2019-2020学年新教材高中数学 第八章 立体几何初步 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积

知识点一圆柱、圆锥、圆台、球的表面积圆柱(底面半径为r，母线长为l)圆锥(底面半径为r，母线长为l)圆台(上、下底面半径分别为r′，r，母线长为l)球半径为R侧面展开图底面积S底＝____S底＝____S底＝________侧面积S侧＝____S侧＝____S侧＝________表面积S表＝________S表＝________S表＝____________________S＝4πR22πr2πr2π(r′2＋r2)2πrlπrlπ(r′＋r)l2πr(r＋l)πr(r＋l)π(r′2＋r2)＋π(r＋r′)l知识点二体积公式图形体积公式圆柱底面半径为r，高为h，V＝____圆锥底面半径为r，高为h，V＝________圆台上底半径为r，下底半径为R，高为h，V＝13π(r2＋rR＋R2)h球V＝43πR3πr2h13πr2h状元随笔(1)求旋转体的表面积时，要清楚常见旋转体的侧面展开图是什么，关键是求其母线长与上、下底面的半径．(2)柱体、锥体、台体体积之间的关系柱体、锥体、台体的关系如下：(3)两个结论①两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方．②两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方．[教材解难]1．教材P117思考圆柱、圆锥、圆台的表面积公式之间有什么关系？你能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗？提示：圆台的表面积公式中r′＝r为圆柱的表面积公式，r′＝0为圆锥的表面积公式．2．教材P117思考圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系？结合棱柱、棱锥、棱台的体积公式，你能将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗？柱体、锥体、台体的体积公式之间又有怎样的关系？提示：V柱体＝Sh(S为底面积，h为柱体高)；V锥体＝13Sh(S为底面积，h为锥体高)；V台体＝13(S′＋S′S＋S)h(S′，S分别为上、下底面面积，h为台体高)．当S′＝S时，台体变为柱体，合体的体积公式也就是柱体的体积公式；当S′＝0时，台体变为锥体，台体的体积公式也就是锥体的体积公式．3．教材P118思考在小学，我们学习了圆的面积公式，你还记得是如何求得的吗？类比这种方法，你能由球的表面积公式推导出球的体积公式吗？提示：类比利用圆周长求圆面积的方法，我们可以利用球的表面积求球的体积．如图，把球O的表面分成n个小网格，连接球心O和每个小网格的顶点，整个球体就被分割成n个“小锥体”．当n越大，每个小网格越小时，每个“小锥体”的底面就越平，“小锥体”就越近似于棱锥，其高越近似于球半径R.设O－ABCD是其中一个“小锥体”，它的体积是VO－ABCD≈13SABCDR.由于球的体积就是这n个“小锥体”的体积之和，而这n个“小锥体”的底面积之和就是球的表面积．因此，球的体积V球＝13S球R＝13×4πR2·R＝43πR3.由此，我们得到球的体积公式V球＝43πR3.[基础自测]1．若圆柱的轴截面为边长为2的正方形，求圆柱的侧面积()A．2πB．4πC．6πD．8π解析：由轴截面的边长为2可知r＝1，l＝2，∴S＝2πr·l＝4π.答案：B2．若圆锥的母线长为8，底面周长为6π，则其体积是()A．24πB．24C．355πD．355解析：设圆锥的母线长为l，高为h，底面半径为r，由底面周长为2πr＝6π，得r＝3，所以h＝l2－r2＝82－32＝55.由圆锥的体积公式可得V＝13πr2h＝355π.答案：C3．若球的表面积为4π，则体积为()A.43πB．4πC.8π3D．6π解析：∵S＝4πR2＝4π，∴R2＝1∴V＝43πR3＝43π.答案：A4．圆台OO′的母线长为6，两底面半径分别为2,7，则圆台的侧面面积是________．解析：圆台的上底面半径r′＝2，下底面半径r＝7，母线长l＝6，则圆台的侧面面积S侧＝π(r′＋r)l＝π×(2＋7)×6＝54π.答案：54π题型一旋转体的表面积和体积[经典例题]例1若一个圆锥的轴截面是边长为4cm的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为________cm2，表面积为________cm2.