2019-2020学年新教材高中数学 第6章 平面向量初步 6.1.3 向量的减法 课时27 向量的

课时27向量的减法知识对点练知识点一向量的减法运算1.下列各式中不能化简为AD→的是()A．(AB→－DC→)－CB→B．AD→－(CD→＋DC→)C．－(CD→＋MC→)－(DA→＋DM→)D．－BM→－DA→＋MB→答案D答案解析因为(AB→－DC→)－CB→＝AB→＋CD→＋BC→＝AC→＋CD→＝AD→；AD→－(CD→＋DC→)＝AD→－0＝AD→；－(CD→＋MC→)－(DA→＋DM→)＝－(CD→－CM→)－(DA→＋DM→)＝－MD→－DA→－DM→＝DM→＋AD→－DM→＝AD→；－MB→－AD→＋MB→＝MB→＋AD→＋MB→＝AD→＋2MB→.故选D.解析2.AB→－AC→－DB→＝________，AB→＋BC→－AD→＝________.解析AB→－AC→－DB→＝CB→－DB→＝CB→＋BD→＝CD→；AB→＋BC→－AD→＝AC→－AD→＝DC→.解析答案CD→DC→答案知识点二用已知向量表示其他向量3.若平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且OA→＝a，OB→＝b，用a，b表示向量BC→为()A．a＋bB．－a－bC．－a＋bD．a－b答案B答案解析由平行四边形对角线互相平分的性质知OA→＝－OC→，即OC→＝－a，BC→＝OC→－OB→＝－a－b.解析4．已知从点O到平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的向量分别为a，b，c，则向量DO→等于________．答案b－a－c答案解析如图，OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，则OD→＝OA→＋AD→＝OA→＋BC→＝OA→＋(OC→－OB→)＝a＋(c－b)＝a＋c－b.故DO→＝－OD→＝b－a－c.解析知识点三向量减法几何意义的应用5.如图，已知正方形ABCD的边长等于1，AB→＝a，BC→＝b，AC→＝c，试作向量并分别求模：(1)a＋b＋c；(2)a－b＋c.解(1)如图，由已知得，a＋b＝AB→＋BC→＝AC→，又AC→＝c，∴延长AC到E，使|CE→|＝|AC→|.则a＋b＋c＝AE→，且|AE→|＝22.答案(2)如图，作BF→＝AC→，则DB→＋BF→＝DF→，而DB→＝AB→－AD→＝a－BC→＝a－b，∴a－b＋c＝DB→＋BF→＝DF→且|DF→|＝2.答案6．如图所示，已知在矩形ABCD中，|AD→|＝43，|AB→|＝8.设AB→＝a，BC→＝b，BD→＝c，求|a－b－c|.解如图，b＋c＝BD′→，a－b－c＝a－(b＋c)＝a－BD′→＝BB′→－BD′→＝D′B′→，则|a－b－c|＝|D′B′→|＝2×432＋2×82＝87.答案易错点不能运用向量加减法的几何意义作图致误7.已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则|a＋b||a－b|＝________.易错分析不能利用向量加减法的几何意义作图，并且不能根据线段长度之间的关系得到图形的几何性质是造成问题难解、错解的主要原因．答案3答案正解如图，设OA→＝a，OB→＝b，OC→＝a＋b，则BA→＝OA→－OB→＝a－b，∵|a|＝|b|＝|a－b|，∴BA＝OA＝OB.∴△OAB为正三角形，设其边长为1，解析则|a－b|＝|BA→|＝1，|a＋b|＝2×32＝3.∴|a＋b||a－b|＝31＝3.解析课时综合练一、选择题1．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，则BC→－CD→＋BA→等于()A．BC→B．DA→C．BA→D．AC→答案A答案解析BC→－CD→＋BA→＝BC→＋DC→＋BA→＝BC→＋0＝BC→.解析2．如图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它的中心，其中OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，则EF→等于()A．a＋bB．b－aC．c－bD．b－c答案D答案解析EF→＝OA→＝CB→＝OB→－OC→＝b－c.