2019-2020学年新教材高中数学 第6章 平面向量初步 6.2.3 平面向量的坐标及其运算 课时

课时33平面向量的坐标及其运算、两点间的距离公式与中点坐标公式知识对点练知识点一平面向量的坐标1.如下图，向量a，b，c的坐标分别是________、________、________.答案(－4,0)(0,6)(－2，－5)答案解析将各向量向基底所在直线分解．a＝－4i＋0j，∴a＝(－4,0)，b＝0i＋6j，∴b＝(0,6)，c＝－2i－5j，∴c＝(－2，－5)．解析2．在平面直角坐标系中，点A(2,3)，B(－3,4)，如图所示，x轴、y轴正方向上的两个单位向量分别为i和j，则下列说法正确的是________(只填序号)．①OA→＝2i＋3j；②OB→＝3i＋4j；③AB→＝－5i＋j；④BA→＝5i－j.答案①③④答案解析i，j互相垂直，故可作为基底，由平面向量基本定理，有OA→＝2i＋3j，OB→＝－3i＋4j，AB→＝OB→－OA→＝－5i＋j，BA→＝OA→－OB→＝5i－j，故①③④正确．解析知识点二平面上向量的运算与坐标的关系3.设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b＝()A．(7,3)B．(7,7)C．(1,7)D．(1,3)解析a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)．解析答案A答案4．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则a＋b()A．平行于x轴B．平行于第一、三象限的角平分线C．平行于y轴D．平行于第二、四象限的角平分线解析因为a＋b＝(0,1＋x2)，所以a＋b平行于y轴．解析答案C答案5．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b相等，则mn＝________，|na＋mb|＝________.答案－1241答案解析ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．∴2m－n＝4，3m＋2n＝－1，解得m＝1，n＝－2，∴mn＝－12.na＋mb＝－2a＋b＝(－5，－4)，∴|na＋mb|＝|－2a＋b|＝－52＋－42＝25＋16＝41.解析知识点三两点之间的距离公式与中点坐标公式6.在△ABC中，已知点A(3,7)，B(－2,5)，若线段AC，BC的中点都在坐标轴上．(1)求点C的坐标；(2)求△ABC的三边长．解(1)①若AC的中点在y轴上，则BC的中点在x轴上，设点C的坐标为(x，y)，由中点坐标公式得3＋x2＝0，y＋52＝0，∴x＝－3，y＝－5，即C点坐标为(－3，－5)．②若AC的中点在x轴上，则BC的中点在y轴上，则同理可得C点坐标为(2，－7)．综上C点坐标为(－3，－5)或(2，－7)．答案(2)当C点坐标为(－3，－5)时，AB＝－2－32＋5－72＝29，AC＝－3－32＋－5－72＝65，BC＝－3＋22＋－5－52＝101.当C点坐标为(2，－7)时，AB＝29，AC＝2－32＋－7－72＝197，BC＝2＋22＋－7－52＝410.答案7．已知在△ABC中，A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N是AB，AC的中点，D是BC的中点，MN与AD交于点F，求DF→.解因为A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，所以AB→＝(－4，－3)，AC→＝(－3，－5)．又因为D是BC的中点，有AD→＝12(AB→＋AC→)＝(－3.5，－4)，而M，N分别为AB，AC的中点，所以F为AD的中点．故有DF→＝12DA→＝－12AD→＝(1.75,2)．答案解由已知得OA→＝(1,2)，AB→＝(3,3)，OP→＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)．(1)若点P在x轴上，则有2＋3t＝0，t＝－23；若点P在y轴上，则有1＋3t＝0，t＝－13；若点P在第二象限，则有1＋3t0，2＋3t0，解得－23t－13.答案(2)PB→＝OB→－OP→＝(4,5)－(1＋3t,2＋3t)＝(3－3t，3－3t)，若四边形OABP是平行四边形，则有OA→＝PB→，即有3－3t＝1，且3－3t＝2，这显然是不可能的，因此，四边形OABP不可能是平行四边形．答案9．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB→＝a，BC→＝b，CA→＝c，且CM→＝3c，CN→＝－2B．(1)求3a＋b－3c；(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；(3)求点M，N的坐标及MN→的坐标．解由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．答案(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)＝(5，－5)，∴－6m＋n＝5，－3m＋8n＝－5.解得m＝－1，n＝－1.(3)∵CM→＝OM→－OC→＝3c，∴OM→＝3c＋OC→＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，∴M(0,20)．又∵CN→＝ON→－OC→＝－2b，∴ON→＝－2b＋OC→＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N(9,2)．∴MN→＝(9，－18).答案易错点转换向量关系失误10.平面上有A(2，－1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且AC→＝12BC→，连接DC并延长至点E，使|CE→|＝14|ED→|，则点E的坐标为________．易错分析连接DC并延长至E，即E在DC的延长线上，注意向量的方向不要判断错误．答案83，－7答案正解设坐标原点为O，∵AC→＝12BC→，∴OC→－OA→＝12(OC→－OB→)．