2019-2020学年新教材高中数学 第二章 等式与不等式 2.2.1 不等式及其性质课件（2）新人

第二章等式与不等式2.2.1不等式及其性质你见过下图中的高速公路指示牌吗？左边的指示牌是指对应的车道只能供小客车行驶，而且小客车的速率v1（单位：km/h，下同）应该满足100≤v1≤120；右边的指示牌是指对应的车道可供客车和货车行驶，而且车的速率v2应该满足_____________60≤v2≤100在现实世界里，量与量之间的不等关系是普遍的，不等式是刻画不等关系的工具，我们用数学符号连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式.上述不等式符号中，要特别注意“≥”“≤”.事实上，住意给定两个实数a，b，那么a≥b⇔a≤b⇔“≠”“”“”“≥”“≤”a＞b或a=ba＜b或a=b5≥3，2≥2，2≤2这三个命题都是真命题吗？怎样理解两个实数之间的大小呢？我们已经知道，实数与数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.一般地，如果点P对应的数为x，则称x为点P的坐标，并记作P（x）.另外，数轴上的点往数轴的正方向运动时，它所对应的实数会变大，这就是说，两个数在数轴上对应的点的相对位置决定了这两个数的大小、如下图所示的数轴中，A（a），B（b），不难看出b10a.此外，我们也知道，一个数加上一个正数，相当于数轴上对应的点向正方向移动了一段距离；一个数减去一个正数（即加上一个负数），相当于数轴上对应的点向负方向移动了一段距离。由此可以看出，要比较两个实数a，b的大小，只要考察a-b与0的相对大小就可以了，即a-b0⇔ab,a-b=0⇔a=b,a-b0⇔ab.初中的时候，我们就已经归纳出了不等式的三个性质：性质1如果ab，那么a+cb+c.性质2如果ab，c0，那么acbx.性质3如果ab，c0，那么acbc.你能利用前面的知识，给出性质1的直观理解以及这三个性质的证明吗？事实上，如下图所示，ab是指点A在点B的右侧，a+c和b+c表示点A和点B在数轴上做了相同的平移，平移后得到的点A'和B'的相对位置，与A和B的相对位置是一样的，因此a+cb+c.性质1可以用如下方式证明：因为（a+c）-（b+c）=a+c-b-c=a-b，又因为ab，所以a-b0，从而（a+c）-（b+c）0.因此a+cb+c.性质2可以用类似的方法证明：因为ac-bx=（a-b）c，又因为ab，所以a-b0，而c0，因此（a-b）c0，因此ac-bx0，即acbx.性质3的证明留作练习.用“充分不必要”“必要不充分”“充要”填空：（1）ab是a+cb+c的______条件；（2）如果c0，则ab是acbc的______条件；（3）如果c0，则ab是acbc的________条件.充要充要充要在不等式的证明与求解中，我们还经常用到以下不等式的性质。性质4如果ab，bc，那么ac.直观上，如下图所示，点A在点B的右侧，点B在点C的右侧，因此点A必定在点C的右侧.证明因为a-c=（a-b）+（b-c），又因为ab，所以a-b0；且bc，所以b-c0，因此（a-b）+（b-c）0，从而a-c0，即ac.性质4通常称为不等关系的传递性.我们前面在判断x2-1等类似命题的真假时就用过不等关系的传递性。性质5ab⇔ba.这只要利用a-b=-（b-a）就可以证明，请读者自行尝试.另外，值得注意的是，上述不等式性质对任意满足条件的实数都成立，因此我们可以用任意满足条件的式子去代替其中的字母。典型例题例1比较x2-x和x-2的大小.解因为(x2-x)-(x-2)=x2-2x+2=(x-1)2+1,又因为(x-1)2≥0，所以(x-1)2+1≥10，从而(x2-x)-(x-2)0，因此x2-xx-2.例1的证明中用了配方法，这种方法经常用于式子变形，大家应熟练掌握.需要注意的是，前面我们证明不等式性质和解答例1的方法，其实质都是通过比较两式之差的符号来判断两式的大小，这种方法通常称为作差法.在证明不等式时，当然也可直接利用已经证明过的不等式性质等。从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法，在数学中通常称为综合法.下面我们用综合法来得出几个常用的不等式性质的推论.推论1如果a+bc，那么ac-b.证明a+bc⇒a+b+（-b）c+（-b）⇒ac-b.推论1表明，不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边.推论1通常称为不等式的移项法则推论2如果ab，cd，那么a+cb+d.证明根据性质1有ab⇒a+cb+c，bd⇒b+cb+d，再根据性质4可知a+cb+d.我们把ab和cd（或ab和cd）这类不等号方向相同的不等式，称为同向不等式.推论2说明，两个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向.很明显，推论2可以推广为更一般的结论：有限个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向。推论3如果ab0，cd0，那么acbd.证明根据性质2有ab，c0⇒acbc，cd，b0⇒bcbd，再根据性质4可知acbd.很明显，这个推论也可以推广为更一般的结论：几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向.推论4如果ab0，那么anbn（n∈N，n1）.这个结论的证明只要多次使用推论3的结论即可.推论5如果ab0，那么.ab证明推论5中不等式的方法具有什么特征？可以看出，推论5中证明方法的实质是：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立。这种得到数学结论的方法通常称为反证法，反证法是一种间接证明的方法.典型例题例2（1）已知ab，cd，求证：a-cb-d；（2）已知ab，ab0，求证：（3）已知ab0，0cd，求证：b1a1＜dbca＞证明（1）因为ab，cd，所以ab，-c-d，根据推论2，得a-cb-d.可以看出，例2中所使用的方法是综合法.综合法中，最重要的推理形式为p⇒q，其中p是已知或者已经得出的结论，所以综合法的实质就是不断寻找必然成立的结论。你能证明吗？用综合法证明这个结论方便吗？你觉得可以怎样证明这个结论？5273＜上述这种证明方法通常称为分析法.分析法中，最重要的推理形式是“要证p，只需证明q”，这可以表示为pq，其中p是需要证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件.上述这种证明方法通常称为分析法.分析法中，最重要的推理形式是“要证p，只需证明q”，这可以表示为pq，其中p是需要证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻找结论成立的充分条件.典型例题例3已知m0，求证：31m3m1＞