最优捕鱼策略数学模型1

最优捕鱼策略数学模型摘要为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源）的开发必须适度。本文实际上就是为了解决渔业上最优捕鱼策略问题，即在可持续捕捞的前提下，追求捕捞量的最大化。问题一采用条件极值列方程组的方法求解，即1龄鱼的数量由3龄鱼和4龄鱼的产卵孵化而来；2，3龄鱼的数量分别由上一年1龄鱼，2龄鱼生长而来；4龄鱼由上一年的3龄鱼和上一年末存活的4龄鱼组成。最后得到：只要每年1-8月份3、4龄鱼捕捞总量小于、，就可以实现总捕捞量最大为；对结果分析得到捕捞的对象主要是3龄鱼，当3龄与4龄鱼的捕捞系数发生变化时，总的捕捞量变化不大。问题二给出年初各龄鱼的数量，要求在5年后鱼群的生产能力没有受到太大的破坏的前提下，使5年的总收获量最大，即在5年内鱼群能够可持续繁殖和生长。本题以5年的总捕获量为目标函数，以5年后各龄鱼的数量没有发生太大的变化为条件，建立承包期总产量模型。最终得到的捕捞策略如表1-1。只要各年龄鱼每年的捕捞数量小于表1-1中的数量，就可以实现5年后鱼群的生产能力没有发生太大的变化。关键字一、问题重述为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源）的开发必须适度。一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。考虑对某种鱼（鲳鱼）的最优捕捞策略：假设这种鱼分4个年龄组：称1龄鱼，……，4龄鱼。各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07,11.55,17.86,22.99（克）；各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8（1/年）；这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条4龄鱼的产卵量为1.109×105(个）；3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后4个月；卵孵化并成活为1龄鱼，成活率（1龄鱼条数与产卵总量n之比）为1.22×1011/(1.22×1011+n).渔业管理部门规定，每年只允许在产卵卵化期前的8个月内进行捕捞作业。如果每年投入的捕捞能力（如渔船数、下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比。比例系数不妨称捕捞强度系数。通常使用13mm网眼的拉网，这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为0.42:1。渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。1）建立数学模型分析如何可持续捕获（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群不变），并且在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总重量）。2）某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，合同要求鱼群的生产能力不能受到太大的破坏。已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为：122,29.7,10.1,3.29(×109条），如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司采取怎样的策略才能使总收获量最高。二、模型假设1、这种鱼分为四个年龄组：1龄鱼，2龄鱼，3龄鱼，4龄鱼；2、各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07克,11.55克,17.86克,22.99克；3、各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8（1/年）；4、捕捞采用固定努力量捕捞，即只允许每年的1-8月份捕捞，产卵和孵化期为每年的后四个月；5、4龄鱼和3龄鱼产卵，2龄鱼和1龄鱼不产卵。6、卵孵化并成活为1龄鱼，成活率（1龄鱼条数与产卵总是n之比）为1.22×/(1.22×+n)，并且孵化出的幼鱼在下一年初成为1龄的鱼；7、产卵期时鱼的自然死亡率发生在产卵之后；8、4龄鱼和3龄鱼每年只产卵一次，并且产卵集中在九月份，到十二月底孵化完毕；9、使用1.3mm网眼的拉网，这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为0.42:1，且每年投入的捕捞能力固定不变；10、只考虑该种鱼的繁殖和捕捞，鱼群增长过程中不考虑鱼的迁入和迁出，也不考虑其他方面的影响；11、对于模型一，为简化模型，将每一龄鱼自然死亡数量均摊到每一个月内；12、i龄鱼在第二年分别变为i+1龄鱼，i=1,2,3；4龄鱼仍为4龄鱼；13、该鱼的生长周期为1年；14、自然死亡的鱼也在捕捞范围之内，即计入捕获量，并且能够全部捕捞。