2019-2020学年新教材高中数学 第5章 三角函数 5.6 函数 y=Asin（ωx＋φ） 5.

课后课时精练A级：“四基”巩固训练一、选择题1．把函数f(x)的图象向右平移π12个单位长度后得到函数y＝sinx＋π3的图象，则f(x)为()A．sinx＋7π12B．sinx＋3π4C．sinx＋5π12D．sinx－5π12答案C答案解析用x－π12代换选项中的x，化简得到y＝sinx＋π3的就是f(x)，代入选项C，有f(x)＝sinx－π12＋5π12＝sinx＋π3.解析2．某同学用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)在一个周期内简图时，列表如下：则有()A．A＝2，ω＝π12，φ＝0B．A＝2，ω＝3，φ＝π12C．A＝2，ω＝3，φ＝－π4D．A＝1，ω＝2，φ＝－π12答案C答案解析由表格得A＝2，3π4－π12＝2πω，∴ω＝3.∴ωx＋φ＝3x＋φ.当x＝π12时，3x＋φ＝π4＋φ＝0，∴φ＝－π4.解析3．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示，fπ2＝－23，则f(0)＝()A．－23B．－12C.23D.12答案C答案解析由图象可知所求函数的周期为2π3，故ω＝3，将11π12，0代入解析式得11π4＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z，所以φ＝－9π4＋2kπ，k∈Z，令φ＝－π4代入解析式得f(x)＝Acos3x－π4.又因为fπ2＝－Asinπ4＝－23，所以f(0)＝Acos－π4＝Acosπ4＝23，故选C.解析4．设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A≠0，ω＞0，|φ|＜π2的图象关于直线x＝2π3对称，它的周期是π，则()A．f(x)的图象过点0，12B．f(x)在5π12，2π3上单调递减C．f(x)的一个对称中心是5π12，0D．f(x)的最大值是A答案C答案解析∵ω＝2πT＝2，∴f(x)＝Asin(2x＋φ)，函数的对称轴为2x＋φ＝π2＋kπ(k∈Z)．把x＝2π3代入得φ＝k－56π(k∈Z)．因为|φ|＜π2，∴k＝1，φ＝π6.所以f(x)＝Asin2x＋π6.解析A项，f(0)＝12A，不一定等于12，故A项错误；B项，当x∈5π12，2π3时，2x＋π6∈π，3π2.因为不确定A的正负，所以f(x)在该区间可能单调递增，也可能单调递减，故B项错误；C项，当x＝5π12时，2x＋π6＝π，(π，0)为y＝sinx的一个对称中心，故C项正确；D项，f(x)的最大值为|A|，故D项错误．综上，答案为C.答案5．为得到函数y＝sinx＋π3的图象，可将函数y＝sinx的图象向左平移m个单位长度，或向右平移n个单位长度(m，n均为正数)，则|m－n|的最小值是()A.π3B.2π3C.4π3D.5π3答案B答案解析由题意可知，m＝π3＋2k1π，k1为非负整数，n＝－π3＋2k2π，k2为正整数，∴|m－n|＝2π3＋2k1－k2π，∴当k1＝k2时，|m－n|min＝2π3.解析二、填空题6．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的部分图象如图所示，则ω＝________.解析由图，知T4＝2π3－π3＝π3，∴T＝4π3.又T＝2πω＝4π3，∴ω＝32.解析答案32答案7．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω＞0，－π2≤φ≤π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y＝sinx的图象，则fπ6＝________.答案22答案解析将y＝sinx的图象向左平移π6个单位长度可得y＝sinx＋π6的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y＝sin12x＋π6的图象，故f(x)＝sin12x＋π6，所以fπ6＝sin12×π6＋π6＝sinπ4＝22.解析8．若将函数y＝sinωx＋5π6(ω0)的图象向右平移π3个单位长度后，与函数y＝sinωx＋π4的图象重合，则ω的最小值为________．答案74答案解析y＝sinωx＋5π6的图象向右平移π3个单位长度后得到y＝sinωx－π3＋5π6，即y＝sinωx＋5π6－ωπ3，故5π6－ωπ3＋2kπ＝π4(k∈Z)，即ωπ3＝7π12＋2kπ，解得ω＝74＋6k(k∈Z)，∵ω0，∴ω的最小值为74.