2019-2020学年新教材高中数学 第八章 立体几何初步 8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体

知识点一棱柱、棱锥、棱台的表面积棱柱、棱锥、棱台都是由多个____图形围成的多面体，因此它们的表面积等于________的面积之和，也就是________的面积．平面各个面展开图知识点二棱柱、棱锥、棱台的体积图形体积公式棱柱底面积为S，高为h，V＝____棱锥底面积为S，高为h,V＝____棱台上底面积为S′，下底面积为S，高为h，V＝13(S′＋S′S＋S)·hSh13Sh状元随笔(1)多面体展开图的面积即为多面体的表面积，在实际计算中，只要弄清楚多面体的各个面的形状并计算其面积，然后求其和即可，一般不把多面体真正展开．(2)等底、等高的两个柱体的体积相同．(3)求台体的体积转化为求锥体的体积．根据台体的定义进行“补形”，还原为锥体，采用“大锥体”减去“小锥体”的方法求台体的体积．[教材解难]教材P115思考观察棱柱、棱锥、棱台的体积公式V棱柱＝Sh，V棱锥＝13Sh，V棱台＝13h(S′＋S′S＋S)，它们之间有什么关系？你能用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？提示：根据以上关系，在台体的体积公式中，令S′＝S，得柱体的体积公式；令S′＝0，得锥体的体积公式，其关系如图：[基础自测]1．边长为1的正方体的表面积为()A．4B．6C．8D．12解析：正方体一个面的面积为1，六个面的面积为6.答案：B2．三棱锥V－ABC底面是边长为2的正三角形，高为3，求三棱锥的体积()A.3B．23C．33D.233解析：底面是正三角形，边长为2，则面积为3，V＝13Sh＝13·3·3＝3.答案：A3．若棱台的上、下底面面积分别为4,16，高为3，则该棱台的体积为()A．26B．28C．30D．32解析：所求棱台的体积V＝13×(4＋16＋4×16)×3＝28.答案：B4.某几何体的直观图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm2，体积是________cm3.解析：由直观图可得该几何体是由一个长、宽、高分别为4cm、4cm、2cm的长方体和一个棱长为2的正方体组合而成的，故表面积为S＝4×4×2＋4×2×4＋2×2×4＝80(cm2)，体积为V＝4×4×2＋2×2×2＝40(cm3)．答案：8040题型一多面体的表面积[经典例题]例1底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为2，体对角线长为6，则这个棱柱的侧面积是()A.2B．4C．6D．8【解析】由已知得底面边长为1，侧棱长为6－2＝2.∴S侧＝1×2×4＝8.【答案】D先由面对角线长求边长，再由体对角线求侧棱长，进而求解．方法归纳1．多面体的表面积转化为各面面积之和．2．解决有关棱台的问题时，常用两种解题思路：一是把基本量转化到梯形中去解决；二是把棱台还原成棱锥，利用棱锥的有关知识来解决．跟踪训练1如图所示，设正三棱锥S－ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO＝3，则此三棱锥的表面积为________．解析：设正三棱锥的底面边长为a，斜高为h′，过点O作OE⊥AB，交AB于点E，连接SE，则SE⊥AB，SE＝h′.∵S侧＝2S底，∴3×12ah′＝2×34a2，∴a＝3h′.∵SO⊥OE，∴SO2＋OE2＝SE2，∴32＋36×3h′2＝h′2，∴h′＝23，∴a＝3h′＝6.∴S底＝34a2＝34×62＝93，S侧＝2S底＝183.∴S表＝S侧＋S底＝183＋93＝273.答案：273先设出正三棱锥的底面边长为a，利用侧面积是底面积的2倍求a，再利用公式求底面面积，最后求出三棱锥的表面积.题型二多面体的体积[经典例题]例2一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为15，求这个正三棱锥的体积________．【解析】如图所示为正三棱锥S－ABC.设H为正三角形ABC的中心，连接SH，则SH即为该正三棱锥的高．连接AH并延长交BC于E，则E为BC的中点，且AE⊥BC.∵△ABC是边长为6的正三角形，∴AE＝32×6＝33，∴AH＝23AE＝23.在Rt△SHA中，SA＝15，AH＝23，∴SH＝SA2－AH2＝15－12＝3.在△ABC中，S△ABC＝12BC·AE＝12×6×33＝93，∴VS－ABC＝13×93×3＝9，即这个正三棱锥的体积为9.【答案】9状元随笔求棱锥的体积关键是求其高，需要在正棱锥的特征三角形中求解.方法归纳1．常见的求几何体体积的方法①公式法：直接代入公式求解．②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．2．求几何体体积时需注意的问题柱、锥、台的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．跟踪训练2如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A－DED1的体积为________．解析：三棱锥A－DED1的体积等于三棱锥E－DD1A的体积，即VA－DED1＝VE－DD1A＝13×12×1×1×1＝16.答案：16题型三空间组合体的表面积和体积[教材P115例2]例3如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5m，公共面ABCD是边长为1m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米(精确到0.01m3)?解析：由题意知V长方体ABCD－A′B′C′D′＝1×1×0.5＝0.5(m3)，V棱锥P－ABCD＝13×1×1×0.5＝16(m3)．所以这个漏斗的容积V＝12＋16＝23≈0.67(m3).漏斗由两个多面体组成，其容积就是两个多面体的体积和.教材反思求组合体的表面积与体积，关键是弄清楚组合体是由哪几种简单几何体组合而成的，然后由相应几何体的表面积与体积相加或相减得出．需要注意，组合体的表面积并不是简单几何体的表面积的和，因为其接合部分并不裸露在表面．跟踪训练3已知某几何体的直观图如图所示(单位：cm)，求这个几何体的表面积和体积．解析：这个几何体可看成是正方体ABCD－A1B1C1D1与直三棱柱B1C1Q－A1D1P的组合体．由PA1＝PD1＝2，A1D1＝AD＝2，可得PA1⊥PD1.故所求几何体的表面积S＝5×22＋2×2×2＋2×12×(2)2＝(22＋42)(cm2)，体积V＝23＋12×(2)2×2＝10(cm3)．组合体由一个正方体和一个直三棱柱组成，分组求表面积和体积即可，求表面积时应注意看不到的面去掉.