2019-2020学年新教材高中数学 第5章 三角函数 5.5 三角恒等变换 5.5.2 简单的三角

课后课时精练A级：“四基”巩固训练一、选择题1．若－2πα－3π2，则1－cosα－π2的值是()A．sinα2B．cosα2C．－sinα2D．－cosα2答案D答案解析1－cosα－π2＝1－cosπ－α2＝1＋cosα2＝cosα2，∵－2πα－3π2，∴－πα2－3π4.∴cosα20，∴cosα2＝－cosα2.解析2．函数y＝2cos2x－π4－1是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为π2的奇函数D．最小正周期为π2的偶函数答案A答案解析y＝2cos2x－π4－1＝cos2x－π4＝cos2x－π2＝cosπ2－2x＝sin2x，而y＝sin2x为奇函数，其最小正周期T＝2π2＝π，故选A.解析3．化简sinα2＋cosα22＋2sin2π4－α2得()A．2＋sinαB．2＋2sinα－π4C．2D．2＋2sinα＋π4答案C答案解析原式＝1＋2sinα2cosα2＋1－cos2π4－α2＝2＋sinα－cosπ2－α＝2＋sinα－sinα＝2.解析4．已知sinα＋cosα＝13，则2cos2π4－α－1＝()A.89B.1718C．－89D．－23解析∵sinα＋cosα＝13，平方可得1＋sin2α＝19，可得sin2α＝－89.2cos2π4－α－1＝cosπ2－2α＝sin2α＝－89.解析答案C答案5．已知sinα－π4＝7210，cos2α＝725，则tanα2＝()A．3B．－3C．±3D．±4答案A答案解析由sinα－π4＝7210⇒sinα－cosα＝75①，cos2α＝725⇒cos2α－sin2α＝725，所以(cosα－sinα)(cosα＋sinα)＝725②，由①②可得cosα＋sinα＝－15③，由①③得sinα＝35，cosα＝－45，所以角α为第二象限角，所以α2为第一、三象限角，tanα2＝1－cosα1＋cosα＝1＋451－45＝3，故选A.解析二、填空题6．若α－β＝π4，则sinαsinβ的最大值为________．解析α＝β＋π4，则sinαsinβ＝sinβ＋π4sinβ＝－12cos2β＋π4－cosπ4＝－12cos2β＋π4＋24∴最大值为2＋24.解析答案2＋24答案7．设α为第四象限角，且sin3αsinα＝135，则tan2α＝________.解析sin3αsinα＝sin2α＋αsinα＝1－2sin2αsinα＋2cos2αsinαsinα＝2cos2α＋1＝135，所以cos2α＝45.又α是第四象限角，所以sin2α＝－35，tan2α＝－34.解析答案－34答案8.2＋2cos8＋21－sin8的化简结果是________．解析原式＝4cos24＋21－2sin4cos4＝2|cos4|＋2sin4－cos42＝2|cos4|＋2|sin4－cos4|.因为5π443π2，所以sin4cos40，所以sin4－cos40.从而原式＝－2cos4－2sin4＋2cos4＝－2sin4.解析答案－2sin4答案三、解答题9．化简：cosα1－sinα1＋sinα＋sinα1－cosα1＋cosα，πα3π2.解原式＝cosα1－sinα2cos2α＋sinα1－cosα2sin2α＝cosα·1－sinα|cosα|＋sinα·1－cosα|sinα|，因为πα3π2，所以cosα0，sinα0.所以原式＝－(1－sinα)－(1－cosα)＝sinα＋cosα－2.答案10．已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋12cos4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)若α∈π2，π，且f(α)＝22，求α的值．解(1)因为f(x)＝(2cos2x－1)sin2x＋12cos4x＝cos2xsin2x＋12cos4x＝12(sin4x＋cos4x)＝22sin4x＋π4，答案所以f(x)的最小正周期T＝2π4＝π2，当4x＋π4＝π2＋2kπ，k∈Z，即x＝π16＋kπ2，k∈Z时，f(x)取最大值为22.(2)因为f(α)＝22，所以sin4α＋π4＝1，因为α∈π2，π，所以4α＋π4∈9π4，17π4，所以4α＋π4＝5π2，故α＝9π16.答案B级：“四能”提升训练1．已知cos2θ＝725，π2＜θ＜π.(1)求tanθ的值；(2)求2cos2θ2＋sinθ2sinθ＋π4的值．解(1)因为cos2θ＝725，所以cos2θ－sin2θcos2θ＋sin2θ＝725，所以1－tan2θ1＋tan2θ＝725，解得tanθ＝±34，因为π2＜θ＜π，所以tanθ＝－34.答案(2)2cos2θ2＋sinθ2sinθ＋π4＝1＋cosθ＋sinθcosθ＋sinθ，因为π2＜θ＜π，tanθ＝－34，所以sinθ＝35，cosθ＝－45，所以2cos2θ2＋sinθ2sinθ＋π4＝1＋cosθ＋sinθcosθ＋sinθ＝1－45＋35－45＋35＝－4.答案2．如图，ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，其中AST是半径为90m的扇形小山，其余部分都是平地．一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在ST上，相邻两边CQ，CR正好落在正方形的边BC，CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值．解如图，连接AP，设∠PAB＝θ(0°≤θ≤90°)，延长RP交AB于M，则AM＝90cosθ，MP＝90sinθ.所以PQ＝MB＝100－90cosθ，PR＝MR－MP＝100－90sinθ.所以S矩形PQCR＝PQ·PR＝(100－90cosθ)(100－90sinθ)＝10000－9000(sinθ＋cosθ)＋8100sinθcosθ.答案令t＝sinθ＋cosθ(1≤t≤2)，则sinθcosθ＝t2－12.所以S矩形PQCR＝10000－9000t＋8100·t2－12＝81002t－1092＋950.故当t＝109时，S矩形PQCR有最小值950m2；当t＝2时，S矩形PQCR有最大值(14050－90002)m2.答案本课结束