数学解题的策略

数学解题的策略南京师范大学耿长松从高考试题谈——认识高考命题的基本思想江苏省高考命题基本成熟江苏省自主命题基本成熟第一年——平稳过渡，第二年——预期准确难度适中均分难度低:中:高95.470.634.3:3.1:2.604年——05年——82.920.553:4.3:2.7对数学学习提出三个不同层次的要求全体学生，大多数学生，少数学生受到考生,教师,家长及全社会肯定和欢迎不同层次学生都能获得与其相称的成绩坚持考查基础知识和重点内容•试题以课本例习题为主要来源源于课本而不高于课本,源于课本而略高于课本,源于课本之外的不常见新颖题•坚持考查基础知识和重点内容小题重在对基础知识的直接运用，大题重在对重点内容的思维探索•能力立意,强调创新意识小题重在区分思维层次,大题重在解决新问题•淡化在知识网络的交汇处设计命题对综合性有一定要求但不高,设置小题,梯度合理,大多数题起点低、思路宽、方法多,利于施展才华•试题不过分追求新颖新颖而不过分,难度适中,表面容易,得满分也非易事.具体数据统计选择题(5)三角(9)解几(11)解几(12)排列组合总计均分2.853.463.112.3046.02难度0.570.690.620.460.77填空题(13)(14)(15)(16)(17)(18)总计均分2.332.582.652.262.610.8713.30难度0.580.650.660.570.650.220.55知识点逻辑切线定义域估值解析式向量解答题(19)(20)(21)(22)(23)总计均分5.348.015.753.321.1933.26难度0.450.670.410.240.090.45知识点解几概率立几最值数列“小题”对能力的考查•从不同思维层次上进行考查——•解题过程蕴涵不同的思维层次以简缩思维解题直接抓住本质甚至于无须动笔大大节省时间模仿训练的套路机械作答花费时间•形成简缩思维的最有效途径勤于反思，善于概括，获得“生成性知识”——自己的知识大题对能力的考查大题——解决“新问题”的能力“新问题”：情景新题型新设问新方法新解决新问题——“从无到有”——探索能力和创造意识怎样在陌生的情境下,从题意的挖掘开始,一步一步找到解决问题的途径,是从不知到知,从不懂到懂,从不会到会,从不明白到明白的“从无到有”的实现过程,这就是探索能力.不是说，只能按照熟悉的题型,习惯的方法,见过的面孔去解决问题,自己完全不知道在陌生的情境下,怎样从条件出发找到问题的解决.数学解题的基本策略策略(1):怎么着手解题1)它是一个什么问题？它要求(证)的是什么？——是什么范畴的问题？——“盯着目标”——求(证)什么？2)现有哪些材料——题设中的条件3)有哪些工具——已经学过的相关知识和方法4)还缺少什么材料？能否从现有的材料和工具中找到它们？5)如何利用这些材料和工具？6)是否还有条件没有利用？如何利用？策略(2):运用“提示语”理解题意运用提示语理解题意——提高探索能力的要诀它是什么？如何表示？它有什么性质？这些性质如何表示？它们之间有什么关系?这些关系如何表示?它是否与其它问题,方法,信息相联系?理解题意——解题最重要的环节波利亚：理解了题意，相当于解决了问题的一半.理解了题意，往往能直接找到问题的解法“它”——名词、句子、概念、关系、符号、表达式、上下标、图形、图中的点线面，等还可以如何表示6.抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是()(A)(B)(C)(D)0y0=1-xy-116(x0,y0)GMFM与F距离为1,准线“是什么”——画图——MF=MG=1,(B)16151617161587——走弯路常规方法,两点距离抛物线“是什么”——定义.161y策略(3):画一张图161纵坐标是什么?16.若3a=0.618,a∈[k,k+1],k∈Z.则k=.3-1=0.33a∈[-1,0]k=-1.☆3a函数图象y=3xa∈[k,k+1]是什么?3a=0.618是什么?