∴OC→＝2OA→－OB→＝(3，－6)．∴点C的坐标为(3，－6)．又∵|CE→|＝14|ED→|，且E在DC的延长线上，∴CE→＝－14ED→.答案设E(x，y)，则(x－3，y＋6)＝－14(4－x，－3－y)，得x－3＝－144－x，y＋6＝－14－3－y，解得x＝83，y＝－7，∴点E的坐标为83，－7.答案课时综合练一、选择题1．已知向量a＝(－2,3)，b＝(2，－3)，则下列结论正确的是()A．向量a的终点坐标为(－2,3)B．向量a的起点坐标为(－2,3)C．向量a与b互为相反向量D．向量a与b关于原点对称解析a＝(－2,3)，b＝(2，－3)，故a＝－B．故选C．解析答案C答案2．已知a＝(－2,3)，b＝(1,5)，则3a＋b等于()A．(－5,14)B．(5,14)C．(7,4)D．(5,9)解析3a＋b＝3(－2,3)＋(1,5)＝(－5,14)，故选A．解析答案A答案3．如图所示，{e1，e2}为正交基底，则向量2a＋b的坐标为()A．(3,4)B．(2,4)C．(3,4)或(4,3)D．(4,2)或(2,4)解析由图可知2a＝2e1＋e2，b＝e1＋3e2，所以2a＋b＝3e1＋4e2＝(3,4)．解析答案A答案4．设向量a＝(1,2)，b＝(－3,5)，c＝(4，x)，若a＋b＝λc(λ∈R)，则λ＋x的值是()A．－112B．112C．－292D．292答案C答案解析a＋b＝(1,2)＋(－3,5)＝(－2,7)，λc＝(4λ，xλ)，又a＋b＝λc，故－2＝4λ，7＝xλ，解得λ＝－12，x＝－14，则λ＋x＝－292.解析5．已知M(2，－1)，N(0,5)，且点P在MN的延长线上，|MP|＝2|PN|，则P点坐标为()A．(－2,11)B．43，3C．23，3D．(－2,12)答案A答案解析因为P在MN的延长线上且|MP|＝2|PN|，所以MP→＝2NP→，则OP→－OM→＝2(OP→－ON→)，所以OP→＝2ON→－OM→＝2(0,5)－(2，－1)，即OP→＝(－2,11)．解析二、填空题6．如图，正方形ABCD中，O为中心，且OA→＝(1,1)，试用基底向量i，j表示下列向量：OB→＝________，OC→＝________，AB→＝________，AC→＝________.答案－i＋j－i－j－2i－2i－2j答案解析如题图所示，OA→＝(1,1)＝i＋j，∴OE→＝i，EA→＝j.∴OF→＝－OE→＝－i，FB→＝EA→＝j，FC→＝－FB→＝－j.∴OB→＝OF→＋FB→＝－i＋j；OC→＝OF→＋FC→＝－i－j；AB→＝OB→－OA→＝－i＋j－(i＋j)＝－2i.同理，BC→＝OC→－OB→＝－i－j－(－i＋j)＝－2j，AC→＝AB→＋BC→＝－2i＋(－2j)＝－2i－2j.解析7．已知a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8,16)，则|a|＋|b|＝________.解析联立a＋b＝2，－8，①a－b＝－8，16，②由①＋②得，a＝(－3,4)，由①－②得，b＝(5，－12)．故|a|＋|b|＝－32＋42＋52＋－122＝5＋13＝18.解析答案18答案8．已知点A(－1，－1)，B(1,3)，C(x,5)，若对于平面上任意一点O，都有OC→＝λOA→＋(1－λ)OB→，λ∈R，则x＝________.解析取O(0,0)，由OC→＝λOA→＋(1－λ)OB→得，(x,5)＝λ(－1，－1)＋(1－λ)(1,3)，∴x＝－λ＋1－λ，5＝－λ＋31－λ.解得λ＝－12，x＝2.解析答案2答案9．已知边长为1的正方形ABCD，若点A与坐标原点重合，边AB，AD分别落在x轴、y轴的正方向上，则向量2AB→＋3BC→＋AC→的坐标为________．答案(3,4)答案解析根据题意建立坐标系如图，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)．∴AB→＝(1,0)，BC→＝(0,1)，AC→＝(1,1)．∴2AB→＋3BC→＋AC→＝(2,0)＋(0,3)＋(1,1)＝(3,4)．解析三、解答题10．(1)已知平面上三个点A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)，求AB→，AC→，AB→＋AC→，AB→－AC→，2AB→＋12AC→的坐标；(2)已知a＝(1,2)，b＝(－3,4)，求向量a＋b，a－b,3a－4b的坐标．解(1)∵A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)．∴AB→＝(7,5)－(4,6)＝(3，－1)；AC→＝(1,8)－(4,6)＝(－3,2)；答案AB→＋AC→＝(3，－1)＋(－3,2)＝(0,1)；AB→－AC→＝(3，－1)－(－3,2)＝(6，－3)；2AB→＋12AC→＝2(3，－1)＋12(－3,2)＝(6，－2)＋－32，1＝92，－1.(2)a＋b＝(1,2)＋(－3,4)＝(－2,6)；a－b＝(1,2)－(－3,4)＝(4，－2)；3a－4b＝3(1,2)－4(－3,4)＝(15，－10)．答案11．已知点A(6,3)，O为坐标原点，点P在直线OA上，且OP→＝12PA→，若P是线段OB的中点，求点B的坐标及PB的长．解设点P(x1，y1)，B(x，y)，∵OP→＝12PA→，∴(x1，y1)＝12(6－x1,3－y1)，∴x1＝126－x1，y1＝123－y1，解得x1＝2，y1＝1，答案∴点P的坐标为(2,1)．∵点P是OB的中点，∴2＝0＋x2，1＝0＋y2⇒x＝4，y＝2，∴点B的坐标为(4,2)．∴PB的长为4－22＋2－12＝5.答案12．已知a＝(2，－4)，b＝(－1,3)，c＝(6,5)，p＝a＋2b－c，(1)求p的坐标；(2)若以a，b为基底，求p的表达式．解(1)p＝(2，－4)＋2(－1,3)－(6,5)＝(－6，－3)．(2)设p＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则(－6，－3)＝λ(2，－4)＋μ(－1，3)＝(2λ－μ，－4λ＋3μ)，∴2λ－μ＝－6，－4λ＋3μ＝－3，∴λ＝－212，μ＝－15，∴p＝－212a－15b．答案本课结束