2019-2020学年新教材高中数学 第7章 三角函数 7.2 任意角的三角函数 7.2.3 同角三

第七章三角函数7.2任意角的三角函数7.2.3同角三角函数的基本关系式2学习目标核心素养1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用．(重点)2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．(难点)1.通过同角三角函数基本关系式推理，培养学生的逻辑推理素养．2.借助同角三角函数基本关系式的应用，提升学生的逻辑推理及数学运算核心素养.3自主预习探新知4同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝.商数关系：sinαcosα＝α≠kπ＋π2，k∈Z.(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的等于1，等于角α的正切．1tanα平方和商5思考：“同角”一词的含义是什么？[提示]一是“角相同”，如sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．二是对任意一个角(在使得函数有意义的前提下)，关系式都成立，即与角的表达式形式无关，如sin215°＋cos215°＝1，sin2π19＋cos2π19＝1等．61.已知α∈π2，π，sinα＝55，则tanα＝()A．－12B．2C．12D．－27A[∵α∈π2，π，sinα＝55，∴cosα＝－1－sin2α＝－1－552＝－255，则tanα＝sinαcosα＝－12，故选A．]82.已知sinα＝55，则sin4α－cos4α的值为()A．－15B．－35C．15D．35B[∵cos2α＝1－sin2α＝1－15＝45，∴sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝15－45＝－35.]93.若sinα＋3cosα＝0，则cosα＋2sinα2cosα－3sinα的值为________．－511[因为sinα＋3cosα＝0，所以tanα＝－3，因此原式＝1＋2tanα2－3tanα＝1＋2×－32－3×－3＝－511.]10合作探究提素养11已知一个三角函数值求另两个三角函数值【例1】(1)若sinα＝－45，且α是第三象限角，求cosα，tanα的值；(2)若cosα＝817，求tanα的值；(3)若tanα＝－158，求sinα的值．12[思路探究]对(1)中明确α是第三象限角，所以只有一种结果．对(2)，(3)中未指出角α所在象限的情况，需按α所在象限讨论，分类求解，一般有两种结果．13[解](1)∵sinα＝－45，α是第三象限角，∴cosα＝－1－sin2α＝－35，tanα＝sinαcosα＝－45×－53＝43.14(2)∵cosα＝8170，∴α是第一、四象限角．当α是第一象限角时，sinα＝1－cos2α＝1－8172＝1517，∴tanα＝sinαcosα＝158；15当α是第四象限角时，sinα＝－1－cos2α＝－1－8172＝－1517，∴tanα＝－158.16(3)∵tanα＝－1580，∴α是第二、四象限角．由tanα＝sinαcosα＝－158，sin2α＋cos2α＝1，可得sin2α＝15172.当α是第二象限角时，sinα＝1517；当α是第四象限角时，sinα＝－1517.17利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法：(1)已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系；(2)若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果．181.已知sinαcosα＝－1225，且0απ，求tanα的值．[解]法一：∵sinαcosα＝－1225，sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝1＋2×－1225＝125，∴(sinα＋cosα)2＝125，∴sinα＋cosα＝±15.19同理(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋2425＝4925.∵sinαcosα＝－12250,0απ，∴π2απ，∴sinα0，cosα0，∴sinα－cosα＝75.20由sinα＋cosα＝±15sinα－cosα＝75，得sinα＝45cosα＝－35或sinα＝35cosα＝－45，∴tanα＝－43或tanα＝－34.21法二：∵sinαcosα＝－1225，∴sinαcosαsin2α＋cos2α＝－1225，∴tanαtan2α＋1＝－1225，∴12tan2α＋25tanα＋12＝0，∴(3tanα＋4)(4tanα＋3)＝0，∴tanα＝－43或tanα＝－34.22化切求值【例2】已知tanα＝3，求下列各式的值．(1)4sinα－cosα3sinα＋5cosα；(2)sin2α－2sinα·cosα－cos2α4cos2α－3sin2α；(3)34sin2α＋12cos2α.23[解](1)原式＝4tanα－13tanα＋5＝4×3－13×3＋5＝1114.