是什么?3a——a是什么?问题数学符号怎么表示？还可以怎么表示？——用“函数思想”＜3a=0.618＜30=1抽象符号具体化0.618→3a→a3-1＜3a＜30-1＜a＜0xya30.6180.5O-2-11a观察f(x)=(x∈R)，区间M=[a,b](ab)，集合N={y︱y=f(x)，x∈M}，使M=N成立的实数对(a,b)有().(A)0个(B)1个(C)2个(D)无数个1.它是什么?——每个对象的意义(数学表示?)2.它有何性质?——每个对象的性质(数学表示?)3.它们有什么关系?(数学表示?)xx1它有什么性质?它们有什么关系?它是什么?——M,N,(a,b)…每个对象的意义是什么？M与N不可能相等.选A.③[a,b]数集;(a,b)数对①M,N都是数集,表示不同.理解题意理解什么②MM的象集合f(x)N—①f(x)与对应x反号(“反号性”)f(x):(+)(-),或(-)(+)f(x):M(跨原点区间)→N,缩小②|f(x)|＜1|f(x)|＜|x|(“收缩性”)④问题是什么？策略(5)：生成知识迁移方法简缩思维•虽然,通法是基本的,但随着解题的深入,不断形成新的概括,从而不断生成新知识,新方法,新认识,新体验,思维层次也应随之提高.•如果知识和方法不具有生成力,迁移力,始终停留在最初的层面,那么思维层次就只能停留在较低的水平上,达不到提高能力的作用立几题:正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,O是上底面中心,P在CC1上,CC1=4CP.(2)点O在面APD1上的射影是H,求证HD1⊥AP.OC1D1B1CA1ABDPHH是点O的射影D1H是D1O的射影.D1O⊥面AC1D1O⊥APO,H是什么?射影有什么性质？三垂线定理D1H,D1O,AP有什么关系?D1H⊥AP(2)Q是已知椭圆上一点,过Q点和焦点F的直线l交y轴于点M,,求直线l的斜率M(0,km),图形语言QFMQ21342222mymx文字语言QFMQ2有|x|=2|-m-x|,得x=±2(m+x).x1=-2m322mxy1=-km32kmy将(x1,y1),(x2,y2)代入已知椭圆方程.62k得k=0,画图(0,km)(x,y),(-m,0)解析几何语言解此方程得图形语言符号语言设Q(x,y),向量语言焦点F(-m,0),直线l:y=k(x+m)FMQ还可怎么表示是什么?怎么表示?几何对象性质表示22．已知a∈R，函数f(x)=x2|x-a|(Ⅱ)求函数y=f(x)在区间[1，2]上的最小值.首先脱去绝对值号,a11≤a≤2a2(分类特点:按a与x所在区间分类关系)axa在[1,2]左a=xa在[1,2]内ax→(≥0)怎么脱?画图a在[1,2]右21ax21a21a21a21a37a策略(9)：解题回顾•解题回顾是数学学习最重要的环节新问题的解决往往在“一念之间”•回顾思考的过程问题的理解涉及的知识联系的问题数学的思想方法与策略简缩与优化元认知体验策略(10)：提高悟性是根本①学之道在于“悟”,教之道在于“度”达到熟练的程度需要也正常.但“熟能生巧”多指操作而言,熟练只能培养解决已知问题的能力,而不是解决新问题能力.培养解决新问题能力,最好的办法就是自己感悟.②要独立地学习一点新东西独立地去读点书,独立做题和独立地研究所做的题,要学会自己思考和感悟.③“师傅领进门，修行在个人”教师不能包办代替，教师只能引导，领悟必须也只能靠学生自己祝同学们在学习中取得更大进步在高考中获得满意成绩已知i,m,n是正整数,且1＜i≤m＜n.求证：niAim＜miAin它是什么?——抽象符号具体化，m,n,i用具体数代换。