解析3．若非零向量a，b互为相反向量，则下列说法中错误的是()A．a∥bB．a≠bC．|a|≠|b|D．b＝－a解析由相反向量定义知，a与b方向相反，长度相等．故选C.解析答案C答案4．在平面上有A，B，C三点，设m＝AB→＋BC→，n＝AB→－BC→，若m与n的长度恰好相等，则有()A．A，B，C三点必在一条直线上B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角C．△ABC必为直角三角形且∠B为直角D．△ABC必为等腰直角三角形答案C答案解析以BA→，BC→为邻边作平行四边形ABCD，则m＝AB→＋BC→＝AC→，n＝AB→－BC→＝AB→－AD→＝DB→.由m，n的长度相等，可知两对角线相等，因此平行四边形是矩形．故选C.解析5．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，|BC→|2＝16，|AB→＋AC→|＝|AB→－AC→|，则|AM→|＝()A．2B．4C．16D．8答案A答案解析因为|AB→＋AC→|＝|AB→－AC→|，又点A在直线BC外，故四边形ABDC是以AB，AC为邻边的平行四边形且对角线相等，故ABDC为矩形，|AM→|＝12|BC→|＝2.解析二、填空题6．(1)(AB→＋MB→)＋(－OB→－MO→)＝________；(2)AB→－AD→－DC→＝________.解析(1)原式＝(AB→＋MB→)＋BO→＋OM→＝AB→＋0＝AB→.(2)原式＝DB→－DC→＝CB→.解析答案(1)AB→(2)CB→答案7．已知OA→＝a，OB→＝b，若|OA→|＝12，|OB→|＝5，且∠AOB＝90°，则|a－b|的值为________．解析a，b，a－b构成了一个直角三角形，则|a－b|＝|a|2＋|b|2＝52＋122＝13.解析答案13答案8．已知如图，在正六边形ABCDEF中，与OA→－OC→＋CD→相等的向量有________(填序号)．①CF→；②AD→；③BE→；④DE→－FE→＋CD→；⑤CE→＋BC→；⑥CA→－CD→；⑦AB→＋AE→.答案①④答案解析OA→－OC→＋CD→＝CA→＋CD→＝CF→，①正确．④中DE→－FE→＋CD→＝DE→＋EF→＋CD→＝DF→＋CD→＝CF→，故④正确．⑤CE→＋BC→＝BC→＋CE→＝BE→，⑤错误．⑥CA→－CD→＝DA→，⑥错误．⑦AB→＋AE→＝AD→，⑦错误．解析三、解答题9.如图所示，已知OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，OE→＝e，OD→＝d，OF→＝f，试用a，b，c，d，e，f表示AC→，AD→，AD→－AB→，AB→＋CF→，BF→－BD→.解AC→＝OC→－OA→＝c－a，AD→＝OD→－OA→＝d－a，AD→－AB→＝BD→＝OD→－OB→＝d－b，AB→＋CF→＝OB→－OA→＋OF→－OC→＝b－a＋f－c，BF→－BD→＝DF→＝OF→－OD→＝f－d.答案10．已知非零向量a，b满足|a|＝7＋1，|b|＝7－1，且|a－b|＝4，求|a＋b|的值．解设OA→＝a，OB→＝b，则|BA→|＝|a－b|.以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则|OC→|＝|a＋b|.∵(7＋1)2＋(7－1)2＝42，∴|OA→|2＋|OB→|2＝|BA→|2，∴OA⊥OB.∴平行四边形OACB是矩形．∵矩形的对角线相等，∴|OC→|＝|BA→|＝4，即|a＋b|＝4.答案11．在平行四边形ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，先用a，b表示向量AC→和DB→，并回答：当a，b分别满足什么条件时，四边形ABCD为矩形、菱形、正方形？解由向量加法的平行四边形法则，得AC→＝a＋b，同样，由向量的减法知DB→＝AB→－AD→＝a－b.当a，b满足|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形的两条对角线相等，四边形ABCD为矩形；当a，b满足|a|＝|b|时，平行四边形的两条邻边相等，四边形ABCD为菱形；当a，b满足|a＋b|＝|a－b|且|a|＝|b|时，四边形ABCD为正方形．答案本课结束