2019-2020学年新教材高中数学 第8章 向量的数量积与三角恒等变换章末复习课课件 新人教B版第

第八章向量的数量积与三角恒等变换章末复习课23平面向量的数量积平面向量的数量积是由物理问题中的做功问题引入的，向量数量积的结果是一个数量，根据定义式可知，当向量夹角为锐角、钝角和直角时，其结果分别为正值、负值和零，零向量与任何一个向量的数量积均为零．平面向量的数量积是向量的核心内容，通过向量的数量积考查向量的平行、垂直等关系，利用向量的数量积可以计算向量的夹角和长度．4【例1】非零向量a，b满足(a＋b)⊥(2a－b)，(a－2b)⊥(2a＋b)，求a，b的夹角的余弦值．[思路探究]由a＋b⊥2a－b，a－2b⊥2a＋b列出方程组→求出|a|2，|b|2，a·b的关系→利用夹角公式可求5[解]由(a＋b)⊥(2a－b)，(a－2b)⊥(2a＋b)，得2|a|2－|b|2＋a·b＝0，2|a|2－2|b|2－3a·b＝0，解得|a|2＝－52a·b，|b|2＝－4a·b，所以|a||b|＝－10a·b，所以cosθ＝a·b|a||b|＝－1010.61.如果等腰三角形ABC的周长是底边长BC的5倍，BC＝1，则AB→·BC→＝()A．12B．14C．－12D．－147C[设D是BC的中点，等腰三角形ABC的周长是底边长BC的5倍，BC＝1，在Rt△ABD中，cos∠ABC＝14，AB→·BC→＝|AB→||BC→|cos(π－∠ABC)＝2×1×－14＝－12.故选C．]8向量的坐标运算1.向量的坐标表示实际上是向量的代数表示．引入向量的坐标表示后，向量的运算完全化为代数运算，实现数与形的统一．2.向量的坐标运算是将几何问题代数化的有力工具，它是转化思想、函数与方程、分类讨论、数形结合等思想方法的具体体现．3.通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模、夹角判断共线、平行、垂直等问题．9【例2】已知向量AB→＝(4,3)，AD→＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．(1)求线段BD的中点M的坐标；(2)若点P(2，y)满足PB→＝λBD→(λ∈R)，求y与λ的值．[思路探究](1)先求B，D点的坐标，再求M点坐标；(2)由向量相等转化为y与λ的方程求解．10[解](1)设点B的坐标为(x1，y1)．∵AB→＝(4,3)，A(－1，－2)，∴(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)，∴x1＋1＝4，y1＋2＝3，∴x1＝3，y1＝1，∴B(3,1)．同理可得D(－4，－3)．设线段BD的中点M的坐标为(x2，y2)，则x2＝3－42＝－12，y2＝1－32＝－1，∴M－12，－1.11(2)由已知得PB→＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)，BD→＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．又PB→＝λBD→，∴(1,1－y)＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，则1＝－7λ，1－y＝－4λ，∴λ＝－17，y＝37.122.已知△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，BC边上的高为AD，求AD→.13[解]设D(x，y)，则AD→＝(x－2，y＋1)，BD→＝(x－3，y－2)，BC→＝(－6，－3)，∵AD→⊥BC→，∴AD→·BC→＝0，则有－6(x－2)－3(y＋1)＝0，①∵BD→∥BC→，则有－3(x－3)＋6(y－2)＝0，②解由①②构成的方程组得x＝1，y＝1，则D点坐标为(1,1)，所以AD→＝(－1,2).14平面向量的应用1.向量在平面几何中的应用，向量的加减运算遵循平行四边形法则或三角形法则，数乘运算和线段平行之间、数量积运算和垂直、夹角、距离问题之间联系密切，因此用向量方法可以解决平面几何中的相关问题．2.向量在解析几何中的应用，主要利用向量平行与垂直的坐标条件求直线的方程．3.在物理中的应用，主要解决力向量、速度向量等问题．15【例3】已知正方形ABCD，E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P.求证：(1)BE⊥CF；(2)AP＝AB．16[证明]如图建立直角坐标系，其中A为原点，不妨设AB＝2，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(0,1)．(1)BE→＝OE→－OB→＝(1,2)－(2,0)＝(－1,2)，CF→＝OF→－OC→＝(0,1)－(2,2)＝(－2，－1)．∵BE→·CF→＝－1×(－2)＋2×(－1)＝0，∴BE→⊥CF→，即BE⊥CF.17(2)设P(x，y)，则FP→＝(x，y－1)，CF→＝(－2，－1)，∵FP→∥CF→，∴－x＝－2(y－1)，即x＝2y－2.同理，由BP→∥BE→，得y＝－2x＋4，代入x＝2y－2.解得x＝65，∴y＝85，即P65，85.∴|AP→|2＝652＋852＝4＝|AB→|2，∴|AP→|＝|AB→|，即AP＝AB．183.已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．(1)求证：AB⊥AD；(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD的两对角线所夹的锐角的余弦值．19[解](1)证明：∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，∴AB→＝(1,1)，AD→＝(－3,3)，∴AB→·AD→＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB→⊥AD→，即AB⊥AD．20(2)∵四边形ABCD为矩形，∴AB→⊥AD→，AB→＝DC→.