2019-2020学年新教材高中数学 第6章 平面向量初步 6.2.3 平面向量的坐标及其运算 课时

课时34向量平行的坐标表示知识对点练知识点一向量共线的判断1.判断下列向量是否平行：(1)a＝(1,3)，b＝(2,4)；(2)a＝(1,2)，b＝12，1.解解法一：(1)∵1×4－3×2＝－2≠0，∴a与b不平行．(2)∵1×1－2×12＝0，∴a∥b．解法二：(1)∵12≠34，∴a与b不平行．(2)∵112＝21，∴a∥b．答案知识点二向量共线的应用2.已知向量a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，则b可能是()A．(4,8)B．(8,4)C．(－4，－8)D．(－4,8)解析∵a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，∴b可能是(4，－8)或(－4,8)．故选D．解析答案D答案3．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.解析a＋b＝(2－1，－1＋m)＝(1，m－1)，由(a＋b)∥c，得1×2－(m－1)×(－1)＝0，即m＝－1.解析答案－1答案4．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,6)，u＝a＋2b，v＝2a－b，(1)若u∥v，求实数x的值；(2)若a，v不共线，求实数x的值．解(1)u＝a＋2b＝(1,2)＋(2x,12)＝(1＋2x,14)，v＝2a－b＝(2,4)－(x,6)＝(2－x，－2)．由u∥v，故－2(1＋2x)＝14(2－x)，得x＝3.(2)由a∥v可知，－2＝2(2－x)，得x＝3.若a，v不共线，则x≠3.答案知识点三三点共线问题5.已知a＞0，若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝()A．0B．1－2C．1＋2D．1＋22答案C答案解析AB→＝(2，a2)－(1，－a)＝(1，a2＋a)，AC→＝(3，a3)－(1，－a)＝(2，a3＋a)，又AB→∥AC→，故2(a2＋a)－1(a3＋a)＝0，得a3－2a2－a＝0，∵a＞0，∴a2－2a－1＝0，得a＝2±82＝1±2，又a＞0，得a＝2＋1.解析6．已知A，B，C三点共线，BA→＝－38AC→，点A，B的纵坐标分别为2,5，则点C的纵坐标为________．解析设点C的纵坐标为y，∵A，B，C三点共线，BA→＝－38AC→，A，B的纵坐标分别为2,5，∴2－5＝－38(y－2)．∴y＝10.解析答案10答案7．已知OA→＝(1,1)，OB→＝(3，－1)，OC→＝(a，b)．(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系；(2)若AC→＝2AB→，求点C的坐标．解由题意知，AB→＝OB→－OA→＝(2，－2)，AC→＝OC→－OA→＝(a－1，b－1)．(1)若A，B，C三点共线，则AB→∥AC→，即2(b－1)－(－2)×(a－1)＝0，故a＋b＝2.答案(2)∵AC→＝2AB→，∴(a－1，b－1)＝(4，－4)，∴a－1＝4，b－1＝－4，∴a＝5，b＝－3，即点C的坐标为(5，－3).答案易错点忽略零向量致错8.已知m∈R，且向量a＝(3,2－m)与b＝(m，－m)平行，则m＝________.易错分析本题容易忽略零向量与任一向量平行，认为m≠0，得到如下解析：由a∥b，得3m＝2－m－m，解得m＝5.故m的值是5.事实上，当m＝0时，b为零向量，也与a平行．答案0或5答案正解由a∥b，得3×(－m)－m×(2－m)＝0，即m2－5m＝0，解得m＝0或m＝5.故m的值是0或5.答案课时综合练一、选择题1．已知a＝(2,3)，b＝(4，y)，且a∥b，则y的值为()A．6B．－6C．83D．－83解析∵a∥b，∴2y－3×4＝0，即y＝6.解析答案A答案2．若a＝(2cosα，1)，b＝(sinα，1)，且a∥b，则tanα等于()A．2B．12C．－2D．－12解析∵a∥b，∴sinα＝2cosα，则tanα＝2.解析答案A答案3．线段M1M2的端点M1，M2的坐标分别为(1,5)，(2,3)，且M1M→＝－2MM2→，则点M的坐标为()A．(3,8)B．(1,3)C．(3,1)D．(－3，－1)解析设M(x，y)，则M1M→＝(x－1，y－5)，MM2→＝(2－x,3－y)，由M1M→＝－2MM2→，得x－1＝－22－x，y－5＝－23－y.解得x＝3，y＝1，故点M的坐标为(3,1)．解析答案C答案4．设k∈R，下列向量中，与向量a＝(1，－1)一定不平行的向量是()A．b＝(k，k)B．c＝(－k，－k)C．d＝(k2＋1，k2＋1)D．