解析三、解答题9．已知函数f(x)＝3sin12x－π4，x∈R.(1)利用“五点法”画出函数f(x)在一个周期π2，9π2上的简图；(2)先把f(x)的图象上所有点向左平移π2个单位长度，得到f1(x)的图象；然后把f1(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到f2(x)的图象；再把f2(x)的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的13(横坐标不变)，得到g(x)的图象，求g(x)的解析式．解(1)列表取值：描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图．答案答案(2)将f(x)＝3sin12x－π4图象上所有点向左平移π2个单位长度得到f1(x)＝3sin12x＋π2－π4＝3sin12x的图象．把f1(x)＝3sin12x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到f2(x)＝3sin14x的图象，把f2(x)＝3sin14x的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的13(横坐标不变)得到g(x)＝sin14x的图象．所以g(x)的解析式为g(x)＝sin14x.答案10．如图，一个水轮的半径为4m，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟转动5圈，如果水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计算时间．(1)将点P距离水面的高度z(单位：m)表示为时间t(单位：s)的函数；(2)点P第一次到达最高点需要多长时间？解(1)如图所示建立直角坐标系，设角φ－π2φ0是以Ox为始边，OP0为终边的角．OP每秒钟所转过的角为5×2π60＝π6，则OP在时间t(s)内所转过的角为π6t.由题意可知水轮逆时针转动，得z＝4sinπ6t＋φ＋2.当t＝0时，z＝0，得sinφ＝－12，即φ＝－π6.故所求的函数关系式为z＝4sinπ6t－π6＋2.答案(2)令z＝4sinπ6t－π6＋2＝6，得sinπ6t－π6＝1，令π6t－π6＝π2，得t＝4，故点P第一次到达最高点需要4s.答案B级：“四能”提升训练1．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜π2的一段图象如图所示．(1)求f(x)的解析式；(2)把f(x)的图象向左至少平移多少个单位长度，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？解(1)A＝3，2πω＝434π－π4＝5π，ω＝25.由f(x)＝3sin25x＋φ过π4，0，得sinπ10＋φ＝0.又∵|φ|π2，故φ＝－π10，∴f(x)＝3sin25x－π10.答案(2)由f(x＋m)＝3sin25x＋m－π10＝3sin25x＋2m5－π10为偶函数(m＞0)，知2m5－π10＝kπ＋π2，即m＝52kπ＋3π2，k∈Z.∵m＞0，∴mmin＝3π2.故把f(x)的图象向左至少平移3π2个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数．答案2．已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)上的一个最高点的坐标为π2，2，由此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点3π2，0，若φ∈－π2，π2.(1)试求这条曲线的函数解析式；(2)写出函数的单调区间．解(1)依题意，得A＝2，T＝4×3π2－π2＝4π，∵T＝2π|ω|＝4π，ω＞0，∴ω＝12.∴y＝2sin12x＋φ.∵曲线上的最高点为π2，2，∴sin12×π2＋φ＝1.答案∴φ＋π4＝2kπ＋π2，k∈Z.∵－π2＜φ＜π2，∴φ＝π4.∴y＝2sin12x＋π4.答案(2)令2kπ－π2≤12x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，∴4kπ－3π2≤x≤4kπ＋π2，k∈Z.∴函数f(x)的单调递增区间为4kπ－3π2，4kπ＋π2(k∈Z)．令2kπ＋π2≤12x＋π4≤3π2＋2kπ，k∈Z，答案∴4kπ＋π2≤x≤4kπ＋5π2，k∈Z.∴函数f(x)的单调递减区间为4kπ＋π2，4kπ＋5π2(k∈Z)．答案本课结束