设C点的坐标为(x，y)，则AB→＝(1,1)，DC→＝(x＋1，y－4)，∴x＋1＝1，y－4＝1，解得x＝0，y＝5，∴C点的坐标为(0,5)．21从而AC→＝(－2,4)，BD→＝(－4,2)，∴|AC→|＝25，|BD→|＝25，AC→·BD→＝8＋8＝16.设AC→与BD→的夹角为θ，则cosθ＝AC→·BD→|AC→||BD→|＝1620＝45，∴矩形ABCD的两条对角线所夹的锐角的余弦值为45.22给值求值问题给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”．使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示．②将已知条件转化而推出可用的结论．其中“凑角法”是解决此类问题的常用技巧．解题时首先是分析已知式与待求式之间角、函数、结构间的差异，有目的的将已知式、待求式的一方或两方加以变换，找出它们之间的联系，最后求出待求式的值．23【例4】已知3π4απ，tanα＋1tanα＝－103.(1)求tanα的值；(2)求5sin2α2＋8sinα2cosα2＋11cos2α2－82sinα－π2的值．24[思路探究](1)结合α的取值范围，求解tanα的值；(2)利用降幂公式和诱导公式先统一角，通过三角变换转化成关于tanα的式子代入求值即可．25[解](1)由tanα＋1tanα＝－103，得3tan2α＋10tanα＋3＝0，即tanα＝－3或tanα＝－13.又3π4απ，所以tanα＝－13.26(2)原式＝5×1－cosα2＋4sinα＋11×1＋cosα2－8－2cosα＝5－5cosα＋8sinα＋11＋11cosα－16－22cosα＝4sinα＋3cosα－2cosα＝4tanα＋3－2＝－526.274．已知sin3π4＋α＝513，cosπ4－β＝35，且0＜α＜π4＜β＜3π4，求cos(α＋β)的值．28[解]∵0＜α＜π4＜β＜3π4，∴3π4＜3π4＋α＜π，－π2＜π4－β＜0.又sin3π4＋α＝513，cosπ4－β＝35，∴cos3π4＋α＝－1213.29sinπ4－β＝－45.cos(α＋β)＝sinπ2＋α＋β＝sin3π4＋α－π4－β＝sin3π4＋αcosπ4－β－cos3π4＋αsinπ4－β＝513×35－－1213×－45＝－3365.30三角恒等变形的综合应用与三角恒等变形有关的综合问题一般有以下两种类型：(1)以三角恒等变形为主要的化简手段，考查三角函数的性质．当给出的三角函数关系式较为复杂，我们要先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简，将函数表达式变形为y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k等形式，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图像和性质．31(2)以向量运算为载体，考查三角恒等变形．这类问题往往利用向量的知识和公式，通过向量的运算，将向量条件转化为三角条件，然后通过三角变换解决问题；有时还从三角与向量的关联点处设置问题，把三角函数中的角与向量的夹角统一为一类问题考查．32【例5】已知向量a＝(1，－3)，b＝(sinx，cosx)，f(x)＝a·b.(1)若f(θ)＝0，求2cos2θ2－sinθ－12sinθ＋π4的值；(2)当x∈[0，π]时，求函数f(x)的值域．33[思路探究](1)可先由f(θ)＝0求tanθ，再化简2cos2θ2－sinθ－12sinθ＋π4后，由tanθ值代入求值；(2)先化简成f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，再据x范围求ωx＋φ范围，进而求得f(x)的值域．34[解](1)∵a＝(1，－3)，b＝(sinx，cosx)，∴f(x)＝a·b＝sinx－3cosx，∵f(θ)＝0，即sinθ－3cosθ＝0，∴tanθ＝3，∴2cos2θ2－sinθ－12sinθ＋π435＝cosθ－sinθsinθ＋cosθ＝1－tanθtanθ＋1＝1－33＋1＝－2＋3.36(2)f(x)＝sinx－3cosx＝2sinx－π3，∵x∈[0，π]，∴x－π3∈－π3，2π3，当x－π3＝－π3，即x＝0时，取最小值－3，当x－π3＝π2，即x＝5π6时，取最大值2，∴当x∈[0，π]时，函数f(x)的值域为[－3，2]．375．已知向量m＝(sinA，cosA)，n＝(3，－1)，且m·n＝1，且A为锐角．(1)求角A的大小；(2)求函数f(x)＝cos2x＋4cosAsinx(x∈R)的值域．38[解](1)由题意得m·n＝3sinA－cosA＝1，2sinA－π6＝1，sinA－π6＝12.由A为锐角得A－π6＝π6，A＝π3.(2)由(1)知cosA＝12，所以f(x)＝cos2x＋2sinx＝1－2sin2x＋2sinx＝－2sinx－122＋32.39因为x∈R，所以sinx∈[－1,1]，因此，当sinx＝12时，f(x)有最大值32，当sinx＝－1时，f(x)有最小值－3，所以所求函数f(x)的值域为－3，32.40转化与化归的思想三角式的恒等变换是解三角函数问题的方法基础，所谓三角式的恒等变换，就是运用有关概念和公式把给定的三角式化为另一等价形式．转化与化归的思想是三角恒等变换应用最广泛的，也是最基本的数学思想，它贯穿于三角恒等变换的始终，要认真体会理解，在解题过程中学会灵活应用．41【例6】已知sinα－β2＝45，cosα2－β＝－1213，且α－β2和α2－β分别为第二、第三象限角，求tanα＋β2的值．[思路探究]先根据α－β2，α2－β的范围求得其正、余弦再求正切值，最后由α＋β2＝α－β2－α2－β求解．42[解]∵sinα－β2＝45，且α－β2为第二象限角，∴cosα－β2＝－1－sin2α－β2＝－35.又cosα2－β＝－1213，且α2－β为第三象限角，∴sinα2－β＝－1－cos2α2