2019-2020学年新教材高中数学 第3章 函数的概念与性质 3.1 函数的概念及其表示 3.1.

第2课时函数表示法的应用(教师独具内容)课程标准：1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.2.进一步理解函数图象的作用．教学重点：根据实际情境，选择恰当的函数表示法解决问题．教学难点：在实际情境中，构造分段函数并解决问题.核心概念掌握【知识导学】知识点应用函数知识解决实际问题的一般步骤(1)阅读材料、理解题意；(2)把实际问题抽象为_____________问题，并建立相应的_____________模型；(3)利用_____________知识对_____________模型进行分析、研究，得出数学结论；(4)把数学结论(结果)应用到实际问题中，解决实际问题．□01函数□02函数□03函数□04函数【新知拓展】应用函数知识解决实际问题的关键是如何根据题意将实际问题抽象、转化成数学问题，然后通过求解数学问题，最后解决实际问题，这也是数学建模思想在实际问题中的具体应用．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)＝2x＋1还能用图象法表示．()(2)在实际情境中，只能用解析法表示函数关系．()(3)利用函数解决实际问题时，函数的定义域仅考虑使函数的解析式有意义即可．()×√×2．做一做(1)如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象，由图象可知，下列说法中错误的是()A．这天15时的温度最高B．这天3时的温度最低C．这天的最高温度与最低温度相差13℃D．这天21时的温度是30℃(2)李明在放学回家的路上，开始时和同学边走边讨论问题，走得比较慢，后来他们索性停下来将问题彻底解决，再后来他快速地回到了家．下列图象中与这一过程吻合得最好的是()(3)下表列出了一项实验的统计数据，表示将皮球从高处h落下时，弹跳高度d与下落高度h的关系，则能表示这种关系的式子是________．答案(1)C(2)D(3)d＝h2(或h＝2d)答案核心素养形成题型一列表法在实际生活中的应用例1口香糖的生产已有很长的历史，咀嚼口香糖有很多益处，但其残留物也会带来污染，为了研究口香糖的黏附力F与温度t的关系，一位同学通过实验，测定了不同温度t下除去糖分的口香糖与瓷砖地面的黏附力F，得到了如下表所示的一组数据：(1)请根据上述数据，绘制出口香糖黏附力F随温度t变化的图象；(2)根据上述数据以及得到的图象，你能得到怎样的实验结论呢？[解](1)(2)实验结论：①随着温度的升高，口香糖的黏附力先增大后减小；②当温度在37℃时，口香糖的黏附力最大．答案金版点睛1对于这类通过表格来反映两个变量之间关系的问题，求解时需根据表中两个变量的对应数据，分析其变化情况，即可做出判断.2在根据实际问题的特征选择合适的方法表示函数时，如果自变量有限，函数值确定，则可以选择列表法也可以用图象法；如果自变量的取值为区间的形式，则一般选择解析法.[跟踪训练1]某商场在国庆促销期间，规定商场内所有商品均按标价的80%出售．同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的消费券：根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如，购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为400－320＋30＝110元．若顾客购买一件标价为1000元的商品，则所能得到的优惠额为()A．130元B．330元C．360元D．800元答案B答案解析当顾客购买一件标价为1000元的商品时，消费金额为1000×80%＝800.由表格，可知该顾客还可获得130元的消费券，故所能得到的优惠额为1000－800＋130＝330元．故选B.解析题型二图象法在实际生活中的应用例2如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系．骑车者9时离开家，15时回到家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？(2)何时开始第一次休息？休息了多长时间？(3)第一次休息时，离家多远？(4)11：00到12：00他骑了多少千米？(5)他在9：00～10：00和10：00～10：30的平均速度分别是多少？(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？[解](1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米．(2)10：30开始第一次休息，休息了半小时．(3)第一次休息时，离家17千米．(4)11：00至12：00他骑了13千米．(5)9：00～10：00的平均速度是10千米/时；10：00～10：30的平均速度是14千米/时．(6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形．答案金版点睛利用图象法解决实际问题的解题策略仔细阅读题目条件，认真观察分析图象和数据中的信息，充分利用图象和数据中的信息解决问题．[跟踪训练2]下列图象中，哪几个图象与下述三事件分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事．