2019-2020学年新教材高中数学 第6章 平面向量初步 6.3 平面向量线性运算的应用 课时35

课时35向量在平面几何中的应用知识对点练知识点一向量在平面几何证明问题中的应用1．如图所示，在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线上取点F，在其反向延长线上取点E，使BE＝DF，用向量方法证明四边形AECF是平行四边形．证明如题图，由向量加法法则知AE→＝AB→＋BE→，FC→＝FD→＋DC→.又AB→＝DC→，BE→＝FD→，所以AE→＝FC→，即AE綊FC，所以四边形AECF是平行四边形．答案2．如下图所示，△ABC的顶点A，B，C分别对应向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，c＝(x3，y3)，其重心为G，对应的向量为g＝(x0，y0)．求证：x0＝x1＋x2＋x33，y0＝y1＋y2＋y33.证明设AC的中点为D，且点D对应的向量为q＝(x4，y4)，则x4＝x1＋x32，y4＝y1＋y32.由平面几何的知识，得BG→＝2GD→，∴x0＝x2＋2x41＋2＝x2＋2x1＋x321＋2＝x1＋x2＋x33，y0＝y2＋2y41＋2＝y2＋2y1＋y321＋2＝y1＋y2＋y33.答案知识点二向量在平面几何计算问题中的应用3.已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(－1，－2)，C(3,1)，且BC→＝2AD→，则顶点D的坐标为()A．2，72B．2，－12C．(3,2)D．(1,3)答案A答案解析设D(x，y)，则BC→＝(4,3)，AD→＝(x，y－2)，由BC→＝2AD→得4＝2x，3＝2y－2，∴x＝2，y＝72.∴顶点D的坐标为2，72.解析4．在△ABC中，已知顶点A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，则BC边的中线AD的长是()A．25B．552C．35D．752解析BC的中点为D32，6，AD→＝－52，5，∴|AD→|＝552.解析答案B答案5．如图所示，在△ABC中，AD为BC边上的中线，且AE→＝2EC→，BE交AD于点G，求AGGD及BGGE的值．解设AGGD＝λ，BGGE＝μ.∵AD为BC边上的中线，∴AD→＝12(AB→＋AC→)．又∵AG→＝λGD→＝λ(AD→－AG→)，∴AG→＝λ1＋λAD→＝λ21＋λAB→＋λ21＋λAC→.又∵BG→＝μGE→，即AG→－AB→＝μ(AE→－AG→)，答案∴(1＋μ)AG→＝AB→＋μAE→，AG→＝11＋μAB→＋μ1＋μAE→.又∵AE→＝23AC→，∴AG→＝11＋μAB→＋2μ31＋μAC→.∵AB→，AC→不共线，∴λ21＋λ＝11＋μ，λ21＋λ＝2μ31＋μ.解得λ＝4，μ＝32.∴AGGD＝4，BGGE＝32.答案知识点三向量在平面几何中的综合应用6.若O是△ABC所在平面内一点，且满足|OB→－OC→|＝|OB→＋OC→－2OA→|，则△ABC的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形答案B答案解析因为|OB→－OC→|＝|CB→|＝|AB→－AC→|，|OB→＋OC→－2OA→|＝|AB→＋AC→|，所以|AB→－AC→|＝|AB→＋AC→|，则AB→·AC→＝0，所以∠BAC＝90°，即△ABC是直角三角形．故选B．解析7．已知向量集合M＝{a|a＝(1,2)＋λ1(3,4)，λ1∈R}，N＝{a|a＝(－2，－2)＋λ2(4,5)，λ2∈R}，则M∩N等于()A．{(1,2)}B．{(1,2)，(－2，－2)}C．{(－2，－2)}D．∅答案C答案解析令(1,2)＋λ1(3,4)＝(－2，－2)＋λ2(4,5)，即(1＋3λ1,2＋4λ1)＝(－2＋4λ2，－2＋5λ2)，∴1＋3λ1＝－2＋4λ2，2＋4λ1＝－2＋5λ2.