niAimmiAin←→………….mim1mmmmmm21nnnnnn21nin1iiniimnAmAiimmAiinnA策略(4)抽象符号具体化(i项)(i项)03’(5)O是定点,A,B,C是不共线三点,点P满足,则P点轨迹通过△ABC的(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心(0.2)这涉及对向量夹角公式的理解],0[),(ACACABABOAOPABAB①夹角公式应该被看成单位向量的乘积yxOACBP不清楚是单位向量,bababa)cos(bbaabbaa①③③由此迁移“×”变为“＋”，且是单位向量运算②正是单位向量乘积，结果才与向量长度无关②☆①②③都是一种“生成性知识”策略(6):深入研究和把握空间基本图形BDCA研究特殊点性质及其构成的线和面.策略(8):熟练掌握曲线或图象草图画法y2=2px(p2,0)(2p,0)-ppOCx2a2+y2b2=1(a,0)(0.b)(0,b)(a,0)Oyx-2π2π-ππ定位,定性,定形,定量,四者具其二.达到自动化总结,概括自己画图的方法和规律—生成性知识数学的语言按性质分类文字语言符号语言图形语言数表语言逻辑语言按学科分类几何语言代数语言三角语言向量语言解几语言策略(7)：不断进行数学语言转换通过“语义的转换”(语文的和数学的阅读能力)从题意中提取信息——概念,对象,关系的信息学习策略(7):利用生活的常识棱柱底面是菱形,当值为多少时,使A1C⊥面C1BD1CCCDB1D1C1ACDBA1CC1BDA1A1DBC1C学习策略(8)：逆向思考•剪拼问题(正三角形剪拼成正三棱锥、正三棱柱)•数学的悟性和灵性很难通过应试复习做准备善于多向思考比较机智的人却能做出来•逆向思考，很容易解决•学数学,学解题——学习思考的策略,思路的寻找不能被动记忆解法,套用解法考察2＜a＜3时,f(x)单调性yxf(2)f(1)2a37332O1a]2,32[)321[aa和，令f’(x)=0,解得x=0,∈[1,2](f(x)极值点).x=32a[1,2]分为1＜x＜,32a)32(3xaxf’(x)=＞0,fmin=f(1)=1-a(左端点)＜x＜2,32a)32(3xaxf’(x)=＜0,fmin=f(2)=4a-8(右端点)先何时相等?再对不等比较大小.f(1)=f(2),有a-1=4a-8,得a=,372＜a≤,3737f(1)和f(2)哪个更小?f(1)≥f(2),取右;＜a≤2,f(2)≥f(1),取左;结论1-a(a＜1)0(1≤a≤2)a-1(1≤a≤2)4a-8(2＜a＜)3710.若sin(-α)=，则cos(+2α)=(A)(A)-(B)-(C)(D)cos(+2α)sin(-α)6329731319731323369766333323197=-cos(π-+2α)]=-cos[π-(-2α)]=cos[2(-α)]=2×()2-1=-。选A.★=cos[-(-α)]=cos(+α)=,cos(+2α)=cos[2(+α)]=2cos2(+α)-1=2×()2-1=-。选A.312(★互余)31’01(19)抛物线y2=2px(p0)焦点为F,一直线过焦点F,交抛物线于A,B.BC∥x轴,且点C在抛物线准线上。证明直线AC经过原点O。•焦点坐标F(,0)(2分)•AB方程y=k(x-)(2分)•用代数符号表示几何对象——点,直线,几何性质——平行,垂直,斜率,基本量ABCOF2p2p11.点P(-3,1)在椭圆=1(ab0)的左准线上.过点P且方向为=(2,-5)的光线,经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率是(A)(B)(C)(D)P作aAB=33333122212222byaxyxEBDCF-2Pa(2,-5)AOa5254ca23ace==经y=-2反射交x轴点C,OC=1,c=1=3,选A.BD=DC=AC=2,画图DF平分BC椭圆,P左准线上,光线方向直线y=-2,反射,离心率(求)是什么平行线a有什么性质左准线方程x=-354a=.交x轴B；设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,a2=6,a3=11且(Ⅰ)得(5n-8)Sn+1-(5n+2)