2019-2020学年新教材高中数学 第5章 三角函数 5.5 三角恒等变换 5.5.1 两角和与差

课后课时精练A级：“四基”巩固训练一、选择题1．化简cos(x＋y)siny－sin(x＋y)cosy等于()A．sin(x＋2y)B．－sin(x＋2y)C．sinxD．－sinx解析cos(x＋y)siny－sin(x＋y)cosy＝sin[y－(x＋y)]＝－sinx.解析答案D答案2．已知cosα－π6＋sinα＝435，则sinα＋7π6的值为()A．－235B.235C．－45D.45答案C答案解析cosα－π6＋sinα＝32cosα＋12sinα＋sinα＝32cosα＋32sinα＝312cosα＋32sinα＝3sinα＋π6＝435，∴sinα＋π6＝45，∴sinα＋7π6＝－sinα＋π6＝－45.解析3．设tanα，tanβ是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为()A．－3B．－1C．1D．3解析由根与系数的关系可知tanα＋tanβ＝3，tanαtanβ＝2，tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝31－2＝－3.解析答案A答案4．函数f(x)＝sinx－cosx＋π6的值域为()A．[－2,2]B．[－3，3]C．[－1,1]D.－32，32答案B答案解析因为f(x)＝sinx－cosx＋π6＝sinx－cosxcosπ6＋sinxsinπ6＝sinx－32cosx＋12sinx＝332sinx－12cosx＝3sinx－π6(x∈R)，所以f(x)的值域为[－3，3]．解析5．△ABC中，若0tanAtanB1，则△ABC是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．无法确定解析∵0tanAtanB1，∴tanA0，tanB0，tan(A＋B)＝－tanC＝tanA＋tanB1－tanAtanB0.∴tanC0，又∵0Cπ，∴π2Cπ.解析答案B答案二、填空题6.sin7°＋cos15°sin8°cos7°－sin15°sin8°的值为________．解析原式＝sin15°－8°＋cos15°sin8°cos15°－8°－sin15°sin8°＝sin15°cos8°cos15°cos8°＝tan15°＝tan(45°－30°)＝tan45°－tan30°1＋tan45°tan30°＝1－331＋33＝2－3.解析答案2－3答案7．若点P(－3,4)在角α的终边上，点Q(－1，－2)在角β的终边上，则sin(α－β)＝________，cos(α＋β)＝________.解析因为点P(－3,4)在角α的终边上，所以r＝5，故sinα＝45，cosα＝－35.又因为点Q(－1，－2)在角β的终边上，所以r′＝5，故sinβ＝－255，cosβ＝－55，解析答案－25511525答案则sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝45×－55－－35×－255＝－255.cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝－35×－55－45×－255＝11525.解析8．已知tanα－β2＝12，tanβ－α2＝－13，则tanα＋β2的值等于________．解析tanα＋β2＝tanα－β2＋β－α2＝tanα－β2＋tanβ－α21－tanα－β2tanβ－α2＝161＋16＝17.解析答案17答案三、解答题9．化简下列各式：(1)sinx＋π3＋2sinx－π3－3cos2π3－x；(2)sin2α＋βsinα－2cos(α＋β)．解(1)原式＝sinxcosπ3＋cosxsinπ3＋2sinxcosπ3－2cosxsinπ3－3cos2π3cosx－3sin2π3sinx＝12sinx＋32cosx＋sinx－3cosx＋32cosx－32sinx＝12＋1－32sinx＋32－3＋32cosx＝0.答案(2)原式＝sin[α＋β＋α]－2cosα＋βsinαsinα＝sinα＋βcosα－cosα＋βsinαsinα＝sin[α＋β－α]sinα＝sinβsinα.答案10．已知tan(π＋α)＝－13，tan(α＋β)＝sinα＋2cosα5cosα－sinα.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求tanβ的值．解(1)因为tan(π＋α)＝－13，所以tanα＝－13，因为tan(α＋β)＝sinα＋2cosα5cosα－sinα＝tanα＋25－tanα，所以tan(α＋β)＝－13＋25＋13＝516.答案(2)因为tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝tanα＋β－tanα1＋tanα＋βtanα，所以tanβ＝516＋131－516×13＝3143.答案B级：“四能”提升训练1．(1)已知sinα＝35，cosβ＝－513，且α为第一象限角，β为第二象限角，求sin(α＋β)和sin(α－β)的值；(2)求值：3sinπ12＋cosπ12；(3)在△ABC中，tanB＋tanC＋3tanBtanC＝3，且3tanA＋3tanB＋1＝tanAtanB，判断△ABC的形状．解(1)(直接法)因为α为第一象限角，β为第二象限角，sinα＝35，cosβ＝－513，所以cosα＝45，sinβ＝1213，∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝35×－513＋45×1213＝3365，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝35×－513－45×1213＝－6365.答案(2)(常值代换法)原式＝232sinπ12＋12cosπ12＝2sinπ12cosπ6＋cosπ12sinπ6＝2sinπ12＋π6＝2sinπ4＝2.答案(3)tanA＝tan[180°－(B＋C)]＝－tan(B＋C)＝tanB＋tanCtanBtanC－1＝3－3tanBtanCtanBtanC－1＝－3，而0°A180°，∴A＝120°.tanC＝tan[180°－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝tanA＋tanBtanAtanB－1答案＝tanA＋tanB3tanA＋3tanB＝33，而0°C180°，∴C＝30°，∴B＝180°－120°－30°＝30°，∴△ABC是顶角为120°的等腰三角形．答案2．是否存在锐角α和β，使(1)α＋2β＝2π3；(2)tanα2·tanβ＝2－3同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由．解若α＋2β＝2π3，则α2＋β＝π3，∴tanα2＋β＝tanα2＋tanβ1－tanα2tanβ＝3.又∵tanα2tanβ＝2－3，∴tanα2＋tanβ＝3－3，答案∴tanα2，tanβ是一元二次方程x2－(3－3)x＋2－3＝0的两根，∴x1＝1，x2＝2－3.∵若tanα2＝1，但由于α是锐角，即0α2π4，故这是不可能的，∴tanα2＝2－3，tanβ＝1.∵0βπ2，∴β＝π4，α＝2π3－2β＝π6.∴存在这样的锐角α＝π6，β＝π4.答案本课结束