探究函数概念的策略

探究函数概念的策略策略引入两只黄色的小鸡正争着啄地上的一条蚯蚓。一个小男孩对一个小女孩喊：快看啊，小鸡吃蚯蚓！才不是吃，是争着蚯蚓玩！小女孩说。瞧，蚯蚓被吃到肚子里去了。小男孩惊叫道。好奇怪，小鸡怎么会吃蚯蚓呢！小鸡只吃碎米，奶奶每天给小鸡碎米吃。小女孩嘟嘟囔囔。小鸡还吃饭、吃菜叶、吃虫子，还吃--小男孩说不出来，停顿了一会，可能还吃巧克力。说完，他从口袋里掏出刚才吃剩的巧克力，掰了一小块，放在地上。小鸡认为是小泥块，才不吃。小女孩说。不会的！小男孩嚷道，它们没有看见。说完，弯腰捡起了巧克力，丢到小鸡群中。吃了，吃了。小鸡爱吃巧克力，谁都爱吃巧克力。小男孩跳着，笑着，奔到房下：妈妈，妈妈，小鸡爱吃巧克力！以上这一幕，体现了一次探究活动，探究是人的天性。正是通过对周围世界不断的探究，人成长起来了！策略剖析探究的策略就是在探究问题的过程中所采取的方法，如对比、等价探究、加强条件或削弱条件等等。它是在好奇心驱使下、以问题为导向、有高度智力投入且内容和形式都十分丰富的学习活动。策略的合理使用能使问题的探究过程更有方向性，更有效，提高学习的效率，达到准确把握概念实质的目的。函数是贯穿高中数学知识的主线，其思想方法渗透到各部分内容的学习中。由于函数的概念比较抽象，涉及面广，同学们理解起来感到难度大，在运用中常常表现出思路闭塞、逻辑紊乱。要全面准确地掌握函数概念，不仅要具有“打破沙锅问到底”的探究精神，而且要掌握科学地探究的策略，使我们的探究活动具有目的性及可行性。在学习中，对所研究的对象进行分析、综合、抽象，对概念的必要性和合理性进行推敲,直到我们能够界定问题,并形成和修正解决问题的方案。对函数概念的探究可以从以下几个方面进行：1.通过对比，探究函数与映射的联系当学习一个新概念时，要开展知识之间的纵横联系，寻求不同概念之间的交汇点，对相似的概念要把握它们之间的区别与联系。函数概念是建立在映射概念基础上的。映射f:AB是指，对于集合A的每一个元素a，按照某个对应法则f，在集合B中都有唯一确定的值和它对应。当A、B都是非空数集时，映射f:AB叫做从A到B的函数。可见，映射是建立在集合A集合B上的单值对应。由于函数是描述变量情景中的两个变量之间存在的量的关系。因此，函数又是建立在从非空集到非空集上的映射，故函数是一种特殊的映射。2、探究“关键词”与本质探究一：寻求关键词。审查函数的定义，发现“每一个确定”，“唯一确定”是定义中的关键词。它的意思是，自变量x所在的集合中的每一个元素，通过某种对应法则，在另一个变量y所在的集合中都有且学会探究，就掌握了剖析概念的利器只有一个确定的值与x的值对应。它体现函数是从一个数集到另一个数集上的单值映射。例1：下列各图象中，yyyyox0xoxox（1）（2）（3）（4）不可能是函数y=f(x)的图象的序号是____________。在四个图象中，从定义中所要求的对应关系入手，发现（3）、（4）不符合“唯一确定”的条件，故答案：（3）（4）。请同学们想一想：怎样修改（3）（4）的图象，使它们能作为某函数的图象？探究二：把握本质要素。对于函数而言，函数有三要素：定义域，值域，及对应法则f。其中f是使“对应”得以实现的方法和途径，是联系x和y的纽带，是函数的核心；定义域是自变量x的取值范围，值域是全体函数值的集合。对于函数的对应法则的确定，具体问题具体分析。在分析过程的关键在于探究y与x之间存在的等量关系。一旦定义域和对应法则确定，函数的值域就随之确定。关于函数的定义域的探究可以从以下方面展开。其一：研究函数的解析式。在一般情况下，函数的定义域就是使函数的解析式有意义的自变量的取值范围。其二：扣紧函数所针对的具体的背景。数学是来源于生活的。例如：我们用函数40010yx来模拟在销售衣服的过程中，在一周到5周内，每件衣服的销售价格y与周次x的函数关系时，该函数的定义域就不是R，而是[1,5]x且xN，诸如此类的问题，请同学们结合平时学习加以重视。其三：灵活处理函数的定义域，使之符合研究问题的特殊要求。例如：函数2yx在R上是有意义的，但不存在反函数，如果将其定义域限制在R+，那么它就存在反函数。在什么条件下，两个函数被认为是相同的函数？3、探究符号准确运用探究发展数学知识的表达方式有文字语言，符号语言及图象语言，三种语言的互化在解决问题时十分重要。