解三角形中的范围(最值)问题的求解策略

解三角形中的范围（最值）问题的求解策略与解三角形相关的最值（范围）问题在高中数学中经常遇见.由于它涉及的知识面广,灵活性大,综合性强,因而利于培养学生的思维能力和创新意识.本文举例说明此类问题几种常见的解题策略,供大家参考.一．转化为三角函数的有界性求解例1：（2018•汉中二模）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若a=3，A=3，则b+c的最大值为（）A．4B．33C．23D．2【分析】利用正弦定理表示出b与c，问题转化为角的正弦函数，利用三角函数恒等变换化简为一角一函数的形式，再利用三角函数的单调性与值域即可得出．解：由正弦定理可得：32sinsinsin3bcBC,∴b+c=2sinB+2sinC=2sinB+2sin2()3B=2sinB+231(cossin)22BB=3sinB+3cosB=23sin()233B，当且仅当B=3时取等号．∴b+c的最大值为23．故选：C．【点评】本题考查了正弦定理、和差公式、三角函数的单调性与值域，解决这类问题的思路是利用正弦定理把边转化为角，再利用三角函数的性质求出范围或最值。同步训练题：（2018•三明二模）在△ABC中，∠BAC的平分线交BC边于D，若AB=2，AC=1，则△ABD面积的最大值为（）A．12B．23C．34D．1解析：根据∠BAC的平分线交BC边于D，可得△ABD和△ACD以D为顶点的高相等．可得△ABD面积与△ACD面积之比为AB：AC=2：1，则△ABD面积为23S△ABC．由题意，△ABD面积为23S△ABC，∵S△ABC=12bcsinA，即12×2×1×sinA，那么，△ABD面积为23sinA．∵0＜A＜π，∴sinA∈（0，1]，∴△ABD面积的最大值为23，故选：B．二．利用基本不等式求解例2（2018•太原二模）已知点O是△ABC的内心，∠BAC=60°，BC=1，则△BOC面积的最大值为．【分析】先根据O是△ABC的内心，求出∠BOC=120°，再根据余弦定理和基本不等式求出OC•OB≤13，最后根据三角形的面积公式计算即可解：∵是△ABC的内心，∠BAC=60°，∴∠BOC=180°﹣000180601202，由余弦定理可得BC2=OC2+OB2﹣2OC•OB•cos120，即OC2+OB2=1﹣OC•OB，又OC2+OB2≥2OC•OB，∴OC•OB≤13，∴S△BOC=12OC•OB•sin120°≤312，则△BOC面积的最大值为312，故答案为：312．点评：本题考查了余弦定理和三角形的面积公式以及基本不等式，解决本题的关键是求得OC.OB的最大值，再利用三角形的面积公式求得面积的最值。同步训练题：（2018•嵊州市二模）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a，b，c，若a2+b2+ab=1，c=1，则C=，△ABC的面积最大值为．解：∵a2+b2+ab=1，c=1，∴a2+b2﹣c2=﹣ab，∴cosC=2221222abcababab，∴由C∈（0，π），可得：C=23，∵由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，可得：1=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab，即：ab13，（当且仅当a=b时等号成立），∴S△ABC=12absinC≤113323212，即△ABC的面积最大值为312．故答案为：23，312．三．利用二次函数的性质求解例3（2018•湛江二模）己知△ABC中，AB=2，AC=3BC，则△ABC面积的最大值是．【分析】设出BC长度是x，利用三角形的面积公式以及余弦定理得到关于x的二次函数，再利用二次函数的性质求出面积的最大值。解：设BC=x，则△ABC面积221.sinBsin(1cos)2SABBCxBxB,又因为cosB=222222222BCABACBCxBCBCx．即S=42221184(4)12322xxx，故答案为：3【点评】本题主要考查了余弦定理和面积公式在解三角形中的应用．通过余弦定理与面积公式转化为关于x的函数，利用配方和二次函数的性质求得最值。例4.（2018•盐城一模）在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a2+b2+2c2=8，则△ABC面积的最大值为．【分析】由三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理可求S2=14a2b2﹣22(83)16c，进而利用基本不等式，从而可求S2≤22458()5165c,从而利用二次函数的性质可求最值．解：由三角形面积公式可得：S=12absinC，可得：S2=14a2b2（1﹣cos2C）=14a2b2[1﹣（2222abcab）2]，∵a2+b2+2c2=8，∴a2+b2=8﹣2c2，可得：a2+b2=8﹣2c2≥2ab，解得：ab≤4﹣c2，当且仅当a=b时等号成立，∴S2=14a2b2[1﹣（2222abcab）2]=14a2b2[1﹣（2832cab）2]=14a2b2﹣22(83)16c≤14（4﹣c2）2﹣22(83)16c=﹣42516cc=22458()5165c，当且仅当a=b时等号成立，∴当285c时，-42516cc取得最大值45，S的最大值为255．故答案为：255．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理，基本不等式，二次函数的最值的综合应用，考查了运算能力和转化思想，难度中等．同步训练题（2018•泸州模拟）在等腰△ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD长为6，则当△ABC的面积取得最大值时，AB的长为．解：在等腰△ABC中，设AB=AC=2x，AD=x．设三角形的顶角为θ，则由余弦定理得cosθ=225364xx，∴sinθ=222229(20)60364xx，所以S=12absinθ=2222222229(20)603611.2.2.9(20)6036242xxxxx得：当x2=20时，三角形面积有最大值，即AB=2x=45时三角形面积有最大值．所以答案为：45．