2019-2020学年高中物理 第六章 万有引力与航天 第4节 万有引力理论的成就课件 新人教版必修

第4节万有引力理论的成就核心素养点击物理观念了解行星绕恒星运动及其向心力的来源，了解万有引力定律在天文学上的重要应用。科学思维会应用万有引力定律计算天体的质量、密度、环绕速度及周期。科学态度与责任查阅资料，认识万有引力定律对人类探索未知世界的作用。一、计算天体的质量称量地球的质量计算太阳的质量方法重力加速度法环绕法忽略地球_____影响，重力等于万有引力万有引力提供_______理论依据mg＝GMmR2GMmr2＝mr4π2T2自转向心力称量地球的质量计算太阳的质量结果M＝______M＝______(1)R为地球半径(2)g为地球表面的重力加速度(1)r为行星绕太阳做匀速圆周运动的半径(2)T为行星绕太阳做匀速圆周运动的周期说明(3)这两种方法同样适用于计算其他天体的质量(4)求出天体的质量后，还可以进一步计算其密度gR2G4π2r3GT2二、发现未知天体应用万有引力定律可以计算天体的质量，还可以发现未知天体，海王星的发现和哈雷彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位。1．海王星的发现英国剑桥大学的学生______和法国年轻的天文学家______根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道。1846年9月23日，德国的_____在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。2．其他天体的发现近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了_______、阋神星等几个较大的天体。亚当斯勒维耶伽勒冥王星(1)地球表面的物体，重力就是物体所受的万有引力。()(2)绕行星匀速转动的卫星，万有引力提供向心力。()(3)利用地球绕太阳转动，可求地球的质量。()(4)海王星、冥王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性。()(5)科学家在观测双星系统时，同样可以用万有引力定律来分析。()×√×√√[澄清微点]2．合作探究——议一议(1)天体实际做什么运动？在处理问题时我们可以认为天体做什么运动？提示：天体实际做椭圆轨道运动，而在处理相关问题时我们可以认为天体做匀速圆周运动。(2)若已知月球绕地球转动的周期T和半径r，由此可以求出地球的质量吗？能否求出月球的质量呢？提示：能求出地球的质量。利用GMmr2＝m2πT2r求出的质量M＝4π2r3GT2为中心天体的质量。做圆周运动的月球的质量m在等式中已消掉，所以根据月球的周期T、公转半径r，无法计算月球的质量。1．天体质量的计算(1)重力加速度法若已知天体(如地球)的半径R及其表面的重力加速度g，根据在天体表面上物体的重力近似等于天体对物体的引力，得mg＝GMmR2，解得天体的质量为M＝gR2G，g、R是天体自身的参量，所以该方法俗称“自力更生法”。知识点一天体质量和密度的计算(2)环绕法借助环绕中心天体做圆周运动的行星(或卫星)计算中心天体的质量，俗称“借助外援法”。常见的情况如下：万有引力提供向心力中心天体的质量说明GMmr2＝mv2rM＝rv2GGMmr2＝mrω2M＝r3ω2GGMmr2＝mr4π2T2M＝4π2r3GT2r为行星(或卫星)的轨道半径，v、ω、T为行星(或卫星)的线速度、角速度和周期2．天体密度的计算若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝M43πR3，将M＝4π2r3GT2代入上式可得ρ＝3πr3GT2R3。特殊情况，当卫星环绕天体表面运动时，卫星的轨道半径r可认为等于天体半径R，则ρ＝3πGT2。[典例](2017·北京高考)利用引力常量G和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是()A．地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)B．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期C．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离D．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离[合作共研][解析]由于不考虑地球自转，则在地球表面附近，有GMm0R2＝m0g，故可得M＝gR2G，A项错误；由万有引力提供人造卫星的向心力，有GMm1R2＝m1v2R，v＝2πRT，联立得M＝v3T2πG，B项错误；由万有引力提供月球绕地球运动的向心力，有GMm2r2＝m22πT′2r，故可得M＝4π2r3GT′2，C项错误；同理，根据地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离，可求出太阳的质量，但不可求出地球的质量，D项正确。[答案]D求解天体质量和密度时的两种常见错误(1)根据轨道半径r和运行周期T，求得M＝4π2r3GT2是中心天体的质量，而不是行星(或卫星)的质量。(2)混淆或乱用天体半径与轨道半径，为了正确并清楚地运用，应一开始就养成良好的习惯，比如通常情况下天体半径用R表示，轨道半径用r表示，这样就可以避免如ρ＝3πr3GT2R3误约分；只有卫星在天体表面做匀速圆周运动时，如近地卫星，轨道半径r才可以认为等于天体半径R。1．