解得λ1＝－1，λ2＝0.故M与N只有一个公共元素是(－2，－2)．解析8．如图所示，在△ABC中，E为线段AC的中点，试问在线段AC上是否存在一点D，使得BD→＝13BC→＋23BE→？若存在，说明点D的位置；若不存在，说明理由．解假设存在点D，使得BD→＝13BC→＋23BE→.则BD→＝13BC→＋23(BC→＋CE→)＝BC→＋23CE→，BD→－BC→＝23CE→，CD→＝23CE→，CD→＝23×12CA→，即CD→＝13CA→.所以存在点D使BD→＝13BC→＋23BE→，且点D为靠近点C的线段AC的三等分点.答案易错点不能将平面几何中计算问题转化为向量问题致误9.设O为△ABC内任一点，且满足OA→＋3OB→＋4OC→＝0，且D，E分别是BC，CA的中点，则△ABC与△BOC的面积之比为________．易错分析以上题目的求解中，需要根据向量条件判定几何图形中的平行关系，从而利用面积公式求得比例关系．答案8∶1答案正解如图，OB→＋OC→＝2OD→，OA→＋OC→＝2OE→，∴OA→＋3OB→＋4OC→＝(OA→＋OC→)＋3(OB→＋OC→)＝2(3OD→＋OE→)＝0，即3OD→＋OE→＝0，∴DO→与OE→共线，即点D，E，O共线，∴3|OD→|＝|OE→|，∴S△BOC＝2S△COD＝2×14S△CDE＝2×14×14S△ABC＝18S△ABC，即S△ABC∶S△BOC＝8∶1.答案课时综合练一、选择题1．在四边形ABCD中，若AD→＝13BC→，则四边形ABCD是()A．平行四边形B．梯形C．矩形D．菱形解析由AD→＝13BC→，可知AD∥BC，且|AD→||BC→|，故四边形ABCD是梯形．解析答案B答案2．已知△MNS的三个顶点M，N，S及平面内一点Q满足QM→＋QN→＝QS→，则下列结论中正确的是()A．点Q在△MNS的内部B．点Q在△MNS的边MN上C．点Q在MN边所在直线上D．点Q在△MNS的外部答案D答案解析由QM→＋QN→＝QS→，所以四边形QMSN为平行四边形．如图，可知点Q在△MNS的外部．故选D．解析3．已知O是直线AB外一点，C，D是线段AB的三等分点，且AC＝CD＝DB．如果OA→＝3e1，OB→＝3e2，那么OD→等于()A．e1＋2e2B．2e1＋e2C．23e1＋13e2D．13e1＋23e2答案A答案解析如图所示，OD→＝OA→＋AD→＝OA→＋23AB→＝OA→＋23(OB→－OA→)＝13OA→＋23OB→＝e1＋2e2，应选A．解析4．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，点C在第一象限内，∠AOC＝π6，且OC＝2.若OC→＝λOA→＋μOB→，则λ＋μ的值是()A．2B．2＋1C．3D．3＋1答案D答案解析由题意，知OA→＝(1,0)，OB→＝(0,1)．设C(x，y)，则OC→＝(x，y)．∵OC→＝λOA→＋μOB→，∴(x，y)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)．∴x＝λ，y＝μ.又∵∠AOC＝π6，OC＝2，∴λ＝x＝2cosπ6＝3，μ＝y＝2sinπ6＝1，∴λ＋μ＝3＋1.解析5．O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP→＝OA→＋λAB→|AB→|＋AC→|AC→|，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心答案B答案解析因为AB→|AB→|是向量AB→方向上的单位向量，设AB→与AC→方向上的单位向量分别为e1和e2，又OP→－OA→＝AP→，则原式可化为AP→＝λ(e1＋e2)，由菱形的基本性质可知AP平分∠BAC，那么在△ABC中，AP平分∠BAC．故选B．解析二、填空题6．在直角三角形ABC中，斜边BC的长为2，O是平面ABC内一点，点P满足OP→＝OA→＋12(AB→＋AC→)，则|AP→|＝________.