数学本质缺失归因与策略探讨

数学本质缺失归因与策略探讨手机：[phone]邮箱[e-mail]晋江市教师进修学校蔡福山石狮市教师进修学校黄玉香一.提出话题的背景“注重实质，淡化形式”“把根留住——追溯数学本源”重形式轻内容、重气氛轻本质实践层面镜头回放：案例1：一位教师上四年级下册《图形分类》一课，教师介绍了三角形具有稳定性的特点后，要求学生找生活中哪些事物应用了三角形的稳定性。生1：我发现人字屋架具有稳定性。生2：我发现了自行车的三角形车架具有稳定性。生3：老师，红领巾也是三角形，但它不具有稳定性，可以任意地揉捏，容易变形。这一回答大大出乎教师意料！教师略一思考，“是啊，红领巾是布做的，我们不能用红领巾理解三角形的稳定性，而要看人字架屋顶、自行车三角架这些物体，多牢固啊！”“拉得动、拉不动”“揉捏会不会变形”能作为判断图形是否具有稳定性的标准吗？“只要三角形的边长确定，则这个三角形的形状和大小也就确定了。”——三角形稳定性的数学本质活动1：围一围师：刚才同学们用三根牙签围成了一个三角形。想一想，用这三根牙签还能围成其他形状的三角形吗？生（齐）：能。教师请几位学生到投影仪上演示，若干次尝试后，大家发现，不管怎样移动牙签，三角形除姿势变化外，其形状、大小都不会改变。于是教师顺势引导学生归纳：“只要三角形三条边的长度确定，这个三角形的形状和大小也就确定了，这体现了三角形的稳定性。”活动2：拉一拉。活动3：找一找。（略）“数学教学是数学活动的教学”数学活动有两个要素:活动内容和活动组织“内容决定形式”“本质决定形式”晋江市第二实验小学许贻亮《百分数的认识》《福建教育》09、7《关注数学本质，组织有效教学活动》《福建教育》09、9《把握起点关注需求》许贻亮《2009年福建省高考数学学科考试说明(文科)》在命题指导思想中提出：命题应体现《普通高中数学课程标准（实验）》的理念，体现对知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等目标的要求，坚持能力立意，注重考查数学基础知识、基本技能和基本思想，着重考查考生的数学素养和对数学本质的理解水平，以及进入高等学校继续学习的潜能。福建高考命题组点评2009年高考数学试题：着眼选拔注重能力适度创新关注过程合理开放倡导探究注重本质强调应用（突出对相关数学知识的本质含义的考查）教什么比怎么教更重要！理论层面“这两日正看一些摄影的书，发现有一本极为独特，它不像别的书，一开始就介绍具体而烦琐的成像知识，而是先给你讲授摄影追求的是什么，一幅好照片有什么基本特征。寥寥数语，就将摄影的精华思想跃然纸上。当然操作技术也是重要的，可是没有这些灵魂的东西，你怎么去把握技术，去处理变化无穷的情境呢？不了解其终极意义，又怎么知道要追求什么？‘大音希声，大象无形’。真正的效率来自思想的动力。来自意义的感悟。教学也是这样。”数学教学的问题“并不在于教学的最好的方式是什么，而在于数学是什么。……如果不正视数学的本质问题，便解决不了关于教学上的争议”。P．欧内斯特(P．Ernest)同一个教学内容，可以有多种教学设计。无容置疑，每一种新设计都在探求教学的更好方式。但数学教学的首要问题，不在于教学的更好方式是什么，而在于所教内容的数学本质是什么。教学为什么这样安排，而不那么安排，首先是由所教内容的数学本质决定的，虽然它不是惟一的决定因素。蔡圣宏理论层面数学课标修订稿“教学建议”中提出：●教师应当准确把握教学内容的数学本质和学生的实际情况，确定合理的教学目标，设计一个好的教学方案。数学课标修订稿“教学建议”中提出：●为了帮助学生真正理解数学知识，教师应注重数学知识与学生生活经验的联系、与学生学科知识的联系。教师还应提示知识的数学本质及其体现的数学思想，帮助学生理清相关知识之间的区别和联系。数学课标修订稿“教学建议”中提出：●教学中应当努力创设源于学生生活的现实情境。好的“现实情境”，应当是学生熟悉的、简明的、有利于引向数学本质的、真实或合理的。