(1)我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，停车思考一番，于是返回家里找到了作业本再上学；(2)我骑着车一路匀速行驶，只是途中遇到了一次交通堵塞，耽搁了一些时间；(3)我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．解(1)分析可知离开家的距离先逐渐增大；后来发现作业本忘家里了，返回家的过程中离开家的距离又逐渐减小；找到作业本后离开家的距离又逐渐增大，故(1)对应D.(2)分析可知离开家的距离先逐渐增大；后因为交通堵塞，在一段时间内没有前进，因此离开家的距离未变化；交通通畅后继续前进，离开家的距离又逐渐增加，故(2)对应A.(3)刚开始缓缓前进，所以离开家的距离缓缓增加；加速后离开家的距离急剧增加，故(3)对应B.剩下的图象C为：我出发后越走越累，所以速度越来越慢(只要合理即可).答案题型三解析法在实际生活中的应用例3某市出租车的现行计价标准是：路程在2km以内(含2km)按起步价8元收取，超过2km后的路程按1.9元/km收取，但超过10km后的路程需加收50%的返空费(即单价为1.9×(1＋50%)＝2.85(元/km)．(1)将某乘客搭乘一次出租车的费用f(x)(单位：元)表示为行程x(0x≤60，单位：km)的函数；(2)某乘客的行程为16km，他准备先乘一辆出租车行驶8km后，再换乘另一辆出租车完成余下行程，请问：他这样做是否比只乘一辆出租车完成全部行程更省钱？(现实中要计等待时间且最终付费取整数，本题在计算时都不予考虑)[解](1)由题意，得车费f(x)关于路程x的函数为：f(x)＝80x≤2，8＋1.9x－22x≤10，8＋1.9×8＋2.85x－1010x≤60＝80x≤2，4.2＋1.9x2x≤10，2.85x－5.310x≤60.答案(2)只乘一辆车的车费为：f(16)＝2.85×16－5.3＝40.3(元)；换乘2辆车的车费为：2f(8)＝2×(4.2＋1.9×8)＝38.8(元)．∵40.338.8，∴该乘客换乘比只乘一辆车更省钱．答案金版点睛对于此类问题，要根据题目的特点选择表示方法，一般情况下用解析法表示.用解析法表示时，首先找出自变量x和函数y，然后利用题干条件用x表示y，最后写出定义域.注意：求实际问题中函数的定义域时，除考虑使函数解析式有意义外，还要考虑使实际问题有意义.[跟踪训练3]为了节约用水，某市打算出台一项水费政策，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水的水费为1.2元，若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费按原价的200%收费，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费按原价的400%收费．如果某人本季度实际用水量为x(x≤7)吨，试计算本季度他应交的水费y(单位：元)．解由题意知，当0x≤5时，y＝1.2x；当5x≤6时，y＝1.2×5＋(x－5)×1.2×2＝2.4x－6；当6x≤7时，y＝1.2×5＋(6－5)×1.2×2＋(x－6)×1.2×4＝4.8x－20.4.所以应交的水费y＝1.2x，x∈0，5]，2.4x－6，x∈5，6]，4.8x－20.4，x∈6，7].答案随堂水平达标1．向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状可以是()答案B答案解析取h＝H2与h＝H两个位置观察注水量V，知h＝H2时，水量已经超过V2，由此可以判断水瓶的下半部分体积大，上半部分体积小．故选B.解析2．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是()答案C答案解析出发时距学校最远，先排除A，中途堵塞停留，距离没变，再排除D，堵塞停留后比原来骑得快，因此排除B，故选C.解析3．一等腰三角形的周长是20，底边长y是关于腰长x的函数，则它的解析式为()A．y＝20－2xB．y＝20－2x(0x10)C．y＝20－2x(5≤x≤10)D．y＝20－2x(5x10)解析由题意得y＋2x＝20，所以y＝20－2x，又2xy，即2x20－2x，即x5，由y0即20－2x0得x10，所以5x10.故选D.解析答案D答案4．从市场中了解到，饰用K金的含量如下表：饰用K金的K数与含金量之间是________关系，K数越大含金量________．答案函数越高答案解析通过表格可以得出K金的K数与含金量之间是函数关系，且K数越大含金量越高．解析5．甲、乙两车同时沿某公路从A地驶往300km外的B地，甲车先以75km/h的速度行驶，在到达AB中点C处停留2h后，再以100km/h的速度驶往B地，乙车始终以速度v行驶．(1)请将甲车离A地的距离x(km)表示为离开A地时间t(h)的函数，并画出这个函数图象；(2)若两车在途中恰好相遇两次(不包括A，B两地)，试确定乙车行驶速度v的取值范围．解(1)x＝75t，0≤t2，150，2≤t≤4，150＋t－4×100，4t≤5.5.它的图象如图①所示．答案(2)由已知，乙车离开A地的距离x(km)表示为离开A地的时间t(h)的函数为x＝vt0≤t≤300v，其图象是一条线段．由图象知，当此线段经过点(4,150)时，v＝752(km/h)；当此线段经过点(5.5,300)时，v＝60011(km/h)．∴当752v60011时，两车在途中相遇两次(如图②)．答案本课结束