三、符号变量及说明0,ix……该年年初时i龄鱼的总数量0,ix……第二年年初时i龄鱼的总数量ic……i龄鱼平均每月死亡数量jix,……i龄鱼在j月初的活鱼总数量im……i龄鱼每条鱼的平均重量n……9月底该种鱼总共产卵数量n……卵孵化成幼鱼进入1龄鱼阶段的数量ik……对i龄鱼活鱼的捕捞强度系数四、问题分析针对问题一：如何在满足可持续捕捞的前提下，实现每一年捕鱼的最大量（重量），文中给出各龄鱼在年底转化的具体情况：1龄鱼数量由3龄鱼和4龄鱼的产卵孵化而来；2，3龄鱼的数量分别由上一年龄段的鱼经自然死亡以及捕捞生长而来；4龄鱼是由上一年段3龄鱼经自然死亡以及捕捞后生长的和原有的4龄鱼组成的，并且规定只在每年的前八个月出船捕捞。那么根据以上信息我们可以建立动态整型规划模型，即以每年的前八个月作为动态规划中的8种状态，在满足文中的可持续捕捞的约束条件下，先确定这前八个月中，每个月的捕捞量，最后求得这八个月总捕捞量的最大值；当然我们还可以建立微分方程模型，把每一龄鱼的数量变化看成是随时间连续变化的，将每一龄鱼的初始数量减去第八个月末的数量就可得到该龄鱼的捕捞数量，然后可得到这八个月内总的捕捞量，当然这也要满足可持续捕捞的约束条件。针对问题二：本文将此题转化为在已知条件下，求最大捕获量的问题。我们从文中可知，该渔业公司五年的捕捞作业后，鱼群的生产能力不能受到太大破坏，这和前一道题的可持续捕捞条件有点区别，就是该题的约束条件已变为五年捕捞后各龄鱼的数量比承包前的要少，只要程度控制在一定的范围内就不会对鱼群的生产能力造成太大破坏。此时我们要引入破坏系数)10(pp，p就是五年后各龄鱼与五年前各龄鱼数量的比值，p值越大，破坏程度越小，反之，破坏程度越大。我们可以把对鱼群的破坏看成是每一年的累积效应，即每一年都可能有破坏，这样我们就可以在问题一所建立的模型的基础上，修改一下约束条件，就可以求出这五年内该渔业公司的最大捕获量。五、模型的建立与求解模型一、动态整型规划模型在没有人工捕捞的情况下，由文中的所有龄鱼的自然死亡率0.8（1/年）可知i龄鱼在一年内死亡的总数量为：08.0ix，其中0ix为i龄鱼年初的数量，为了简化数学模型，我们考虑把i龄鱼的死亡总数量平均分配到每一个月，这样i龄鱼在每一个月的死亡数量均为128.00iixcJ月初的i龄鱼的活鱼总数量：129,81,1,1,1,,jcxjxkcxxijijiiijiji，这个等式说明了该模型中我们把每一个月看做一个时间单位，鱼的数量随时间的变化是离散的，当每个月月初各龄鱼的数量固定时，该月要捕捞的总的活鱼数量也就固定了。由于在后四个月内某些3,4龄鱼在产卵后才会死去，况且从卵孵化成幼鱼要经过一段时间，为了确保所有有效卵能在年底孵化成幼鱼，进入1龄鱼的阶段，我们使它们在9月底产卵完毕，则在9月底总共产卵数目为:9,49,321axaxn其中1.109a×105由卵孵化成幼鱼进入1龄鱼阶段的数量为：nbnbnqn，其中b1.22×1011则j月i龄鱼的捕捞重量为：)(,ijiiicxkm则在这八个月内各龄鱼总捕捞重量为：4181,)(ijijiiicxkm第二年年初各龄鱼的总数量记为0,ix，则0,1x=nbnbnqn112,10,iiicxx，3,2i312,3412,40,4cxcxx则得如下动态整型规划优化模型：目标函数：481,)(maxijijiiicxkmNxckkkxxtsjiiiii,430,0,,42.010.考虑到鱼的数量相当的大，为计算方便可将上述模型简化非整形规划得：目标函数：4381,)(maxijijiiicxkm430,0,42.010.kkkxxtsiii模型二、微分方程模型我们把鱼群数量的变化看成是随时间连续变化的，r为自然死亡率，则在[t，t+Δt]内，根据自然死亡率的定义，由于不捕捞1、2龄鱼，所以2,1,)()(1)()()(lim0idttdxtxtxtttxtxriiiiit变形则得2,1)()()(0,0ixtxtrxdttdxitiii解得2,1,)(0,iextxrtii对于3、4龄鱼由于捕捞在前8个月进行，因此，前8个月内，即1280t时捕捞与死亡均影响鱼的变化，因而微分方程变形为4,3,)()()()(0,0ixtxtxkrdttdxitiiii由上式解得4,3)()(0,iextxtkriii1280t当1128t时，4,3)128()()128(0,iexxtxtriii因而，3、4龄鱼在第二年初的数rrrexxexxxexx12440,412430,30,40,20,3)128()128(为了确保所有有效卵能在年底孵化成幼鱼，进入1龄鱼的阶段，我们假设它们在9月底产卵完毕，则在9月底总共产卵数目为:9,49,321axaxn其中1.109a×105由卵孵化成幼鱼进入1龄鱼阶段的数量为：nbnbnqn，其中b1.22×1011，n为卵的成活率则1、2龄鱼在第二年初的数量为nxexxr0,10,10,2（7）此外，我们还求得每年对3、4龄鱼的总捕捞重量为430,1280444333))128(())()((iiixxdttxkmtxkmZ由以上分析，同时考虑到鱼的数量相当的大，为计算方便可可得如下模型：目标函数：Zmax430,0,42.010.kkkxxtsiii六、模型的检验与误差分析七、模型的评价与改进方向