“评价建议”中提出：●对基础知识和基本技能的考查，要注重考查学生对其所蕴涵的数学本质的理解，考察学生能否在具体情境中合理应用。“教材编写建议”中提出：●素材的选用应当充分考虑学生的认知水平和活动经验。这些素材应当在反映数学本质的前提下尽可能地贴近学生的现实，以利于他们经历从现实情境中抽象出数学知识与方法的过程。二.概念解读本质:就是指事物本身所固有的、决定事物性质、面貌和发展的根本属性。数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学（恩格斯语，《辞海》）。数学是一门自然科学、经验科学。数学是一门演绎科学。组成数学整体的另一个非常重要的方面是数学研究的过程，是数学真理的抽象概括过程。数学是在内容和形式的互相影响之中的一种发现和组织的活动（弗赖登塔尔）。数学是人类的一种文化,它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。数学是一种对待事物的基本态度和方法，一种精神和观念，即数学精神、数学观念和态度。《数学课程标准(实验稿)》在前言部分指出:数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。在基本理念部分指出：数学是人类的一种文化,它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。《数学课程标准(修订稿)》在设计理念部分指出：“数学是研究数量关系和空间形式的科学。”数学作为对客观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具…数学是人类文化的重要组成部分…数学本质既体现在数学研究结果上，又体现在研究过程中；不仅体现在数学知识上，还体现在数学思想、数学文化、数学精神里。它的特点集中体现在数学的抽象、严密、简洁，其中最本质的特点是抽象性。在宏观上，可以说数学本质就是数学观问题。在微观上，数学本质就是具体数学内容的本质意义。●隐藏在客观事物背后的数学知识●统摄具体数学知识与技能的数学思想方法●隐藏在数学知识背后的本质属性《长方体和立方体的表面积》创设情境，激趣引入：猜一猜，做一个长方体纸盒和一个立方体纸盒，哪个用纸板多？（店员阿姨做一个生日礼物包装盒需要多少包装纸？）平行：用运动的观点观察直线的位置关系，平行是直线平移运动的状态。因此平行的数学本质应该是直线的平移运动，而画平行线的关键是使画直线的工具发生平移。百分数：表示两个数比的关系，比的结果用百分数表示。整数、小数、分数加减运算法则：相同计数单位相加减。测量：被测对象含有几个测量单位。解决问题：四则运算意义的运用。交换律：运算形式变化但运算结果保持不变，即“数量不变”。方程：为了寻求未知数，在已知数和未知数之间建立起来的一种等量关系。正比例、反比例：函数思想确定位置：坐标思想圆面积公式推导：“化曲为直”、极限思想平移、旋转：刚体变换平均数、众数、中位数：反映一组数据的集中趋势的统计量四.“数学本质”缺失归因分析思考一：书本“存在的”就一定是“合理的”吗？案例2：x＝1，是不是方程？“为了求未知数，在己知数和未知数之间建立一种等式关系。”——方程的本质四.“数学本质”缺失归因分析思考一：书本“存在的”就一定是“合理的”吗？案例3：到底应该怎么分？二年级（上册）P35：答案：下面几种排法都是正确的。（1）每排4人，排6排（或每排6人，排4排）；（2）每排12人，排2排（或每排2人，排12排）；（3）每排24人，排1排（或每排1人，排24排）。二年级（上册）P95第2题：答案：24名同学进行分组有多种方法：每组2人，分12组；每组3人，分8组；每组4人，分6组……但如何确定分组方法合适，则与跑道的条数有关。二年级（上册）P85第5题：有几个盘子2369每个盘子里放几只杯子9632答案：五年级上册P9第5题：把48个球装在盒子里，每个盒子装得同样多，有几种装法？每种装法各需要几个盒子？