e＝(k2－1，k2－1)解析易知当k＝0时，b＝c＝0与a平行；若a∥d，则－(k2＋1)＝k2＋1，即k2＋1＝0.显然k不存在．故a不平行于d，当k＝±1时，e＝0与a平行．解析答案C答案5．已知两点A(2，－1)，B(3,1)，与AB→平行且方向相反的向量a可能是()A．a＝(1，－2)B．a＝(9,3)C．a＝(－1,2)D．a＝(－4，－8)解析AB→＝(3－2,1＋1)＝(1,2)，∵(－4，－8)＝－4(1,2)，∴(－4，－8)满足条件．解析答案D答案二、填空题6．若向量a＝(x,1)，b＝(4，x)，则当x＝________时，a，b共线且方向相同．解析∵a＝(x,1)，b＝(4，x)，a∥b，∴x·x－1×4＝0，即x2＝4，∴x＝±2.当x＝－2时，a与b方向相反，当x＝2时，a与b共线且方向相同．解析答案2答案7．已知a＝(－2,3)，b∥a，b的起点为A(1,2)，终点B在坐标轴上，则B点坐标为________．答案0，72或73，0答案解析由b∥a，可设b＝λa＝(－2λ，3λ)．设B(x，y)，则AB→＝(x－1，y－2)＝B．由－2λ＝x－1，3λ＝y－2⇒x＝1－2λ，y＝3λ＋2.又B点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，所以B0，72或73，0.解析8．设a＝(6,3a)，b＝(2，x2－2x)，且满足a∥b的实数x存在，则实数a的取值范围是________．解析由题意得，6(x2－2x)＝6a有解，即x2－2x－a＝0有解，∴Δ＝4－4(－a)·1＝4＋4a≥0，故a≥－1.解析答案[－1，＋∞)答案9．已知向量OA→＝(3，－4)，OB→＝(6，－3)，OC→＝(5－m，－3－m)，若A，B，C三点共线，则实数m的值是________．答案12答案解析∵向量OA→＝(3，－4)，OB→＝(6，－3)，OC→＝(5－m，－3－m)，∴AB→＝OB→－OA→＝(6，－3)－(3，－4)＝(3,1)，AC→＝OC→－OA→＝(5－m，－3－m)－(3，－4)＝(2－m，1－m)．∵A，B，C三点共线，∴AB→∥AC→，∴3×(1－m)＝(2－m)×1，解得m＝12.解析三、解答题10．已知向量AB→＝(4,3)，AD→＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．(1)求线段BD的中点M的坐标；(2)若点P(2，y)满足PB→＝λBD→(λ∈R)，求y与λ的值．解(1)设点B的坐标为(x1，y1)．∵AB→＝(4,3)，A(－1，－2)，∴(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)．∴x1＋1＝4，y1＋2＝3，∴x1＝3，y1＝1.∴B(3,1)．同理可得D(－4，－3)．设线段BD的中点M的坐标为(x2，y2)，则x2＝3－42＝－12，y2＝1－32＝－1，∴点M的坐标为－12，－1.答案(2)由已知得PB→＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)，BD→＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．又PB→＝λBD→，∴(1,1－y)＝λ(－7，－4)，即1＝－7λ，1－y＝－4λ，∴λ＝－17，y＝37.答案11．已知a＝(2,1)，b＝(3，－4)，当λ为何值时，λa－b与a＋2b平行？平行时，它们是同向还是反向？解λa－b＝λ(2,1)－(3，－4)＝(2λ－3，λ＋4)，a＋2b＝(2,1)＋2(3，－4)＝(8，－7)．∵(λa－b)∥(a＋2b)，∴8(λ＋4)＋7(2λ－3)＝0，解得λ＝－12.∴－12a－b＝－12×2－3，－12＋4＝－4，72，即λa－b＝－12(a＋2b)．故当λ＝－12时，λa－b与a＋2b平行，平行时它们反向．答案12．已知四边形ABCD是边长为6的正方形，E是AB的中点，点F在边BC上，且BF∶FC＝2∶1，AF与EC相交于点P，求四边形APCD的面积．解如图所示，以AB，AD所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，则有A(0,0)，B(6,0)，C(6，6)，D(0,6)．答案由E为AB的中点，则E(3,0)，由BF∶FC＝2∶1，∴F(6,4)．设P(x，y)，则AP→＝(x，y)．∵AP→与AF→共线，∴4x＝6y即y＝23x.①∵EP→＝(x－3，y)，EC→＝(3,6)，EP→与EC→共线，答案∴3y＝6(x－3)，即y＝2(x－3)．②由①②得x＝92，y＝3，即P92，3.由S四边形APCD＝S正方形ABCD－S△ABF－S△CPF，＝6×6－12×6×4－12×2×6－92＝452.∴四边形APCD的面积为452.答案本课结束