2019-2020学年新教材高中数学 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.2.2 利用基本不等式

一元二次函数、方程和不等式第二章2.2基本不等式第2课时利用基本不等式求最值课前自主预习1．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．2．能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．基本不等式与最值已知x，y都是正数，(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值；(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值.温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件．2P14S2判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a0，b0，且a＋b＝16，则ab≤64.()(2)若ab＝2，则a＋b的最小值为22.()(3)当x1时，函数y＝x＋1x－1≥2xx－1，所以函数y的最小值是2xx－1.()(4)若x∈R，则x2＋2＋1x2＋2≥2.()[答案](1)√(2)×(3)×(4)×课堂互动探究题型一利用基本不等式求最值【典例1】(1)若x0，求y＝4x＋9x的最小值；(2)设0x32，求函数y＝4x(3－2x)的最大值；(3)已知x2，求x＋4x－2的最小值；(4)已知x0，y0，且1x＋9y＝1，求x＋y的最小值．[思路导引]利用基本不等式求最值，当积或和不是定值时，通过变形使其和或积为定值，再利用基本不等式求解．[解](1)∵x0，∴由基本不等式得y＝4x＋9x≥24x·9x＝236＝12，当且仅当4x＝9x，即x＝32时，y＝4x＋9x取最小值12.(2)∵0x32，∴3－2x0，∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22x＋3－2x22＝92.当且仅当2x＝3－2x，即x＝34时取“＝”．∴y的最大值为92.(3)∵x2，∴x－20，∴x＋4x－2＝(x－2)＋4x－2＋2≥2x－2·4x－2＋2＝6.当且仅当x－2＝4x－2，即x＝4时，x＋4x－2取最小值6.(4)∵x0，y0，1x＋9y＝1，∴x＋y＝(x＋y)1x＋9y＝10＋yx＋9xy≥10＋29＝16.当且仅当yx＝9xy且1x＋9y＝1时等号成立，即x＝4，y＝12时等号成立．∴当x＝4，y＝12时，x＋y有最小值16.[变式](1)本例(3)中，把“x2”改为“x2”，则x＋4x－2的最值又如何？(2)本例(3)中，条件不变，改为求x2－2x＋4x－2的最小值．[解](1)∵x2，∴2－x0，∴x＋4x－2＝x－2＋4x－2＋2＝－2－x＋42－x＋2≤－22－x·42－x＋2＝－2.当且仅当2－x＝42－x，即x＝0时，x＋4x－2取最大值－2.(2)x2－2x＋4x－2＝x－22＋2x－2＋4x－2＝x－2＋4x－2＋2≥2x－2·4x－2＋2＝6当且仅当x－2＝4x－2，即x＝4时，原式有最小值6.(1)若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形、合理拆分项或配凑因式．(2)若多次使用基本不等式，等号成立的条件应相同．[针对训练]1．已知x，y0，且满足x3＋y4＝1，则xy的最大值为________．[解析]∵x，y0，∴x3＋y4＝1≥2xy12，得xy≤3，当且仅当x3＝y4即x＝32，y＝2时，取“＝”号，∴xy的最大值为3.[答案]32．已知x，y0，且x＋y＝4，则1x＋3y的最小值为________．[解析]∵x，y0，∴(x＋y)1x＋3y＝4＋yx＋3xy≥4＋23，当且仅当yx＝3xy，即x＝2(3－1)，y＝2(3－3)时取“＝”号，又x＋y＝4，∴1x＋3y≥1＋32，故1x＋3y的最小值为1＋32.[答案]1＋323．若x3，则实数f(x)＝4x－3＋x的最大值为________．[解析]∵x3，∴x－30，∴f(x)＝4x－3＋x＝4x－3＋(x－3)＋3＝－43－x＋3－x＋3≤－243－x·3－x＋3＝－1，当且仅当43－x＝3－x，即x＝1时取“＝”号．∴f(x)的最大值为－1.[答案]－1题型二利用基本不等式解决实际问题【典例2】如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？[思路导引]设每间虎笼长xm，宽ym，则问题是在4x＋6y＝36的前提下求xy的最大值．[解](1)设每间虎笼长xm，宽为ym，则由条件知4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.设每间虎笼面积为S，则S＝xy.解法一：由于2x＋3y≥22x·3y＝26xy，∴26xy≤18，得xy≤272，即S≤272，当且仅当2x＝3y时，等号成立．由2x＋3y＝18，2x＝3y，解得x＝4.5，y＝3.故每间虎笼长为4.5m，宽为3m时，可使面积最大．解法二：∵2x＋3y＝18，∴S＝xy＝16·(2x)·(3y)≤16·2x＋3y22＝816＝272.(以下同解法一)(2)由条件知S＝xy＝24.设钢筋网总长为l，则l＝4x＋6y.∵2x＋3y≥22x·3y＝26xy＝24，∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当2x＝3y时，等号成立．由2x＝3y，xy＝24，解得x＝6，y＝4.故每间虎笼长6m，宽4m时，可使钢筋网总长最小．解决实际问题时，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)．[针对训练]4．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2000m2的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)[解]设将楼房建为x层，则每平方米的平均购地费用为2160×1042000x＝10800x.于是每平方米的平均综合费用y＝560＋48x＋10800x＝560＋48x＋225x(x≥10)，当x＋225x取最小时，y有最小值．∵x0，∴x＋225x≥2x·225x＝30，当且仅当x＝225x，即x＝15时，上式等号成立．∴当x＝15时，y有最小值2000元．因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最小．课堂归纳小结1．利用基本不等式求最大值或最小值时应注意：(1)x，y一定要都是正数；(2)求积xy最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y最小值时，应看积xy是否为定值；(3)等号是否能够成立．以上三点可简记为“一正、二定、三相等”.2.利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用．3．求解应用题的方法与步骤(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答.