2019-2020学年新教材高中数学 第5章 三角函数 5.3 诱导公式（第1课时）公式二、公式三和

第五章三角函数5.3诱导公式第1课时公式二、公式三和公式四学习目标核心素养1.了解公式二、公式三和公式四的推导方法．2．能够准确记忆公式二、公式三和公式四．(重点、易混点)3．掌握公式二、公式三和公式四，并能灵活应用．(难点)1.借助公式进行运算，培养数学运算素养．2．通过公式的变形进行化简和证明，提升逻辑推理素养.自主预习探新知1．公式二(1)角π＋α与角α的终边关于对称．如图所示．(2)公式：sin(π＋α)＝，cos(π＋α)＝，tan(π＋α)＝.原点－sinα－cosαtanα2．公式三(1)角－α与角α的终边关于轴对称．如图所示．(2)公式：sin(－α)＝，cos(－α)＝，tan(－α)＝.x－sinαcosα－tanα3．公式四(1)角π－α与角α的终边关于轴对称．如图所示．(2)公式：sin(π－α)＝，cos(π－α)＝，tan(π－α)＝.ysinα－cosα－tanα思考：(1)诱导公式中角α只能是锐角吗？(2)诱导公式一～四改变函数的名称吗？提示：(1)诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ＋π2，k∈Z.(2)诱导公式一～四都不改变函数名称．1．如果α，β满足α＋β＝π，那么下列式子中正确的个数是()①sinα＝sinβ；②sinα＝－sinβ；③cosα＝－cosβ；④cosα＝cosβ；⑤tanα＝－tanβ.A．1B．2C．3D．4C[因为α＋β＝π，所以sinα＝sin(π－β)＝sinβ，故①正确，②错误；cosα＝cos(π－β)＝－cosβ，故③正确，④错误；tanα＝tan(π－β)＝－tanβ，⑤正确．故选C.]2．tan－4π3等于()A．－33B.33C．－3D.3C[tan－4π3＝tan－2π＋2π3＝tan2π3＝tanπ－π3＝－tanπ3＝－3.]3．已知tanα＝3，则tan(π＋α)＝________.3[tan(π＋α)＝tanα＝3.]4．求值：(1)sin2π3＝________.(2)cos－7π6＝________.(1)32(2)－32[(1)sin2π3＝sinπ－π3＝sinπ3＝32.(2)cos－7π6＝cos7π6＝cosπ＋π6＝－cosπ6＝－32.]合作探究提素养【例1】求下列各三角函数值：(1)sin1320°；(2)cos－31π6；(3)tan(－945°)．给角求值问题[解](1)法一：sin1320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－32.法二：sin1320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)＝－sin(180°－60°)＝－sin60°＝－32.(2)法一：cos－31π6＝cos31π6＝cos4π＋7π6＝cosπ＋π6＝－cosπ6＝－32.法二：cos－31π6＝cos－6π＋5π6＝cosπ－π6＝－cosπ6＝－32.(3)tan(－945°)＝－tan945°＝－tan(225°＋2×360°)＝－tan225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan45°＝－1.利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤1“负化正”——用公式一或三来转化；2“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角；3“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；4“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值.1．计算：(1)cosπ5＋cos2π5＋cos3π5＋cos4π5；(2)tan10°＋tan170°＋sin1866°－sin(－606°)．[解](1)原式＝cosπ5＋cos4π5＋cos2π5＋cos3π5＝cosπ5＋cosπ－π5＋cos2π5＋cosπ－2π5＝cosπ5－cosπ5＋cos2π5－cos2π5＝0.(2)原式＝tan10°＋tan(180°－10°)＋sin(5×360°＋66°)－sin[(－2)×360°＋114°]＝tan10°－tan10°＋sin66°－sin(180°－66°)＝sin66°－sin66°＝0.【例2】(1)已知sin(α－360°)－cos(180°－α)＝m，则sin(180°＋α)·cos(180°－α)等于()A.m2－12B.m2＋12C.1－m22D．－m2＋12(2)已知cos(α－75°)＝－13，且α为第四象限角，求sin(105°＋α)的值．给值(式)求值问题[思路点拨](1)化简已知和所求三角函数式→根据sinα±cosα，sinαcosα的关系求值(2)105°＋α－α－75°＝180°cosα－75°＝－13，α为第四象限角→求sinα－75°→用sin180°＋α＝－sinα求值(1)A[sin(α－360°)－cos(180°－α)＝sinα＋cosα＝m，sin(180°＋α)cos(180°－α)＝sinαcosα＝sinα＋cosα2－12＝m2－12.](2)[解]∵cos(α－75°)＝－13＜0，且α为第四象限角，∴sin(α－75°)＝－1－cos2α－75°＝－1－－132＝－223，∴sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]＝－sin(α－75°)＝223.1．例2(2)条件不变，求cos(255°－α)的值．[解]cos(255°－α)＝cos[180°－(α－75°)]＝－cos(α－75°)＝13.2．将例2(2)的条件“cos(α－75°)＝－13”改为“tan(α－75°)＝－5”，其他条件不变，结果又如何？[解]因为tan(α－75°)＝－5＜0，且α为第四象限角，所以α－75°是第四象限角．由sin2α－75°＋cos2α－75°＝1，sinα－75°cosα－75°＝－5，解得sinα－75°＝－52626，cosα－75°＝2626或sinα－75°＝52626，cosα－75°＝－2626.