2019-2020学年新教材高中数学 第2章 一元二次函数、方程和不等式 2.3 二次函数与一元二次

第二章一元二次函数、方程和不等式2.3二次函数与一元二次方程、不等式第1课时一元二次不等式及其解法学习目标核心素养1.掌握一元二次不等式的解法(重点).2.能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题(难点).通过一元二次不等式的学习，培养数学运算素养.自主预习探新知1．一元二次不等式的概念只含有未知数，并且未知数的最高次数是的不等式，称为一元二次不等式．一个22．一元二次不等式的一般形式(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)．(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．思考1：不等式x2－y20是一元二次不等式吗？提示：此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式．3．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的．解集思考2：类比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式x21的解集及其含义是什么？提示：不等式x21的解集为{x|x－1或x1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立．4．三个“二次”的关系设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac判别式Δ＞0Δ＝0Δ＜0求方程y＝0的解有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根画函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象y＞0_________________________________解不等式y＞0或y＜0的步骤得等的集不式解y＜0________________________{x|x＜x1或x＞x2}xx≠－b2aR{x|x1＜x＜x2}∅∅思考3：若一元二次不等式ax2＋x－10的解集为R，则实数a应满足什么条件？提示：结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2＋x－10的解集为R，则a0，1＋4a0，解得a∈∅，所以不存在a使不等式ax2＋x－10的解集为R.1．不等式3＋5x－2x2≤0的解集为()A.xx＞3或x＜－12B.x－12≤x≤3C.xx≥3或x≤－12D．RC[3＋5x－2x2≤0⇒2x2－5x－3≥0⇒(x－3)(2x＋1)≥0⇒x≥3或x≤－12.]2．不等式3x2－2x＋1＞0的解集为()A.x－1＜x＜13B.x13＜x＜1C．∅D．RD[因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8＜0，所以不等式3x2－2x＋1＞0的解集为R.]3．不等式x2－2x－52x的解集是________．{x|x5或x－1}[由x2－2x－52x，得x2－4x－50，因为x2－4x－5＝0的两根为－1,5，故x2－4x－50的解集为{x|x－1或x5}．]4．不等式－3x2＋5x－40的解集为________．∅[原不等式变形为3x2－5x＋40.因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－230，所以3x2－5x＋4＝0无解．由函数y＝3x2－5x＋4的图象可知，3x2－5x＋40的解集为∅.]合作探究提素养【例1】解下列不等式：(1)2x2＋7x＋30；(2)－4x2＋18x－814≥0；(3)－2x2＋3x－20.一元二次不等式的解法[解](1)因为Δ＝72－4×2×3＝250，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－12.又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为xx－12或x－3.(2)原不等式可化为2x－922≤0，所以原不等式的解集为xx＝94.(3)原不等式可化为2x2－3x＋20，因为Δ＝9－4×2×2＝－70，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.解不含参数的一元二次不等式的一般步骤1化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正.2判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式.3求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.4画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图.5写解集.根据图象写出不等式的解集.1．解下列不等式(1)2x2－3x－20；(2)x2－4x＋40；(3)－x2＋2x－30；(4)－3x2＋5x－20.[解](1)∵Δ0，方程2x2－3x－2＝0的根是x1＝－12，x2＝2，∴不等式2x2－3x－20的解集为xx－12或x2.(2)∵Δ＝0，方程x2－4x＋4＝0的根是x1＝x2＝2，∴不等式x2－4x＋40的解集为x|x≠2.(3)原不等式可化为x2－2x＋30，由于Δ0，方程x2－2x＋3＝0无解，∴不等式－x2＋2x－30的解集为R.(4)原不等式可化为3x2－5x＋20，由于Δ0，方程3x2－5x＋2＝0的两根为x1＝23，x2＝1，∴不等式－3x2＋5x－20的解集为x23x1.【例2】解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋10.[思路点拨]①对于二次项的系数a是否分a＝0，a0，a0三类进行讨论？②当a≠0时，是否还要比较两根的大小？含参数的一元二次不等式的解法[解]当a＝0时，原不等式可化为x1.当a≠0时，原不等式可化为(ax－1)(x－1)0.