您好,欢迎访问三七文档
一元二次函数、方程和不等式第二章2.3二次函数与一元二次方程、不等式第2课时一元二次不等式的应用课前自主预习1.会解简单的分式不等式.2.会解不等式恒成立问题.3.会利用一元二次不等式解决一些实际问题.1.如何判断二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与x轴的相关位置?[答案]二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与x轴的相关位置,分为三种情况,这可以由一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac三种取值情况(Δ0,Δ=0,Δ0)来确定2.若一元二次不等式ax2+x-10的解集为R,则实数a应满足什么条件?[答案]结合二次函数图象可知,若一元二次不等式ax2+x-10的解集为R,则a0,1+4a0,,解得a∈∅,所以不存在a使不等式ax2+x-10的解集为R课堂互动探究题型一解简单的分式不等式【典例1】解下列不等式:(1)x+21-x0;(2)x+1x-2≤2.[思路导引]等价转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求得.[解](1)由x+21-x0,得x+2x-10,此不等式等价于(x+2)(x-1)0,∴原不等式的解集为{x|x-2或x1}.(2)解法一:移项得x+1x-2-2≤0,左边通分并化简得-x+5x-2≤0,即x-5x-2≥0,它的同解不等式为x-2x-5≥0,x-2≠0,∴x2或x≥5.∴原不等式的解集为{x|x2或x≥5}.解法二:原不等式可化为x-5x-2≥0,此不等式等价于x-5≥0,x-20,①或x-5≤0,x-20,②解①得x≥5,解②得x2,∴原不等式的解集为{x|x2或x≥5}.(1)对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解,但要注意分母不为零.(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为零,然后再用上述方法求解.[针对训练]1.解下列不等式:(1)2x-13x+1≥0;(2)2-xx+31.[解](1)原不等式可化为2x-13x+1≥0,3x+1≠0,解得x≤-13或x≥12,x≠-13,∴x-13或x≥12,∴原不等式的解集为xx-13或x≥12.(2)解法一:原不等式可化为x+30,2-xx+3或x+30,2-xx+3,解得x-3,x-12或x-3,x-12,∴-3x-12,∴原不等式的解集为x-3x-12.解法二:原不等式可化为2-x-x+3x+30,化简得-2x-1x+30,即2x+1x+30,∴(2x+1)(x+3)0,解得-3x-12.∴原不等式的解集为x-3x-12.题型二有关一元二次不等式恒成立的问题【典例2】已知不等式ax2+(a-1)x+a-10对于所有的实数x都成立,求a的取值范围.[思路导引]原不等式对所有的实数x都成立,即原不等式(关于x)的解集为R.注意到二次项的系数为参数a,故应分a=0与a≠0两种情况分类讨论.[解]若a=0,则原不等式为-x-10,即x-1,不合题意,故a≠0.令y=ax2+(a-1)x+a-1,∵原不等式对任意x∈R都成立,∴二次函数y=ax2+(a-1)x+a-1的图象在x轴的下方,∴a0且Δ=(a-1)2-4a(a-1)0,即a0,a-13a+10∴a-13.[变式]若将本例改为:不等式ax2+(a-1)x+a-1≥0的解集为空集,如何求a的取值范围?[解]不等式ax2+(a-1)x+a-1≥0的解集为空集,即不等式ax2+(a-1)x+a-10的解集为R,也就是不等式ax2+(a-1)x+a-10对任意的x∈R恒成立.故a的取值范围是a-13.不等式对任意实数x恒成立,就是不等式的解集为R,对于一元二次不等式ax2+bx+c0,它的解集为R的条件为a0,Δ=b2-4ac0;一元二次不等式ax2+bx+c≥0,它的解集为R的条件为a0,Δ=b2-4ac≤0;一元二次不等式ax2+bx+c0的解集为∅的条件为a0,Δ≤0.[针对训练]2.设a≠0,不等式ax2-x+a0的解集为R,求实数a的取值范围.[解]由题意得,a0,Δ=1-4a20解得:a12.∴a的取值范围为a12.题型三一元二次不等式的实际应用【典例3】某农贸公司按每担200元收购某农产品,并按每100元纳锐10元(又称征税率为10个百分点),计划可收购a万担,政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品,决定将征税率降低x(x≠0)个百分点,预测收购量可增加2x个百分点.(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式;(2)要使此项税收在税率调节后,不少于原计划税收的83.2%,试确定x的取值范围.[思路导引](1)按“税收=收购总金额×税率”可建立y与x的函数关系式;(2)将不等关系用不等式表示,从而求解.[解](1)降低税率后的税率为(10-x)%,农产品的收购量为a(1+2x%)万担,收购总金额为200a(1+2x%)万元.依题意:y=200a(1+2x%)(10-x)%=150a(100+2x)(10-x)(0x10).(2)原计划税收为200a·10%=20a(万元).依题意得:150a(100+2x)(10-x)≥20a×83.2%,化简得,x2+40x-84≤0,∴-42≤x≤2.又∵0x10,∴0x≤2,∴x的取值范围是0x≤2.一元二次不等式应用题常以二次函数为模型,解题时要弄清题意,准确找出其中的不等关系,再利用一元二次不等式求解,确定答案时应注意变量具有的“实际含义”.[针对训练]3.在一个限速40km/h以内的弯道上,甲,乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相碰了,事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12m,乙车的刹车距离略超过10m.又知甲、乙两种车型的刹车距离Sm与车速xkm/h之间分别有如下关系:S甲=0.1x+0.01x2,S乙=0.05x+0.005x2.问超速行驶谁应负主要责任.[解]由题意列出不等式S甲=0.1x+0.01x212,S乙=0.05x+0.005x210.分别求解,得x-40,或x30.x-50,或x40.由于x0,从而得x甲30km/h,x乙40km/h.经比较知乙车超过限速,应负主要责任.课堂归纳小结1.解不等式的过程实际上就是不断转化的过程,是同解不等式的逐步代换,基本思路是:代数化、分式整式化、有理化、低次化、低维化,最后转化到可解的常见一元一次不等式、一元二次不等式上来.2.当一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)的解集为R时,意味着ax2+bx+c0恒成立.由图象可知:关于这类恒成立问题只需考虑开口方向与判别式Δ即可.
本文标题:2019-2020学年新教材高中数学 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.3.2 一元二次不等式
链接地址:https://www.777doc.com/doc-8264088 .html