2019-2020学年新教材高中数学 第1章 集合与常用逻辑术语 1.1 集合的概念课件 新人教A版

1．1集合的概念(教师独具内容)课程标准：1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系.2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合．教学重点：1.集合概念的正确理解.2.元素的三性(确定性、互异性、无序性).3.元素与集合关系的判定.4.集合常用的两种表示方法(列举法、描述法)．教学难点：1.对元素的确定性的理解.2.描述法表示集合.核心概念掌握【知识导学】知识点一集合与元素的定义元素：一般地，我们把研究对象统称为元素(element)．集合：把一些元素组成的叫做集合(set)(简称为集)．表示：通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．知识点二集合中元素的三个特性(1)确定性；(2)互异性；(3)无序性．□01总体知识点三元素与集合的关系(1)“属于”：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作.(2)“不属于”：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作.□01a∈A□02a∉A知识点四几个常用数集的固定字母表示知识点五集合的表示方法集合常见的表示方法有：、、(1)自然语言：用文字叙述的形式描述集合的方法．使用此方法时，只要叙述清楚即可，如由所有正方形构成的集合，就是用自然语言表示的，不能叙述成“正方形”．再如全体实数组成的集合，或实数集等．(2)列举法：把集合的所有元素出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．□01自然语言□02列举法□03描述法．□04一一列举(3)描述法：一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法．知识点六集合的分类(1)有限集；(2)无限集．□05{x∈A|P(x)}【新知拓展】1．元素和集合关系的判断(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．此时应先明确集合是由哪些元素构成的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应先明确已知集合的元素具有什么特征，即该集合中元素要满足哪些条件．2．集合的三个特性(1)描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样都只是描述性的说明．(2)整体性：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体．(3)广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物，甚至一个集合也可以是某集合的一个元素．3．使用列举法表示集合时需注意的几点(1)元素之间用“，”隔开；(2)元素不重复，满足元素的互异性；(3)元素无顺序，满足元素的无序性；(4)对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律表述清楚后才能用省略号．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)某校高一年级16岁以下的学生能构成集合．()(2)已知A是一个确定的集合，a是任一元素，要么a∈A，要么a∉A，二者必居其一且只具其一．()(3)对于数集A＝{1,2，x2}，若x∈A，则x＝0.()(4)集合{y|y＝x2，x∈R}与集合{s|s＝t2，t∈R}的元素完全相同．()×√√√2．做一做(1)下列所给的对象能组成集合的是()A．“金砖国家”成员国B．接近1的数C．著名的科学家D．漂亮的鲜花(2)用适当的符号(∈，∉)填空：0________∅，0________{0},0________N，－2________N*，13________Z，2________Q，π________R.答案(1)A(2)∉∈∈∉∉∉∈答案核心素养形成题型一正确理解描述法中元素的“代表符号”例1分析下列集合中的元素是什么？A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}．[解]三个集合都是用描述法表示的．对于集合A，其中的元素是x，根据“y＝x2”，这里的x并没有什么限制，即x可以是任意实数，即集合A是由所有实数组成的集合，即实数集．对于集合B，其中的元素是y，这里的x没有任何限制，即x可以是任意实数，但是通过“y＝x2”，元素y有了限制：实数的平方，从而B中的元素是非负实数．对于集合C，从元素的代表符号“(x，y)”可以看出，其中的元素是有序实数对，这些数对的第一个数x没有限制，第二个数y受条件“y＝x2”的限制，因此C中的元素是有序实数对，且数对的第一个数取任意实数，第二个数是第一个数的平方(从几何角度讲，(x，y)就是坐标平面内的一个点，从而C中的元素就是抛物线y＝x2上的点)．答案金版点睛使用描述法表示集合时要注意：①写清该集合中元素的代表符号，如{x∈R|x1}不能写成{x1}；②用简明、准确的语言进行描述，如方程、不等式、几何图形等；③不能出现未被说明的字母，如{x∈Z|x＝2m}中m未被说明，故此集合中的元素是不确定的；④所有描述的内容都要写在花括号内，如“{x∈Z|x＝2m}，m∈N*”不符合要求，应将“m∈N*”写进“{}”中，即{x∈Z|x＝2m，m∈N*}；⑤元素的取值(或变化)范围，从上下文的关系来看，若x∈R是明确的，则x∈R可省略不写，如集合D＝{x∈R|x10}也可表示为D＝{x|x10}；⑥多层描述时，应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语，如“{x|x－1或x1}”等．