数学竞赛中代数式最值问题的解题策略

数学竞赛中代数式最值问题的解题策略邮编：422200作者：湖南隆回一中邹启文E-mail:[e-mail]电话：[phone]数学竞赛中最值问题，有一定难度，但只要我们去认真的分析，仔细地思考，不管问题再难，其实万变不离其宗，总离不开所学过的知识点和基本方法。如不等式法（包含非负数性质a≥0，2a≥0，a≥0，一元二次方程判别式△≥0，整体大于部分等等），公式法（包括二次函数顶点坐标公式、三角函数公式、完全平方公式等等），区间取值法（包括一次函数线段端点取值与曲线在某区间内的最值求取等等），在求解方法上也有其规律性，如夹逼法、递推法、枚举法、放缩法、排序法，还有转化为几何图形法等等。近两年来的各级各类初中数学竞赛中的最值问题，在题型上已呈现出一个崭新的形势，其变化之多、涉及面之广、形式之灵活可谓达到了空前的程度，同时最值的求法也有了较大的拓展，打破了原有的思维定势，但仍然是有章可循的。例1：已知设1x、2x、3x、……nx均为连续正整数，且1x＜2x＜3x＜……＜nx，1x+2x+，3x+……+nx=2005，则nx的最大值是＿＿＿＿最小值＿＿＿＿（2005年自编题）分析：这是一道须利用不等式求解的试题，由于有1x+2x+3x+……+nx=2005，所以应当想到这些数的平均数必与中位数接近，于是可由此确定3x的数值或范围。然后再求nx的最大与最小数值。解：由题意可设1x+2x+3x+……+nx=1+2+3+……+n=2005，由高斯求和公式可得200521nn，解得63n，但当63n时2016326321636321nn当62n时1953633121626221nn，∵1953≤2005≤2016，且n是整数，∴n≠62或63，我们又观察到平均值nnnxxxx1321140152005，且5和401都是质数，显然n不可能是401，∴n只可能是5，故有1x+2x+3x+……+5x=2005又∵平均数51（1x+2x+3x+……+5x）=200551=401，且1x、2x、3x、……nx均为连续正整数和1x＜2x＜3x＜……＜5x，即4013x∴当3991x，4035x时，恰有2005403402401400399，于是nx的最大值是403，最小值399。【注】：由于本题中关键的是平均数与中位数关系的合理运用，1x、2x、3x、……nx是按从小到大的顺序排列的，在否定了1x、2x、3x、……nx是从1起的整数后，我们也可观察到1x+2x+3x+4x+5x=2005的平均数与中位数相等，所以也可以用枚举法确定5x=403与1x=399的大小，例2、若x、y、z是实数，满足x+y+z=5，3zxyzxy，则z的最大值是＿（2004年全国希望杯初中数学邀请赛试题）分析：这是一道已知条件中含有二次项的求其中某未知量最大值的典型题，因为本题已知x、y、z是实数，那么由实数的意义可联想到x、y、z是可开方的，因此应该想到x、y、z在某一未知数为主元的一元二次方程的判别式△≥0，于是应想办法将两个等式转化为一元二次方程。解：∵x+y+z=5，3zxyzxy则x=5-z-y，∴355yzzzyyyz，即0)35(522zzyzy又∵y、z是实数，∴△=13311310335145222zzzzzzz≥0∴3131zz，即得-1≤z≤313，于是z的最大值为313【注】：本题中虽然只要求同学们求z的最大值，但实际上z还存在最小值，同时其它未知量也可用同样的方法求出它们的最值。例3、若36131221zzyyxx，则zyz32的最小值是＿＿，最大值是＿＿（2004年全国希望杯初中数学邀请赛试题）分析：本题是含有绝对值符号的最值题，要求zyz32的最大值，一般来说应有x、y、z的其它条件存在，但题中并没有反映出来，所以我们必需用函数的有关知识在这个等式中寻找x、y、z的条件。