x2＋x2－x2＋…＋xn－x2]1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]样本数据样本容量平均数状元随笔对方差与标准差概念的理解(1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．(2)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)．标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性．(3)因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．[教材解难]1．教材P204思考小明用统计软件计算了100户居民用水量的平均数和中位数．但在录入数据时，不小心把一个数据7.7录成了77.请计算录入数据的平均数和中位数，并与真实的样本平均数和中位数作比较．哪个量的值变化更大？你能解释其中的原因吗？提示：通过简单计算可以发现，平均数由原来的8.79t变为9.483t，中位数没有变化，还是6.6t．这是因为样本平均数与每一个样本数据有关，样本中的任何一个数据的改变都会引起平均数的改变；但中位数只利用了样本数据中间位置的一个或两个值，并未利用其他数据，所以不是任何一个样本数据的改变都会引起中位数的改变．因此，与中位数比较，平均数反映出样本数据中的更多信息，对样本中的极端值更加敏感．2．教材P210思考如何定义“平均距离”？提示：假设一组数据是x1，x2，…，xn，用x表示这组数据的平均数．我们用每个数据与平均数的差的绝对值作为“距离”，即|xi－x|(i＝1,2，…，n)作为xi到x的“距离”．可以得到这组数据x1，x2，…，xn到x的“平均距离”为1ni＝1n|xi－x|，为了避免式中含有绝对值，通常改用平方来代替，即1ni＝1n(xi－x)2.[基础自测]1．求下列一组数据1,2,2,3,4,4,5,6,6,7的第30百分位数()A．2B．3C．4D．2.5解析：这组数据共10个，10×30%＝3即第30百分位数是第3项数据．答案：A2．已知一组数据为20,30,40,50,50,60,70,80.其中平均数、中位数和众数的大小关系是()A．平均数中位数众数B．平均数中位数众数C．中位数众数平均数D．众数＝中位数＝平均数解析：平均数、中位数、众数皆为50，故选D.答案：D3．已知一组数据为－3,5,7，x,11，且这组数的众数为5，那么该组数据的中位数是()A．7B．5C．6D．11解析：由这组数据的众数为5，可知x＝5，把这组数据由小到大排列为－3,5,5,7,11，则可知中位数为5.答案：B4．已知五个数据3,5,7,4,6，则该样本的标准差为________．解析：因为x＝15×(3＋5＋7＋4＋6)＝5，所以s＝15×[3－52＋…＋6－52]＝2.答案：2题型一总体百分位数的估计[教材P202例3]例1根据表1或图1，估计月均用水量的样本数据的80%和95%分位数．分组频数累积频数频率[1.2,4.2)正正正正230.23[4.2,7.2)正正正正正正320.32[7.2,10.2)正正130.13[10.2,13.2)正90.09[13.2,16.2)正90.09[16.2,19.2)正50.05[19.2,22.2)30.03[22.2,25.2)40.04[25.2,28.2]20.02合计1001.00表1图1【解析】由表1可知，月均用水量在13.2t以下的居民用户所占比例为23%＋32%＋13%＋9%＝77%.在16.2t以下的居民用户所占的比例为77%＋9%＝86%.因此，80%分位数一定位于[13.2,16.2)内．由13．2＋3×0.80－0.770.86－0.77＝14.2，可以估计月均用水量的样本数据的80%分位数约为14.2.类似地，由22．2＋3×0.95－0.940.98－0.94＝22.95，可以估计月均用水量的样本数据的95%分位数约为22.95.状元随笔在某些情况下，我们只能获得整理好的统计表或统计图，与原始数据相比，它们损失了一些信息．例如由表1我们知道在[16.2,19.2)内有5个数据，但不知道这5个数据具体是多少．此时，我们通常把它们看成均匀地分布在此区间上.教材反思求总体百分位数的估计，首先要从小到大排列数据，频率直方图看作数据均匀分布在直方图上，然后计算出i＝n×p%，当i不是整数要取整，频率直方图要计算出比例值．跟踪训练1某中学高二(2)班甲、乙两名学生自进入高中以来，每次数学考试成绩情况如下：甲：95,81,75,91,86,89,71,65,76,88,94,110,107.乙：83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,78,106,101.计算出学生甲、乙的第25,50的百分位数．解析：把甲、乙两名学生的数学成绩从小到大排序，可得甲：65,71,75,76,81,86,88,89,91,94,95,107,110.乙：78,79,83,86,88,93,98,98,99,101,103,106,114.由13×25%＝3.25,13×50%＝6.5.可得数据的第25,50百分位数为第4,7项数据，即学生甲的第25,50的百分位数为76,88.学生乙的第25,50的百分位数为86,98.题型二众数、中位数、平均数的应用[经典例题]例2某公司的33名员工的月工资(以元为单位)如下：职务董事长副董事长董事总经理经理管理员职员人数11215320月工资5500500035003000250020001500(1)求该公司员工月工资的平均数、中位数、众数；(精确到1元)(2)假设副董事长的月工资从5000元提升到20000元，董事长的月工资从5500元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又分别是多少？(精确到1元)(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法．【解析】(1)平均数是x＝5500＋5000＋3500×2＋3000＋2500×5＋2000×3＋1500×2033≈2091(元)，中位数是1500元，众数是1500元．(2)新的平均数是x′＝30000＋20000＋3500×2＋3000＋2500×5＋2000×3＋1500×2033≈3288(元)，中位数是1500元，众数是1500元．(3)在这个问题中，中位数和众数都能反映出这个公司员工的工资水平．因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平.方法归纳(1)平均数计算方法①定义法：n个数据a1，a2，…，an的平均数a＝a1＋a2＋…＋ann.②利用加权平均数公式：在n个数据中，如果x1出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次(f1＋f2＋…＋fk＝n)，则这n个数的平均数为：x＝x1f1＋x2f2＋…＋xkfkn.③当数据较大时，用公式x＝x′＋a简化计算．(2)中位数的求法①当数据个数为奇数时，中位数是按从小到大(或从大到小)的顺序依次排列的中间那个数．②当数据个数为偶数时，中位数为按从小到大(或从大到小)的顺序依次排列的最中间的两个数的平均数．跟踪训练2某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的平均分是85分，乙班学生成绩的中位数是83分，则x＋y的值为________．解析：因为甲班学生成绩的平均分是85，所以78＋79＋85＋80＋x＋80＋96＋927＝85，解得x＝5，又因为乙班学生成绩的中位数是83，所以y＝3，所以x＋y＝8.答案：8题型三标准差、方差的应用[经典例题]例3甲、乙两机床同时加工直径为100mm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为：甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．【解析】(1)x甲＝16(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，x乙＝16(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.s2甲＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝73，s2乙＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又s2甲s2乙，所以乙机床加工零件的质量更稳定.方法归纳在实际应用中，常常把平均数与标准差结合起来进行决策，在平均值相等的情况下，比较方差或标准差以确定稳定性．跟踪训练3在本例中，若甲机床所加工的6个零件的数据全都加10，那么所得新数据的平均数及方差分别是多少？解析：甲的数据为99＋10,100＋10,98＋10,100＋10,100＋10,103＋10，平均数为100＋10＝110，方差仍为16[(109－110)2＋(110－110)2＋(108－110)2＋(110－110)2＋(110－110)2＋(113－110)2]＝73.