每个盒子装球个数241612864321需要盒子数2346812162448答案：48＝1×48＝2×24＝3×16＝4×12＝6×8，48有1，2，3，4，6，8，12，16，24，48这10个因数，最多有10种装法，但由条件可知至少用2个盒子，所以共有9种装法见下表。四.“数学本质”缺失归因分析思考一：书本“存在的”就一定是“合理的”吗？归因：教材编写的局限性所导致。四.“数学本质”缺失归因分析思考二：“站在儿童角度看问题”就一定是对的吗？案例4：一定要直观地平均分才能产生分数吗？四.“数学本质”缺失归因分析思考二：“站在儿童角度看问题”就一定是对的吗？案例4：一定要直观地平均分才能产生分数吗？归因：教师教学思维的“童化”所导致。四.“数学本质”缺失归因分析思考三：我们自身的专业知识够用吗？案例5：圆面积计算公式为什么不用“≈”？归因：教师本体性知识的欠缺所导致。什么叫教师本体性知识？教师从事自己的专业工作所必须具备的学科知识。案例6：能用抛硬币实验得出正面或反面朝上的概率相等吗？为了让学生明白硬币正面或反面朝上的可能性相等，老师先安排同桌合作抛硬币10次，记下正、反面朝上的次数，再小组汇总、全班汇总，然后介绍数学家们的实验数据，如下页表格，最后告诉学生，随着实验次数越来越多，正面朝上与反面朝上的次数会越来越接近，所以说正面或反面朝上的可能性相等。试验者抛币次数正面朝上次数反面朝上次数相差数德·摩根4092204820444蒲丰40402048199256费勒100004979502142皮尔逊24000120121198824罗曼诺夫斯基8064039699409411242合计12277260786619861200案例7：五年级（上册）P38第2题，写出分母是7的真分数。教师问：是不是真分数？07案例8：5÷x＝8是看作5÷×x＝8，还是看作5÷（x）＝8？141414案例9：用面积公式算出的是面积大小，怎么会是钢管的根数呢？认为答案是的，是将甲数假设成1，乙数假设成，÷1＝＝。案例10：在一教学论坛中看到这样一道数学题：乙数是甲数的，甲乙两数和的倒数除以甲数，商是（）。结果出现了两种答案，和。认为答案是的，是把乙数假设成1，甲数假设成2，÷2＝；认为答案是的，是将甲数假设成1，乙数假设成，÷1＝＝。12162312+31616231211.5认为答案是的，是将甲数假设成1，乙数假设成，÷1＝＝。232311+1/2用“代数”的方法：假设乙数为x、甲数为2x，则有假设甲数为x、乙数为x，则有÷2x＝x÷2x＝。12X+X1316X223X212四.“数学本质”缺失归因分析思考四：“生活化”教学即忠实生活原貌吗？折成的总份数---数学模型：2n对折次数12345……其中1份占整张纸几分之几……案例11：大数次折纸的可操作性值得质疑吗？拿一张长方形纸对折，然后摊开来看看，这样连续折几次，写出每次折成的一小块占整张的几分之几：“一尺之捶，日取其半，万世不竭。”——庄子《天下篇》数学模型：2n(n取负整数)四.“数学本质”缺失归因分析思考四：“生活化”教学即忠实生活原貌吗？归因：生活经验的干扰所导致。四.“数学本质”缺失归因分析思考五：这样的习题设计合理吗？（1）最小的偶数是（）。（2）0.5×0.2的积是（）位小数。.（3）判断：0.9＜1。（）（4）判断：射线比直线短，比线段长。（）四.“数学本质”缺失归因分析思考五：这样的习题设计合理吗？（5）判断：自然数的个数比偶数多。（）（6）判断：某篮球运动员任意投篮一次，投中的可能性是1/2。（）（7）任意抛40次硬币，可能有（）次正面朝上，可能有（）次反面朝上。归因：不良习题的误导所导致。四.“数学本质”缺失归因分析思考六：多媒体这样使用合理吗？案例12：《铅笔有多长》在尺子上找毫米“你能在尺子上找出1毫米吗，找到后指给你的同桌看看。”（同桌指了之后，请学生到课件中放大的尺子上指出1毫米）指着课件中刻度0到刻度1之间的放大直尺图：“这样的1小格是1毫米，2小格是几毫米？3小格呢……”发现：这1厘米里面有10毫米。“