2019-2020学年新教材高中数学 第4章 指数函数与对数函数 4.2 指数函数 4.2.1 指数

第1课时指数函数的概念及其图象和性质(教师独具内容)课程标准：1.了解引入指数函数的背景，理解指数函数的概念和意义.2.能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象.3.探索并理解指数函数的单调性、定义域和值域及图象与参数的关系．教学重点：1.理解指数函数的概念.2.借助指数函数的图象掌握指数函数的性质，在“制图与识图”过程中体会数形结合思想.3.指数函数性质的一些简单应用．教学难点：1.指数函数的图象与性质.2.底数a对函数的影响．核心概念掌握【知识导学】知识点一指数函数的定义.知识点二指数增长模型在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝．形如y＝kax(k∈R，且k≠0；a＞0，且a≠1)的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型．□01函数y＝ax(a0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R□01N(1＋p)x(x∈N)知识点三指数函数的图象和性质【新知拓展】(1)由指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的性质知，指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象恒过点(0,1)，(1，a)，－1，1a，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象．(2)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a1，还是0a1，在第一象限内底数越大，函数图象越靠近y轴．当ab1时，①若x0，则axbx1；②若x0，则1bxax0.当1ab0时，①若x0，则1axbx0；②若x0，则bxax1.(3)指数函数的图象都经过点(0,1)，且图象都在x轴上方．(4)当a1时，x→－∞，y→0；当0a1时，x→＋∞，y→0.(其中“x→＋∞”的意义是“x趋近于正无穷大”)1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)指数函数的图象一定在x轴的上方．()(2)当a1时，对于任意x∈R总有ax1.()(3)函数f(x)＝2－x在R上是增函数．()×√×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若f(x)＝(a2－3)ax是指数函数，则a＝________.(2)若函数f(x)＝ax(a0，且a≠1)的图象过点(2,9)，则f(x)＝________.(3)函数y＝21－3x的定义域为________，值域为________．答案(1)2(2)3x(3)(－∞，0][1,2)答案核心素养形成题型一指数函数的概念例1指出下列哪些是指数函数．(1)y＝4x；(2)y＝x4；(3)y＝－4x；(4)y＝(－4)x；(5)y＝πx；(6)y＝4x2；(7)y＝xx；(8)y＝(2a－1)xa＞12，且a≠1.[解](2)是四次函数；(3)是－1与4x的乘积；(4)中底数－4＜0；(6)是二次函数；(7)中底数x不是常数．它们都不符合指数函数的定义，故不是指数函数．综上可知，(1)(5)(8)是指数函数．答案金版点睛判断一个函数是否为指数函数，只需判断其解析式是否符合y＝axa＞0，且a≠1这一形式即可.若符合，则函数为指数函数；否则就不是指数函数.[跟踪训练1]若函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则a＝________.解析因为函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，所以a2－3a＋3＝1，a＞0，a≠1，解得a＝1或a＝2，a＞0，a≠1，所以a＝2.解析答案2答案题型二指数函数的图象问题例2(1)如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为()A．ab1cdB．ba1dcC．1abcdD．ab1dc(2)函数y＝ax－3＋3(a0，且a≠1)的图象过定点________．[解析](1)解法一：由图象可知③④的底数必大于1，①②的底数必小于1.作直线x＝1，在第一象限内直线x＝1与各曲线的交点的纵坐标即各指数函数的底数，则1dc，ba1，从而可知a，b，c，d与1的大小关系为ba1dc.解法二：根据图象可以先分两类：③④的底数大于1，①②的底数小于1，再由③④比较c，d的大小，由①②比较a，b的大小．当指数函数的底数大于1时，图象上升，且底数越大时图象向上越靠近y轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近x轴．解析(2)解法一：因为指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y＝ax－3＋3中，令x＝3，得y＝1＋3＝4，即函数的图象过定点(3,4)．解法二：将原函数变形，得y－3＝ax－3，把y－3看成x－3的指数函数，所以当x－3＝0时，y－3＝1，即x＝3时，y＝4，所以原函数的图象过定点(3,4)．解析[答案](1)B(2)(3,4)答案金版点睛1．