当a0时，不等式可化为x－1a(x－1)0，∵1a1，∴x1a或x1.当a0时，原不等式可化为x－1a(x－1)0.若1a1，即a1，则1ax1；若1a＝1，即a＝1，则x∈∅；若1a1，即0a1，则1x1a.综上所述，当a0时，原不等式的解集为xx1a或x1；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x1}；当0a1时，原不等式的解集为x1x1a；当a＝1时，原不等式的解集为∅；当a1时，原不等式的解集为x1ax1.解含参数的一元二次不等式的一般步骤提醒：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并．2．解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a0)．[解]原不等式移项得ax2＋(a－2)x－2≥0，化简为(x＋1)(ax－2)≥0.∵a0，∴(x＋1)x－2a≤0.当－2a0时，2a≤x≤－1；当a＝－2时，x＝－1；当a－2时，－1≤x≤2a.综上所述，当－2a0时，解集为x2a≤x≤－1；当a＝－2时，解集为{x|x＝－1}；当a－2时，解集为x－1≤x≤2a.[探究问题]1．利用函数y＝x2－2x－3的图象说明当y0、y0、y＝0时x的取值集合分别是什么？这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系？三个“二次”的关系提示：y＝x2－2x－3的图象如图所示．函数y＝x2－2x－3的值满足y0时自变量x组成的集合，亦即二次函数y＝x2－2x－3的图象在x轴上方时点的横坐标x的集合{x|x－1或x3}；同理，满足y0时x的取值集合为{x|－1x3}，满足y＝0时x的取值集合，亦即y＝x2－2x－3图象与x轴交点横坐标组成的集合{－1,3}．这说明：方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和不等式ax2＋bx＋c0(a0)或ax2＋bx＋c0(a0)是函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的一种特殊情况，它们之间是一种包含关系，也就是当y＝0时，函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)就转化为方程，当y0或y0时，就转化为一元二次不等式．2．方程x2－2x－3＝0与不等式x2－2x－30的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？提示：方程x2－2x－3＝0的解集为{－1,3}．不等式x2－2x－30的解集为{x|x－1或x3}，观察发现不等式x2－2x－30解集的端点值恰好是方程x2－2x－3＝0的根．3．设一元二次不等式ax2＋bx＋c0(a0)和ax2＋bx＋c0(a0)的解集分别为{x|xx1或xx2}，{x|x1xx2}(x1x2)，则x1＋x2，x1x2为何值？提示：一元二次不等式ax2＋bx＋c0(a0)和ax2＋bx＋c0(a0)的解集分别为{x|xx1或xx2}，{x|x1xx2}(x1x2)，则x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca，即不等式的解集的端点值是相应方程的根．【例3】已知关于x的不等式ax2＋bx＋c0的解集为{x|2x3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a0的解集．[思路点拨]由给定不等式的解集形式→确定a0及关于a，b，c的方程组→用a表示b，c→代入所求不等式→求解cx2＋bx＋a0的解集[解]法一：由不等式ax2＋bx＋c0的解集为{x|2x3}可知，a0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系可知ba＝－5，ca＝6.由a0知c0，bc＝－56，故不等式cx2＋bx＋a0，即x2＋bcx＋ac0，即x2－56x＋160，解得x13或x12，所以不等式cx2＋bx＋a0的解集为xx＜13或x＞12.法二：由不等式ax2＋bx＋c0的解集为{x|2x3}可知，a0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以ax2＋bx＋c＝a(x－2)(x－3)＝ax2－5ax＋6a⇒b＝－5a，c＝6a，故不等式cx2＋bx＋a0，即6ax2－5ax＋a0⇒6ax－13x－120，故原不等式的解集为xx＜13或x＞12.1．(变结论)本例中的条件不变，求关于x的不等式cx2－bx＋a0的解集．[解]由根与系数的关系知ba＝－5，ca＝6且a0.∴c0，bc＝－56，故不等式cx2－bx＋a0，即x2－bcx＋ac0，即x2＋56x＋160.解之得x－12x－13.2．(变条件)若将本例中的条件“关于x的不等式ax2＋bx＋c0的解集为{x|2x3}变为“关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是x－13≤x≤2.求不等式cx2＋bx＋a0的解集．[解]法一：由ax2＋bx＋c≥0的解集为x－13≤x≤2知a＜0.又－13×2＝ca＜0，则c＞0.又－13，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，∴－ba＝53，∴ba＝－53.又ca＝－23，∴b＝－53a，c＝－23a，∴不等式变为－23ax2＋－53ax＋a＜0，即2ax2＋5ax－3a＞0.又∵a＜0，∴2x2＋5x－3＜0，所求不等式的解集为x－3＜x＜12.法二：由已知得a＜0且－13＋2＝－ba，－13×2＝ca知c＞0，设方程cx2＋bx＋a＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－bc，x1·x2＝ac，其中ac＝1－13×2＝－32，－bc＝－baca＝－13＋2－13×2＝1－13＋12＝－52，∴x1＝1－13＝－3，x2＝12.∴不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为x－3＜x＜12.已知以a，b，c为参数的不等式如ax2＋bx＋c＞0的解集