2019-2020学年新教材高中数学 第7章 复数 7.3 复数的三角表示 课时作业20 复数的三角

课时作业22分段函数知识对点练知识点一复数的三角表示1.下列复数中已用三角形式表示的是()A．2(cosα－isinα)B．2(sinα＋icosα)C．－2(cosα＋isinα)D．2[cos(－α)＋isin(－α)]答案D答案解析复数的三角形式为z＝r(cosα＋isinα)，其满足的条件为：①r≥0.②加号连接．③cosα在前，sinα在后．④α前后一致，可取任意值．A不满足②，不正确；B不满足③，不正确；C不满足①，不正确．故选D．解析2．复数z＝－3cosπ5－isinπ5(i是虚数单位)的三角形式是()A．3cos－π5＋isin－π5B．3cosπ5＋isinπ5C．3cos4π5＋isin4π5D．3cos6π5－isin6π5答案C答案解析由复数的三角形式：z＝r(cosθ＋isinθ)得，z＝－3cosπ5－isinπ5＝3－cosπ5＋isinπ5＝3cos4π5＋isin4π5.故选C．解析知识点二复数的辐角与复数的模3.复数z＝sinθ－icosθπ2θπ的辐角主值是()A．θ－π2B．π－θC．2π－θD．θ＋π2答案A答案解析复数z＝sinθ－icosθπ2θπ＝sin(π－θ)＋icos(π－θ)＝cosπ2－π－θ＋isinπ2－π－θ＝cosθ－π2＋isinθ－π2，由π2θπ，得0θ－π2π2，故此复数的辐角主值为θ－π2.故选A．解析4．复数z＝1＋cosα＋isinα(πα2π)的模为()A．2cosα2B．－2cosα2C．2sinα2D．－2sinα2答案B答案解析解法一：复数z＝1＋cosα＋isinα＝1＋2cos2α2－1＋i·2sinα2cosα2＝2cosα2cosα2＋isinα2，∵πα2π，∴π2α2π，cosα20，∴|z|＝2cosα2cosα2＋isinα2＝2cosα2＝－2cosα2.∴z＝1＋cosα＋isinα(πα2π)的模为－2cosα2.解析解法二：∵|z|＝1＋cosα2＋sin2α＝2＋2cosα＝2＋4cos2α2－2＝4cos2α2＝2cosα2，∵πα2π，∴π2α2π，∴cosα20，∴|z|＝－2cosα2.故选B．解析5．当2πθ3π时，求复数z＝1－cosθ＋isinθ的模与辐角主值．解z＝1－cosθ＋isinθ＝2sin2θ2＋i·2sinθ2cosθ2＝2sinθ2sinθ2＋icosθ2.∵2πθ3π，∴πθ23π2，∴sinθ20.从而z＝－2sinθ2－sinθ2＋i－cosθ2＝－2sinθ2cos3π2－θ2＋isin3π2－θ2∵πθ23π2，∴03π2－θ2π2.故|z|＝－2sinθ2，argz＝3π2－θ2.答案知识点三复数相等6.若复数cosθ－isinθ与－sinθ＋icosθ(θ∈R)相等，则θ＝________.解析解法一：根据两个复数相等的充要条件，得cosθ＝－sinθ，即tanθ＝－1，所以θ＝kπ－π4(k∈Z)．解析答案kπ－π4(k∈Z)答案解法二：设z1＝cosθ－isinθ，z2＝－sinθ＋icosθ，则z1＝cos(－θ)＋isin(－θ)，z2＝cosπ2＋θ＋isinπ2＋θ，∵z1＝z2，则π2＋θ＝－θ＋2kπ，k∈Z，故θ＝kπ－π4(k∈Z)．解析知识点四复数的三角表示与向量7.已知复平面内的A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos2θ，其中θ∈(0，π)，设AB→对应的复数是z.(1)求复数z；(2)若复数z对应的点P在直线y＝12x上，求θ的值．解(1)∵点A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos2θ，∴点A，B的坐标分别是A(sin2θ，1)，B(－cos2θ，cos2θ)，∴AB→＝(－cos2θ，cos2θ)－(sin2θ，1)＝(－cos2θ－sin2θ，cos2θ－1)＝(－1，－2sin2θ)．∴AB→对应的复数z＝－1＋(－2sin2θ)i.