[跟踪训练1]试分析集合{(x，y)|y＝x＋1}的元素，并能从几何角度解释这个集合．解集合中的元素是有序实数对，且第二个实数等于第一个实数加1.从几何角度：该集合就是一次函数y＝x＋1的图象，即直线y＝x＋1.答案题型二判断元素与集合的关系例2已知集合A＝{x|x＝m＋n·2，m，n∈Z}．(1)判断0，(1＋2)2，13－2与A的关系；(2)若x1，x2∈A，试探究x1x2，x1＋x2与A的关系．[解](1)易知0＝0＋0×2，且0∈Z，所以0∈A.因为(1＋2)2＝3＋22，且3,2∈Z，所以(1＋2)2∈A.因为13－2＝3＋23－23＋2＝37＋27，且37，17∉Z，所以13－2∉A.答案(2)因为x1，x2∈A，所以可设x1＝m1＋2n1，x2＝m2＋2n2，且m1，n1，m2，n2∈Z，所以x1x2＝(m1＋2n1)(m2＋2n2)＝m1m2＋2(m2n1＋m1n2)＋2n1n2＝(m1m2＋2n1n2)＋2(m2n1＋m1n2)．因为m1m2＋2n1n2∈Z，m2n1＋m1n2∈Z，所以x1x2∈A.因为x1＋x2＝(m1＋m2)＋2(n1＋n2)，m1＋m2∈Z，n1＋n2∈Z，所以x1＋x2∈A.答案金版点睛该问题是判断所给的元素是否具有集合A中元素的特征，用自然语言理解为：所给元素是否能写成“整数＋整数的2倍”的形式.可以看出，问题的实质是正确解读集合的表示方法描述法.[跟踪训练2]已知集合A＝x∈Z63－x∈Z，试判断－2,2与A的关系．解解法一：易知A＝{－3,0,1,2,4,5,6,9}，所以－2∉A,2∈A.解法二：当x＝－2时，63－x＝65∉Z，所以－2∉A；当x＝2时，x∈Z且63－x＝6∈Z，所以2∈A.答案题型三含参问题探究例3集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.[解]①当k＝0时，原方程为16－8x＝0，∴x＝2，此时A＝{2}．②当k≠0时，若集合A中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根．即Δ＝64－64k＝0，即k＝1，从而x1＝x2＝4，∴集合A＝{4}．综上所述，实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}．答案金版点睛对于含参问题，随着参数值的变化，问题的解发生变化，所以这类问题往往需要分类讨论.通过分类，把复杂的问题简单化，从而蕴含着转化的数学思想.[跟踪训练3]把本例条件“只有一个元素”改为“有两个元素”，求实数k的取值范围的集合．解由题意可知方程kx2－8x＋16＝0有两个不等的实根．∴k≠0，Δ＝64－64k＞0，解得k＜1且k≠0.∴实数k的取值范围的集合为{k|k＜1且k≠0}.答案题型四集合中的新定义问题例4已知集合A＝{1,2,4}，则集合B＝{(x，y)|x∈A，y∈A}中元素的个数为()A．3B．6C．8D．9[答案]D答案[解析]根据已知条件，列表如下：由上表可知，B中的元素有9个，故选D.解析金版点睛本例借助表格语言，运用列举法求解.表格语言是常用的数学语言，表达问题清晰，明了；列举法是分析问题的重要的数学方法，通过“列举”直接解决问题或发现问题的规律，此方法通常配合图表含树形图使用.[跟踪训练4]定义A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B中的所有元素之和为()A．0B．2C．3D．6答案D答案解析根据已知条件，列表如下：根据集合中元素的互异性，可由上表知A*B＝{0,2,4}，故其中所有元素之和为0＋2＋4＝6，故选D.解析随堂水平达标1．下列所给的对象不能组成集合的是()A．我国古代的四大发明B．二元一次方程x＋y＝1的解C．某班年龄较小的同学D．平面内到定点距离等于定长的点解析C项中“年龄较小的同学”的标准不明确，不符合确定性，故选C.解析答案C答案2．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A时，有6－a∈A，则a为()A．2B．2或4C．4D．0解析集合A中含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A.当a＝2∈A时，6－a＝4∈A，∴a＝2；当a＝4∈A时，6－a＝2∈A，∴a＝4；当a＝6∈A时，6－a＝0∉A，综上所述，a＝2或4.故选B.解析答案B答案3．由实数－a，a，|a|，a2所组成的集合最多含有的元素个数是()A．1B．2C．3D．4解析对a进行分类讨论：①当a＝0时，四个数都为0，只含有一个元素；②当a≠0时，含有两个元素a，－a，所以集合中最多含有2个元素．故选B.解析答案B答案4．用适当符号(∈，∉)填空：(1)(1,3)________{(x，y)|y＝2x＋1}；(2)2________{m|m＝2(n－1)，n∈Z}．解析(1)当x＝1时，y＝2×1＋1＝3，故(1,3)∈{(x，y)|y＝2x＋1}．(2)当n＝2∈Z时，m＝2×(2－1)＝2，故2∈{m|m＝2(n－1)，n∈Z}．解析答案(1)∈(2)∈答案5．设a∈R，关于x的方程(x－1)(x－a)＝0的解集为A，试分别用描述法和列举法表示集合A.解A＝{x|(x－1)(x－a)＝0}；当a＝1时，A＝{1}；当a≠1时，A＝{1，a}．答案本课结束