识别指数函数图象问题的注意点(1)根据图象“上升”或“下降”确定底数a1或0a1；(2)在y轴右侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由小到大；在y轴左侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由大到小；(3)根据“左加右减，上加下减”的原则，确定图象的平移变换，从而确定指数型函数的图象与两坐标轴的交点位置．2．解决指数型函数图象过定点问题的思路指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，据此，可解决形如y＝k·ax＋c＋b(k≠0，a0，且a≠1)的函数图象过定点的问题，即令x＝－c，得y＝k＋b，函数图象过定点(－c，k＋b)．[跟踪训练2](1)二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝bax的图象可能是()(2)函数y＝a2x＋1＋1(a0，且a≠1)的图象过定点________．答案(1)A(2)－12，2答案解析(1)二次函数y＝ax＋b2a2－b24a，其图象的顶点坐标为－b2a，－b24a，由指数函数的图象知0ba1，所以－12－b2a0，再观察四个选项，只有A中的抛物线的顶点的横坐标在－12和0之间．(2)令2x＋1＝0得x＝－12，y＝2，所以函数图象恒过点－12，2.解析题型三与指数函数有关的定义域和值域问题例3求下列函数的定义域和值域：(1)y＝1－3x；(2)y＝21x－4；(3)y＝23－|x|.[解](1)要使函数式有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30，因为函数y＝3x在R上是增函数，所以x≤0.故函数y＝1－3x的定义域为(－∞，0]．因为x≤0，所以03x≤1，所以0≤1－3x1.所以1－3x∈[0,1)，即函数y＝1－3x的值域为[0,1)．(2)要使函数式有意义，则x－4≠0，解得x≠4.所以函数y＝21x－4的定义域为{x|x≠4}．因为1x－4≠0，所以21x－4≠1，即函数y＝21x－4的值域为{y|y0，且y≠1}．答案(3)要使函数式有意义，则－|x|≥0，解得x＝0.所以函数y＝23－|x|的定义域为{x|x＝0}．因为x＝0，所以23－|x|＝230＝1，即函数y＝23－|x|的值域为{y|y＝1}．答案金版点睛求指数型函数的定义域和值域的一般方法(1)求指数型函数的定义域时，先观察函数是y＝ax型还是y＝af(x)型．①由于指数函数y＝axa0，且a≠1的定义域是R，所以函数y＝afx的定义域与fx的定义域相同.②对于函数y＝faxa0，且a≠1的定义域，关键是找出t＝ax的值域的哪些部分在y＝ft的定义域中.③求y＝fax)型函数的定义域时，往往转化为解指数不等式组.2求与指数函数有关的函数的值域时，要注意指数函数的值域为0，＋∞，还需注意：在求形如y＝afxa0，且a≠1的函数值域时，先求得fx的值域即函数t＝fx中t的范围，再根据y＝at的单调性，列出指数不等式组，得出at的范围，即y＝afx的值域.[跟踪训练3]求下列函数的定义域和值域：(1)y＝0.31x－1；(2)y＝35x－1；(3)y＝12x2－2x－3.解(1)由x－1≠0得x≠1，所以函数的定义域为{x|x≠1}．由1x－1≠0得y≠1，所以函数的值域为{y|y0且y≠1}．答案(2)由5x－1≥0得x≥15，所以函数的定义域为xx≥15.由5x－1≥0，得y≥1，所以函数的值域为{y|y≥1}．答案(3)定义域为R.∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，∴12x2－2x－3≤12－4＝16.又∵12x2－2x－30，∴函数y＝12x2－2x－3的值域为(0,16]．答案随堂水平达标1．若f(x)满足对任意的实数a，b都有f(a＋b)＝f(a)·f(b)且f(1)＝2，则f2f1＋f4f3＋f6f5＋…＋f2020f2019＝()A．1010B．2020C．2019D．1009解析不妨设f(x)＝2x，则f2f1＝f4f3＝…＝f2020f2019＝2，所以原式＝1010×2＝2020.解析答案B答案2．若函数y＝(1－2a)x是实数集R上的增函数，则实数a的取值范围为()A.12，＋∞B．(－∞，0)C.－∞，12D.－12，12解析由题意知，此函数为指数函数，且为实数集R上的增函数，所以底数1－2a1，解得a0.解析答案B答案3．若函数y＝ax－1的定义域是(－∞，0]，则a的取值范围为()A．a0B．a1C．0a1D．a≠1解析由ax－1≥0，得ax≥a0.∵函数的定义域为(－∞，0]，∴0a1.解析答案C答案4．已知1nm0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为()解析由于0mn1，所以y＝mx与y＝nx都是减函数，故排除A，B；作直线x＝1与两条曲线相交，交点在下面的是函数y＝mx的图象，故选C.解析答案C答案5．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点2，12，其中a0，且a≠1.(1)求a的值；(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．解(1)因为函数图象经过点2，12，所以a2－1＝12，则a＝12.(2)由(1)得f(x)＝12x－1(x≥0)，由x≥0，得x－1≥－1，于是012x－1≤12－1＝2.所以所求函数的值域为(0,2]．答案本课结束