答案(2)由(1)知点P的坐标是(－1，－2sin2θ)，代入y＝12x，得－2sin2θ＝－12，即sin2θ＝14，∴sinθ＝±12.又∵θ∈(0，π)，∴sinθ＝12，∴θ＝π6或5π6.答案课时综合练一、选择题1．复数z＝11＋i的辐角主值是()A．π4B．3π4C．5π4D．7π4解析z＝11＋i＝12－12i＝22cos7π4＋isin7π4所以辐角主值是7π4.故选D．解析答案D答案2．2i的三角形式是()A．2(cos0＋isin0)B．2cosπ2＋isinπ2C．2cosπ2＋isinπ2D．2(cosπ＋isinπ)解析∵2i的模为r＝|2i|＝2,2i的辐角主值为π2，∴2i的三角形式是2cosπ2＋isinπ2.故选C．解析答案C答案3．若复数z＝r(cosθ＋isinθ)(r0，θ∈R)，则把这种形式叫做复数z的三角形式，其中r称为z的模，θ为z的辐角，若复数z的模为2，其辐角为2π3，则zi＝()A．3＋iB．3－iC．1－3iD．1＋3i解析由已知可得z＝2cos2π3＋isin2π3＝－1＋3i，所以zi＝－1＋3ii＝－1＋3iii2＝3＋i.故选A．解析答案A答案4．下列复数用三角形式表示的是()A．3(sin40°＋isin40°)B．3(cos40°－isin40°)C．－3(cos40°＋isin40°)D．3(cos40°＋isin40°)解析复数的三角形式表示为z＝r(cosθ＋isinθ)，参考四个选项，只有D满足．故选D．解析答案D答案5．复数1－5i和－3－2i的辐角主值分别为α，β，则α＋β等于()A．3π4B．7π4C．11π4D．15π4答案C答案解析∵arg(1－5i)＝α，又1－5i对应点Z1(1，－5)在第四象限，∴3π2α2π.∵arg(－3－2i)＝β，－3－2i对应点Z2(－3，－2)在第三象限，∴πβ3π2.则5π2α＋β7π2，即10π4α＋β14π4.故选C．解析二、填空题6．复数2cos3π4＋isin3π4的代数形式为________．解析2cos3π4＋isin3π4＝2－22＋22i＝－2＋2i.解析答案－2＋2i答案7．复数z＝log121＋|1＋i|i的三角形式是________．解析∵|1＋i|＝12＋12＝2，∴z＝log121＋|1＋i|i＝2i.∵z在复平面对应点的坐标为(0，2)，∴z的辐角主值为π2，∴z的三角形式是2cosπ2＋isinπ2.解析答案2cosπ2＋isinπ2答案8．已知复数z1＝1＋i，则复数z＝z21－3z1＋6z1＋1的辐角主值为________．解析将z1＝1＋i代入式中化简整理：z＝1＋i2－31＋i＋61＋i＋1＝3－i2＋i＝1－i，显然argz＝7π4.解析答案7π4答案三、解答题9．画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式．(1)z1＝－1＋i；(2)z2＝－12－32i.解(1)复数z1＝－1＋i对应的向量如图1所示，答案则r1＝－12＋12＝2，cosθ＝－12＝－22.∵与z1＝－1＋i对应的点位于第二象限，则argz1＝3π4.故z1＝－1＋i＝2cos3π4＋isin3π4.答案(2)复数z2＝－12－32i对应的向量如图2所示，则r2＝－122＋－322＝1，cosθ＝－12.∵与z2＝－12－32i对应的点位于第三象限，则argz2＝4π3，故z2＝－12－32i＝cos4π3＋isin4π3.答案10．已知z1＝cosθ1＋isinθ1，z2＝cosθ2＋isinθ2，其中0θ1π，0θ2π，求z1＋z2的模与辐角．解∵z1＝cosθ1＋isinθ1，z2＝cosθ2＋isinθ2，∴z1＋z2＝(cosθ1＋isinθ1)＋(cosθ2＋isinθ2)＝(cosθ1＋cosθ2)＋i(sinθ1＋sinθ2)＝2cosθ1＋θ22cosθ1－θ22＋i·2sinθ1＋θ22cosθ1－θ22＝2cosθ1－θ22cosθ1＋θ22＋isinθ1＋θ22.答案∵0θ1π，0θ2π，∴－π－θ20，－πθ1－θ2π，－π2θ1－θ22π2，则cosθ1－θ220.∴|z1＋z2|＝2cosθ1－θ22.z1＋z2的辐角是2kπ＋θ1＋θ22(k∈Z)．答案本课结束