【解析】如图所示，∵轴截面是边长为4cm的等边三角形，∴OB＝2cm，PB＝4cm，∴圆锥的侧面积S侧＝π×2×4＝8π(cm2)，表面积S表＝8π＋π×22＝12π(cm2)．【答案】8π12π由轴截面求出底面半径，再利用圆锥的侧面积公式求圆锥的侧面积，进而求表面积.方法归纳1．旋转体中，求面积应注意侧面展开图，上下面圆的周长是展开图的弧长．圆台通常还要还原为圆锥．2．求旋转体的体积，关键找准半径和母线长，利用公式求体积．跟踪训练1如图，过圆柱的两条母线AA1和BB1的截面A1ABB1的面积为S，母线AA1的长为l，∠A1O1B1＝90°，求此圆柱的体积．解析：∵S截面A1ABB1＝S，AA1＝l，∴A1B1＝Sl.在Rt△A1O1B1中，O1A1＝22·Sl＝2S2l，∴V圆柱＝πr2h＝π·2S2l2·l＝πS22l.根据母线长及截面的面积便可确定AB的长，结合底面直角三角形便可求得底面半径.题型二球的体积与表面积[经典例题]例2(1)球的体积是32π3，则此球的表面积是()A.12πB．16πC.16π3D.64π3【解析】(1)设球的半径为R，则由已知得43πR3＝32π3，解得R＝2.故球的表面积S表＝4πR2＝16π.利用球的体积公式先求半径R，再利用球的表面积公式求解．【答案】(1)B(2)圆柱形玻璃容器内盛有高度为12cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.【解析】(2)设球半径为rcm，则由3V球＋V水＝V圆柱可得3×43πr3＋πr2×12＝πr2×6r，解得r＝6.故球的半径是6cm.【答案】(2)6方法归纳计算球的表面积和体积的关键都是确定球的半径，注意把握表面积公式S球＝4πR2中系数的特征及半径的平方．必要时需逆用表面积公式得到球的半径关于表面积的关系式．同时还应注意体积公式V球＝43πR3中系数的特征及半径的立方．注意：计算与球有关的组合体的表面积与体积时要恰当地分割与拼接，避免重叠．跟踪训练2(1)把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大为原来的()A.2倍B．22倍C.2倍D．32倍(2)一个半球的表面积为1，则相对应的此球的半径应为()A.13πB.3πC.3π3πD.33π3π解析：(1)设改变前、后球的半径分别是r，r′，则由条件可知4πr′2＝2×4πr2.∴r′＝2r，V′＝4πr′33＝22×4πr33.(2)S表＝πr2＋2πr2＝1，∴r＝3π3π.答案：(1)B(2)C先根据球的表面积的关系，得出半径之比，再求出体积之比．题型三旋转体的综合应用[教材P119例4]例3如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比．【解析】设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R.∵V球＝43πR3，V圆柱＝πR2·2R＝2πR3，∴V球：V圆柱＝43πR3：2πR3＝23.教材反思(1)分析结构特征．弄清组合体的组成形式，找准有关简单几何体的关键量．(2)设计计算方法．根据组成形式，设计计算方法，特别要注意“拼接面”面积的处理．利用“切割”“补形”的方法求体积．(3)计算求值．根据设计的计算方法求值．跟踪训练3梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥BC，以l为轴将梯形ABCD旋转一周，求旋转体的表面积和体积．解析：由题意知以l为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒置的且与圆柱等高的圆锥，如图所示．在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，∴CD＝BC－ADcos60°＝2a，AB＝CDsin60°＝3a，∴DD′＝AA′－2AD＝2BC－2AD＝2a，∴DO＝12DD′＝a.由上述计算知，圆柱的母线长为3a，底面半径为2a；圆锥的母线长为2a，底面半径为a.∴圆柱的侧面积S1＝2π·2a·3a＝43πa2，圆锥的侧面积S2＝π·a·2a＝2πa2，圆柱的底面积S3＝π(2a)2＝4πa2，圆锥的底面积S4＝πa2，∴组合体上底面面积S5＝S3－S4＝3πa2，∴旋转体的表面积S＝S1＋S2＋S3＋S5＝(43＋9)πa2.又由题意知形成的几何体的体积为圆柱的体积减去圆锥的体积，且V柱＝π·(2a)2·3a＝43πa3，V锥＝13·π·a2·3a＝33πa3.∴旋转体的体积V＝V柱－V锥＝43πa3－33πa3＝1133πa3.状元随笔旋转体的表面积等于圆柱侧面积、圆锥侧面积与圆柱上下底面积之和减去圆锥底面积，旋转体的体积为圆柱的体积减去圆锥的体积.