(2)原式＝tan2α－2tanα－14－3tan2α＝9－2×3－14－3×32＝－223.(3)原式＝34sin2α＋12cos2αsin2α＋cos2α＝34tan2α＋12tan2α＋1＝34×9＋129＋1＝2940.24化切求值的方法技巧1已知tanα＝m，可以求asinα＋bcosαcsinα＋dcosα或asin2α＋bsinαcosα＋ccos2αdsin2α＋esinαcosα＋fcos2α的值，将分子分母同除以cosα或cos2α，化成关于tanα的式子，从而达到求值的目的.2对于asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin2α＋cos2α进行代替后分子分母同时除以cos2α，得到关于tanα的式子，从而可以求值.252.已知tanα＝2，求下列各式的值：(1)2sinα－3cosα4sinα－9cosα；(2)4sin2α－3sinαcosα－5cos2α.26[解](1)2sinα－3cosα4sinα－9cosα＝2tanα－34tanα－9＝2×2－34×2－9＝－1.(2)4sin2α－3sinαcosα－5cos2α＝4sin2α－3sinαcosα－5cos2αsin2α＋cos2α.这时分子和分母均为关于sinα，cosα的二次齐次式．因为cos2α≠0，所以分子和分母同除以cos2α，则4sin2α－3sinαcosα－5cos2α＝4tan2α－3tanα－5tan2α＋1＝4×4－3×2－54＋1＝1.27应用同角三角函数关系化简【例3】若sinα·tanα0，化简1－sinα1＋sinα＋1＋sinα1－sinα.[解]∵sinα·tanα0，∴cosα0.原式＝1－sinα1＋sinα1＋sinα2＋1＋sinα1－sinα1－sinα2＝|cosα||1＋sinα|＋|cosα||1－sinα|＝－cosα1＋sinα＋－cosα1－sinα＝－2cosα1－sin2α＝－2cosα.28解答此类题目常用的方法有：1化切为弦，即把非正、余弦的函数都化成正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的.2对于含有根号的，常把根号下式子化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.3对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.293.化简：1－tanθ·cos2θ＋1＋1tanθ·sin2θ.[解]原式＝cosθ－sinθcosθ·cos2θ＋sinθ＋cosθsinθ·sin2θ＝cos2θ－sinθ·cosθ＋sin2θ＋sinθ·cosθ＝cos2θ＋sin2θ＝1.301.同角三角函数基本关系式的变形形式(1)平方关系：1－sin2α＝cos2α，1－cos2α＝sin2α.(2)商数关系：sinα＝tanα·cosα，cosα＝sinαtanα.312.已知sinα±cosα，整体代入求值已知sinα±cosα求值的问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解．涉及的三角恒等式：(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα；(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα；(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2；(sinα－cosα)2＝(sinα＋cosα)2－4sinαcosα.所以知道sinα＋cosα，sinα－cosα，sinα·cosα这三者中任何一个，另两个式子的值均可求出．323.应用平方关系式由sinα求cosα或由cosα求sinα时，注意α的范围，如果出现无法确定的情况一定要对α所在的象限进行分类讨论，以便确定其符号.33当堂达标固双基341.如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是()A．tanα＝－sinαcosαB．cosα＝－1－sin2αC．sinα＝－1－cos2αD．tanα＝cosαsinαB[由商数关系可知A，D项均不正确，当α为第二象限角时，cosα＜0，sinα＞0，故B项正确．]352.已知α是第四象限角，cosα＝1213，则sinα等于()A．513B．－513C．512D．－512B[由条件知sinα＝－1－cos2α＝－1－12132＝－513.]363.已知sinα＋cosα＝12，则sinαcosα＝________.－38[∵sinα＋cosα＝12，∴(sinα＋cosα)2＝14.∴sin2α＋2sinαcosα＋cos2α＝14.∴1＋2sinαcosα＝14.∴sinαcosα＝－38.]374．已知tanα＝43，且α是第三象限的角，求sinα，cosα的值．[解]由tanα＝sinαcosα＝43得sinα＝43cosα.①又∵sin2α＋cos2α＝1，②38由①②得169cos2α＋cos2α＝1.∴cos2α＝925.又∵α是第三象限的角，∴cosα＝－35.∴sinα＝43cosα＝－45.Thankyouforwatching!