三种语言中，符号语言由于形式简洁、抽象、概括性强，因此，理解及运用的难度大。例如在学习函数的周期性时，抓住定义中的f(x+T)=f(x)提出问题。例2、你能从f(x+T)=f(x)得出其他关于函数周期性的表达式吗？探究1：将f(x+T)=f(x)改写为f(x+T)=-f(x)。注意到-f(x)就是f(x)的相反数，因此计算f(x+2T)=f[(x+T)+T]=-f(x+T)=-[-f(x)]=f(x).可见满足条件f(x+T)=-f(x)的函数仍具有周期性，最小正周期为2T。数学不是空中楼阁，数学是来源于生活的。探究2：若f(x+T)=1()fx或f(x)=-1()fx，同样可以推出f(x)的周期为2T.探究3：若将f(x+T)=f(x)改为f(T-x)=f(x)，该函数还具备周期性吗？如果不具备周期性，那么你能得出什么结论？当函数f(x)满足f(T-x)=f(x)时，函数不具备周期性。反例：()1fxx满足(2)()fxfx，此时T=2，但它不是周期函数。通过研究它的图象还可以发现x=1是其图象的对称轴。类似的反例还有f(x)=243xx等等。从对反例的研究，可以对满足f(T-x)=f(x)的函数进行对称性的论证。证明：在函数图象上任取一点P（x,y）则y=f(x)设P关于x=12T的对称点P（T-x,y）。由f(T-x)=f(x)得f(T-x)=f(x)即y=f(T-x)所以P（T-x,y）也在y=f(x)的类似的图象上。得到结论：当函数f(x)满足f(T-x)=f(x)时，f(x)的对称轴为x=12T。例3：当f（x－l）＝f（1-x）时，函数y=f(x)的图象的对称轴是什么？并回答y＝f（x－l）与y＝f（1-x）的图象的对称轴。对这个问题，你是否认为它们的对称轴都是y轴？分析：我们先来比较两个问题中的条件有何区别：发现问题1是对一个函数图象的对称性的探究，这个问题在上例中我们已经研究过了。而第二个问题是对两个函数图象之间的位置的对称性的研究。解：当f（x－l）＝f（1-x）时，y=f(x)的图象的对称轴是y轴。我们由函数图象的基本知识已经知道y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称，再根据图象的平移，f(x-1)是将f(x)的图象向右平移1个单位得到；f(1-x)的图象是将f(-x)的图象也向右平移1个单位得到。所以y＝f（x－l）与y＝f（1-x）的图象的对称轴是x=1.可见，不透彻理解一个图象的对称性与两个图象的对称关系的区别，两者很容易混淆。可见对概念理解如果仅仅停留在字面上的含义是远远不够的，还须理解其隐含着的深层次的含义并掌握各种等价的表达方式，并将其开拓发展。4、探究概念的隐含条件例4：判断函数1()(1)1xfxxx的奇偶性。分析：本题中如果只去考察()()fxfx与的关系式，易将此函数错认为偶函数。产生错解的一个重要原因在于忽略对该函数的定义域的考察。事实上，该函数的定义域是1,1，不关于原点对称。所以此函数是非奇非偶函数。函数奇偶性的定义是这样叙述：对定义域D上的任意x，如果都有你注意到探究过程的特点吗？探究概念，是不是挺有用的？隐含条件太重要了，值得好好关注。探究是数学的生命线()()fxfx成立，则称()fx是偶函数；如果()()fxfx，则称()fx是奇函数。虽然定义中字面上并没有提到定义域关于原点对称，但是我们探究定义不难得到：对任意xD，则-xD成立，因此定义域D关于原点对称。由以上各例可以看出，对概念的探究活动十分的重要。在探究的过程中，不仅学习了概念，而且对概念的理解也更深刻。我们还发现对概念进行探究往往还能得到许多重要的发现，有了以上的探究成果，对我们解决许多函数问题有很大的帮助。策略演练1、求证：函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称的充要条件是y=f(x+a)是偶函数。2、为什么函数y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于直线y＝x对称，而y=f(x)与x=f-1(y)却有相同的图象。3、请你就反函数与函数的单调性之间的联系进行探究，并与同学开展交流。策略反思：1、你还有哪些有效的探究问题的办法与思路。2、谈一谈，你对应用探究策略学习数学概念的心得。