2019-2020学年新教材高中数学 第1章 集合与常用逻辑用语 1.2.3 充分条件、必要条件（第

第一章集合与常用逻辑用语1.2常用逻辑用语1.2.3充分条件、必要条件第2课时充要条件学习目标核心素养1.理解充要条件的概念．(难点)2．能够判定条件的充分、必要、充要性．(重点)3．会进行简单的充要条件的证明．(重点、难点)1.通过充要条件的判断，提升逻辑推理素养．2．通过充分、必要、充要性的应用，培养数学运算素养.自主探新知预习1．充要条件的概念一般地，如果既有_______，又有_______，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称．充要条件p⇒qq⇒p2．充要条件的判断(1)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的条件，简称条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q条件．(1)若p⇒q，但qp，则称p是q的充分不必要条件．(2)若q⇒p，但pq，则称p是q的必要不充分条件．(3)若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．互为充要充分必要充要思考：(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？提示：(1)正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q.(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．1．下列命题，条件p是结论q的充要条件的是()A．p：a＝0，q：ab＝0B．p：a＝b，q：(a－b)2＝0C．p：|a|＝1，q：a＝1D．p：a＝b，q：|a|＝|b|B[A.a＝0⇒ab＝0；若ab＝0可以推出a和b至少有一个为0，故A错误；B．a＝b⇒(a－b)2＝0，故B正确；C．若|a|＝1，可得a＝±1，|a|＝1，推不出a＝1，故C错误；D．若|a|＝|b|，可得a＝±b，故D错误．故选B.]2.设x∈R，则x2的一个必要不充分条件是()A．x1B．x1C．x3D．x3A[∵x2⇒x1，但x1x2，∴选A.]3．“a＝0且b＝0”是“a2＋b2＝0，a，b是实数”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件C[a＝0且b＝0可以推出a2＋b2＝0，a2＋b2＝0可以推出a＝0且b＝0.]4．有下列命题：①a＞b＞0是a2＞b2的充要条件；②a＞b＞0是1a＜1b的充要条件；③a＞b＞0是a3＞b3的充要条件．其中错误的说法有________．(填序号)①②③[①由不等式的性质易得a＞b＞0⇒a2＞b2，反之则不成立，如a＝－2，b＝1.②由不等式的性质易得a＞b＞0⇒1a＜1b，反之则不成立，如a＝－2，b＝1.③由不等式的性质易得a＞b＞0⇒a3＞b3，反之则不成立，如a＝－2，b＝－3.]合作提素养探究充要条件的判断【例1】下列各题中，哪些p是q的充要条件？(1)p：x0，y0，q：xy0；(2)p：ab，q：a＋cb＋c；(3)p：x5，q：x10；(4)p：ab，q：a2b2.[解]命题(1)中，p⇒q，但qp，故p不是q的充要条件；命题(2)中，p⇒q，且q⇒p，即p⇔q，故p是q的充要条件；命题(3)中，pq，但q⇒p，故p不是q的充要条件；命题(4)中，pq，且qp，故p不是q的充要条件．充要条件判断的两种方法(1)要判断一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即判断两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真．(2)在判断的过程中也可以转化为集合的思想来判断，判断p与q的解集是相同的，判断前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论．提醒：判断时一定要注意，分清充分性与必要性的判断方向．1．在下列四个结论中，正确的有()①设x∈R，“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件；②在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件；③“a2b2”是“ab的充分不必要条件”；④若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件．A．①②B．③④C．①④D．②③C[对于结论①，∵x＞2⇒x＞1，但x1x＞2，故①正确；对于结论④，由a2＋b2≠0⇒a，b不全为0，反之，由a，b不全为0⇒a2＋b2≠0，故④正确．]充分条件、必要条件、充要条件的应用[探究问题]1．记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若p是q的充分不必要条件，则集合A，B的关系是什么？若p是q的必要不充分条件呢？提示：若p是q的充分不必要条件，则AB，若p是q的必要不充分条件，则BA.2．记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}，若M⊆N，则p是q的什么条件？若N⊆M，M＝N呢？提示：若M⊆N，则p是q的充分条件；若N⊆M，则p是q的必要条件；若M＝N，则p是q的充要条件．【例2】已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________．[思路点拨][9，＋∞)[因为p是q的充分不必要条件，所以p⇒q且qp.即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m0}的真子集，所以m0，1－m－2，1＋m≥10或1－m≤－2，m0，1＋m10，解得m≥9.所以实数m的取值范围为[9，＋∞)．]利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围1化简p，q两命题；2根据p与q的关系充分、必要、充要条件转化为集合间的关系；3利用集合间的关系建立不等式；4求解参数范围.2．已知P＝{x|a－4xa＋4}，Q＝{x|1x3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，求实数a的取值范围．[解]因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q⊆P.所以a－4≤1，a＋4≥3，解得－1≤a≤5，即a的取值范围是[－1,5].有关充要条件的证明或求解【例3】已知a＋b≠0，证明a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1.[证明]先证充分性：若a＋b＝1，则a2＋b2－a－b＋2ab＝(a＋b)2－(a＋b)＝1－1＝0，即充分性成立，必要性：若a2＋b2－a－b＋2ab＝0，则(a＋b)2－(a＋b)＝(a＋b)(a＋b－1)＝0，∵a＋b≠0，∴a＋b－1＝0，即a＋b＝1成立，综上，a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1.充要条件的证明策略1要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方面进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真.2在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论.提醒：证明时一定要注意，分清充分性与必要性的证明方向.3．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.[证明]假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，q：a＋b＋c＝0.①证明p⇒q，即证明必要性．∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.②证明q⇒p，即证明充分性．由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.∵ax2＋bx＋c＝0，∴ax2＋bx－a－b＝0，即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.∴x＝1是方程的一个根．故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.1.充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法．2．充要条件的证明与探求(1)充要条件的证明分充分性和必要性的证明，在证明时要注意两种叙述方式的区别：①p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性；②p的充要条件是q，则p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性．(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件．当堂固双基达标1．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”成立的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件A[当x＝1时，x2－2x＋1＝0.由x2－2x＋1＝0,解得x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0成立的充要条件”.]2．设实数a，b满足|a|＞|b|，则“a－b＞0”是“a＋b＞0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件C[由a－b＞0，得a＞b.又|a|＞|b|，得a＋b＞0.由a＋b＞0，得a＞－b.又|a|＞|b|，得a＋b＞0.故“a－b＞0”是“a＋b＞0”的充要条件．]3．函数y＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是()A．m＝－2B．m＝2C．m＝－1D．m＝1A[∵y＝x2＋mx＋1＝x＋m22＋1－m24，∴函数的图像的对称轴为x＝－m2，由题意：－m2＝1，∴m＝－2.]4．在平面直角坐标系中，点(x,1－x)在第一象限的充要条件是________．0＜x＜1[由题意，可得x＞0，且1－x＞0，∴0＜x＜1.]