答案1答案解析如图，设BC边的中点为D，连接AD，则12(AB→＋AC→)＝AD→，OP→＝OA→＋12(AB→＋AC→)⇒OP→＝OA→＋AD→⇒OP→－OA→＝AD→⇒AP→＝AD→，因此|AP→|＝|AD→|＝1.解析7．已知P为△ABC所在平面内一点，且满足AP→＝15AC→＋25AB→，则△APB的面积与△APC的面积之比为________．答案1∶2答案解析由题意，得5AP→＝AC→＋2AB→，得2AP→－2AB→＝AC→－AP→－2AP→，得－2(PA→＋PB→)＝PC→，如图所示，以PA，PB为邻边作▱PAEB，则C，P，E三点共线，连接PE交AB于点O，则PC→＝2EP→＝4OP→.所以S△APBS△APC＝2S△APOS△APC＝2|OP||PC|＝12.解析8．如图所示，已知O为坐标原点，点A(3,0)，B(4,4)，C(2,1)，则AC和OB的交点P的坐标为________．答案32，32答案解析设OP→＝tOB→＝t(4,4)＝(4t,4t)，则AP→＝OP→－OA→＝(4t－3,4t)，AC→＝(2,1)－(3,0)＝(－1,1)．由AP→，AC→共线，得(4t－3)×1－4t×(－1)＝0，解得t＝38.∴OP→＝(4t,4t)＝32，32，∴点P的坐标为32，32.解析三、解答题9．求证：顺次连接任意四边形各边中点，构成一个平行四边形．证明如图，设M，N，Q，P是四边形ABCD各边的中点，那么MN→－PQ→＝MN→＋QP→＝(MB→＋BN→)＋(QD→＋DP→)＝12AB→＋12BC→＋12CD→＋12DA→＝12AC→＋12CA→＝0.∴MN→＝PQ→，∴四边形MNQP是平行四边形．答案10．如图△ABC中，点O是BC的中点，过O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若AB→＝mAM→，AC→＝nAN→，求m＋n的值．解如图，连接AO，∵AO→＝12(AB→＋AB→)＝12(mAM→＋nAN→)＝m2AM→＋n2AN→，答案∴OM→＝AM→－AO→＝AN→－m2AN→－n2AN→＝1－m2AN→－n2AN→.NM→＝AM→－AN→，又∵OM→与NM→共线．存在实数λ，使OM→＝λNM→，即1－m2AM→－n2AN→＝λAM→－λAN→，∴1－m2＝λ，－n2＝－λ，∴1－12(m＋n)＝0.∴m＋n＝2.答案11．已知四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，求证：EF→＝12(AB→＋DC→)．证明证法一：如图1，首先建立直角坐标系．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，则有AB→＝(x2－x1，y2－y1)，DC→＝(x3－x4，y3－y4)．∴12(AB→＋DC→)＝x2－x1＋x3－x42，y2－y1＋y3－y42.答案又∵E，F分别是AD，BC的中点，∴Ex1＋x42，y1＋y42，Fx2＋x32，y2＋y32，∴EF→＝x2＋x3－x1－x42，y2＋y3－y1－y42，∴EF→＝12(AB→＋DC→)．答案证法二：如图2，EF→＝ED→＋DC→＋CF→，①EF→＝EA→＋AB→＋BF→，②向量相加得，2EF→＝DC→＋AB→，∴EF→＝12(DC→＋AB→)．答案12．四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：PA＝EF.证明建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，DP＝λ(0＜λ＜2)，答案则A(0,1)，P22λ，22λ，E1，22λ，F22λ，0，∴PA→＝－22λ，1－22λ，EF→＝22λ－1，－22λ，∴|PA→|＝－22λ2＋1－22λ2＝λ2－2λ＋1，|EF→|＝22λ－12＋－22λ2＝λ2－2λ＋1，∴|PA→|＝|E