(舍)所以sin(105°＋α)＝sin[180°＋(α－75°)]＝－sin(α－75°)＝52626.解决条件求值问题的两技巧1寻找差异：解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系.2转化：可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化.提醒：设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键.[探究问题]1．利用诱导公式化简sin(kπ＋α)(其中k∈Z)时，化简结果与k是否有关？提示：有关．因为k是奇数还是偶数不确定．当k是奇数时，即k＝2n＋1(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sin(π＋α)＝－sinα；当k是偶数时，即k＝2n(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sinα.利用诱导公式化简问题2．利用诱导公式化简tan(kπ＋α)(其中k∈Z)时，化简结果与k是否有关？提示：无关．根据公式tan(π＋α)＝tanα可知tan(kπ＋α)＝tanα.(其中k∈Z)【例3】设k为整数，化简：sinkπ－αcos[k－1π－α]sin[k＋1π＋α]coskπ＋α.[思路点拨]本题常用的解决方法有两种：①为了便于运用诱导公式，必须把k分成偶数和奇数两种情况讨论；②观察式子结构，kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2kπ，可使用配角法．[解]法一：(分类讨论)当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，则原式＝sin2mπ－αcos[2m－1π－α]sin[2m＋1π＋α]cos2mπ＋α＝sin－αcosπ＋αsinπ＋αcosα＝－sinα－cosα－sinαcosα＝－1；当k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z)，同理可得原式＝－1.法二：(配角法)由于kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2kπ，故cos[(k－1)π－α]＝cos[(k＋1)π＋α]＝－cos(kπ＋α)，sin[(k＋1)π＋α]＝－sin(kπ＋α)，sin(kπ－α)＝－sin(kπ＋α)．所以原式＝－sinkπ＋α[－coskπ＋α]－sinkπ＋αcoskπ＋α＝－1.三角函数式化简的常用方法1合理转化：①将角化成2kπ±α，kπ±α，k∈Z的形式.,②依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为角α的三角函数.2切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数.提醒：注意分类讨论思想的应用.2．化简：(1)tan2π－αsin－2π－αcos6π－αcosα－πsin5π－α；(2)sin1440°＋α·cos1080°－αcos－180°－α·sin－α－180°.[解](1)原式＝－tanαsin－αcos－αcosπ－αsinπ－α＝tanα·sinα·cosα－cosα·sinα＝－tanα.(2)原式＝sin4×360°＋α·cos3×360°－αcos180°＋α·[－sin180°＋α]＝sinα·cos－α－cosα·sinα＝cosα－cosα＝－1.1．诱导公式一～四可简要概括为“α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号”．或者简述为“函数同名，象限定号”．2．利用公式一～四可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行：任意负角的三角函数――→用公式三或一任意正角的三角函数――→用公式一0～2π的角的三角函数――→用公式二或四锐角的三角函数当堂达标固双基1．思考辨析(1)公式二～四对任意角α都成立．()(2)由公式三知cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)．()(3)在△ABC中，sin(A＋B)＝sinC．()[提示](1)错误，关于正切的三个公式中α≠kπ＋π2，k∈Z.(2)由公式三知cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，故cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)是不正确的．(3)因为A＋B＋C＝π，所以A＋B＝π－C，所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC.[答案](1)×(2)×(3)√2．已知sin(π＋α)＝35，且α是第四象限角，那么cos(α－π)的值是()A.45B．－45C．±45D.35B[因为sin(π＋α)＝－sinα＝35，所以sinα＝－35.又α是第四象限角，所以cosα＝45，所以cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cosα＝－45.]3.cos－585°sin495°＋sin－570°的值等于________．2－2[原式＝cos360°＋225°sin360°＋135°－sin360°＋210°＝cos180°＋45°sin180°－45°－sin180°＋30°＝－cos45°sin45°－－sin30°＝－2222＋12＝2－2.]4．化简(1)sin540°＋α·cos－αtanα－180°；(2)sin2π＋αcos－π＋αcos－αtanα.[解](1)sin540°＋α·cos－αtanα－180°＝sin180°＋α·cosαtanα＝－sinα·cosαtanα＝－cos2α.(2)sin2π＋αcos－π＋αcos－αtanα＝sinα－cosα