解：∵21221311221xxxxxxx，同理有21221311221yyyyyyy，同样有32231412213zzzzzzz，又∵13,12,21zzyyxx的积为36=433∴应取431321321zzyyxx，相应的取值范围是312121zyx，∴其最小值为zyz32=13121=-6ADBPEFCxy其最大值为zyz32=1533222【注】：本题实际上是根据一次函数的取值范围求代数式zyz32最值的，题目把它们的取值范围隐藏在等式的绝对值中，如21xxX，21yyY，31zzZ，因此拓展了求最值的思维。例4、已知a＜0，b≤0，c＞0，且acbacb242，求acb42的最小值。（2004年“TRULY信利杯”全国初中数学竞赛试题）分析：本题是一道利用完全平方的性质求解的典例，虽然根据平方根的意义只要acb42≥0，但有了等式右边acb2就不一定是以0为最小值了，所以必须将acb42转换为完全平方的形式。解：∵acbacb242，两边同时平方得2224acbacb展开得2222444caabcbacb，化简后从而有1bac又∵acb42=22214bbb，由于b≤0，当b取最大值0时，22b值最小，且最小值是22b=4202，于是acb42的最小值为4【注】：本题很容易被二次根式acb42中必有acb42≥0所迷惑，以为acb42≥0中0就是它的最小值，其实不然。例5、若yx,为正实数，且4yx，那么4122yx的最小值是＿＿＿＿（首届创新杯全国数学邀请赛第二试试题）分析：从代数式4122yx的形式可知，求它们的和实际上是求两个Rt△的斜边的和，所以可转化为几何图形进行分析，是转化为几何图形求解。解：设AB=4，AP=x，PB=y，AE=1，BD=2∵CE=12x，CD=42y∴4122yx=PE+PD≥CE+CD=DE=2234=5故4122yx的最小值是5【注】：有时还可将在直线同旁的点通过反射变换，将点描在直线的两旁求和的大小。综上所述，尽管竞赛题在题型上呈现出了一个崭新的景象，涉及面广、形式灵活、且变化莫测，使人感到难以捉磨。即使题目中的最值求法实现了极大的拓展，我们也不能感到畏惧，只要我们在平时养成全面且严密的逻辑思维习惯，解题时持谨慎的态度，那么问题就会在你的努力下成功地获得解决。有兴趣吗？试试看，请作下例各题。1、设1x、2x、3x、……9x均为正整数，且1x＜2x＜3x＜……＜9x，1x+2x+，3x+……+9x=220，当1x+2x+3x+4x+5x的值最大时，求1x-9x的最小值。（2004年全国初中数学联赛试题）2、若x、y、z为实数，且x2—xy＋y2=z，x3＋y3=z2，求z可能取的最大值。（希望杯全国数学邀请赛试题）3、设x为实数，求54321xxxxx的最小值（选编）4、已知1222yx，求252yx的最大值与最小值。（选编）5、若x、y为正实数，且3yx，那么25422yx的最小值是＿（选编）答案与提示：（1）、因为1x+2x+3x+……+9x=220，所以其平均数为91（1x+2x+3x+……+9x）=91220，即44.24x。又因有1x＜2x＜3x＜……＜9x存在，即1x、2x、3x、……9x是按从小到大的顺序排列的，故其中位数为5x应当满足24≤5x≤25且5x是整数，所以5x=24或25，当5x=24时，因为1x＜2x＜3x＜……＜9x，所以1x有最大值为20，9x有最小值为29，恰有20+21+22+23+24+25+……+29=220，于是9x-1x的最小值为9x-1x=9。显然5x=25是不合题意的，于是5x只能等于24。（2）、想办法消去X（或Y）变为以Y（或X）为主元的一元二次方程，再用判别式△≥0求之，答案为4。（3）、当5≤x≤1，51xx的最小值为4，当-4≤x≤-2，42xx的最小值为2，当x=-3时3x的最小值为0。故当x=-3时，原式的最小值为miny=4+2+0=6（4）、∵1222yx，∴102x，102y，即11x，11y，∴10292522522521252xxxyx，当52x时，有最大值1029当1x时，有最小值2（5）、本题的两个点都在一条直线的同旁，故应将其中一点进行轴反射变换到直线的两旁后，按例5方法求解线段的和。答案为58。说明：编辑老师：如果您认为本文还有点价值可编，但觉得略长，则可把题注部分和习题的解答过程删除，只保留答案部分。谢谢！