近年来，人类发射的火星探测器已经在火星上着陆，正在进行着激动人心的科学探索(如发现了冰)，为我们将来登上火星、开发和利用火星奠定了坚实的基础。如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得它运动的周期为T，则火星的平均密度ρ的表达式为(k为某个常量)()A．ρ＝kTB．ρ＝kTC．ρ＝kT2D．ρ＝kT2[即时应用]解析：选D根据万有引力定律得GMmR2＝mR4π2T2，可得火星质量M＝4π2R3GT2，又火星的体积V＝43πR3，故火星的平均密度ρ＝MV＝3πGT2＝kT2，选项D正确。2．(2018·浙江4月选考)土星最大的卫星叫“泰坦”(如图)，每16天绕土星一周，其公转轨道半径约为1.2×106km。已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，则土星的质量约为()A．5×1017kgB．5×1026kgC．7×1033kgD．4×1036kg解析：选B根据万有引力提供向心力可知GMmr2＝mr4π2T2，得M＝4π2r3GT2。代入数据可得M＝5×1026kg(能估算出数量级即可)。1．基本思路一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供，所以研究天体时可建立牛顿第二定律方程GMmr2＝ma，式中a是向心加速度。知识点二天体运动的分析与计算2．常用关系(1)GMmr2＝mv2r＝mrω2＝mr4π2T2，万有引力提供行星或卫星做圆周运动的向心力。(2)mg＝GMmR2，在天体表面上物体的重力等于它受到的引力，可得gR2＝GM，该公式称为黄金代换。[典例]有的天文学家倾向于把太阳系外较小的天体叫做“矮行星”，而另外一些人把它们叫做“小行星”，谷神星就是小行星之一。现有两个这样的天体，它们的质量分别为m1和m2，绕太阳运行的轨道半径分别是r1和r2，求：(1)它们与太阳间的万有引力之比。(2)它们的公转周期之比。[解析](1)设太阳质量为M，由万有引力定律得，两天体与太阳间的万有引力之比F1F2＝GMm1r12GMm2r22＝m1r22m2r12。[合作共研](2)两天体绕太阳的运动可看成匀速圆周运动，向心力由万有引力提供，则有GMmr2＝m2πT2r，所以，天体绕太阳运动的周期T＝2πr3GM，则两天体绕太阳的公转周期之比T1T2＝r13r23。[答案](1)m1r22m2r12(2)r13r23天体运动的加速度、线速度、角速度和周期与轨道半径的关系GMmr2＝ma→a＝GMr2→a∝1r2mv2r→v＝GMr→v∝1rmrω2→ω＝GMr3→ω∝1r3mr4π2T2→T＝4π2r3GM→T∝r3越高越慢探规寻律[即时应用]1．(2019·全国卷Ⅲ)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火。已知它们的轨道半径R金R地R火，由此可以判定()A．a金a地a火B．a火a地a金C．v地v火v金D．v火v地v金解析：选A行星绕太阳做圆周运动时，由牛顿第二定律和圆周运动知识：由GMmR2＝ma得向心加速度a＝GMR2，由GMmR2＝mv2R得速度v＝GMR由于R金R地R火所以a金a地a火，v金v地v火，选项A正确。2．假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动，已知地球到太阳的距离小于火星到太阳的距离，那么()A．地球公转的周期大于火星公转的周期B．地球公转的线速度小于火星公转的线速度C．地球公转的加速度小于火星公转的加速度D．地球公转的角速度大于火星公转的角速度解析：选D根据GMmr2＝m2πT2r＝mv2r＝man＝mω2r得，公转周期T＝2πr3GM，故地球公转的周期较小，选项A错误；公转线速度v＝GMr，故地球公转的线速度较大，选项B错误；公转加速度an＝GMr2，故地球公转的加速度较大，选项C错误；公转角速度ω＝GMr3，故地球公转的角速度较大，选项D正确。3．某行星有甲、乙两颗卫星，它们的轨道均为圆形，甲的轨道半径为R1，乙的轨道半径为R2，R2R1。根据以上信息可知()A．甲的质量大于乙的质量B．甲的周期大于乙的周期C．甲的速率大于乙的速率D．甲所受行星的引力大于乙所受行星的引力解析：选C由万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，有F＝GMmR2＝mv2R＝4π2mRT2，可知无法比较卫星质量的大小及卫星所受引力的大小，A、D错误；轨道半径越大，速率越小、周期越大，B错误，C正确。[典例]宇宙中两颗相距较近的天体称为双星，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不至于因相互之间的引力作用吸引到一起。设两者相距为L，质量分别为m1和m2。(1)试证明它们的轨道半径之比、线速度之比都等于质量的反比。(2)试写出它们角速度的表达式。知识点三宇宙双星问题[合作共研][解析]双星之间相互作用的引力满足万有引力定律，即F＝Gm1m2L2，双星依靠它们之间相互作用的引力提供向心力，又因为它们以二者连线上的某点为圆心，所以半径之和为L且保持不变，运动中角速度不变，如图所示。(1)分别对m1、m2应用牛顿第二定律列方程，对m1有Gm1m2L2＝m1ω2r1①对m2有Gm1m2L2＝m2ω2r2②由①②得r1r2＝m2m1；由线速度与角速度的关系v＝ωr，得v1v2＝r1r2＝m2m1。(2)由①得r1＝Gm2L2ω2，由②得r2＝Gm1L2ω2，又L＝r1＋r2，联立以上三式得ω＝Gm1＋m2L3。[答案](1)见解析(2)ω＝Gm1＋m2L3如图所示，宇宙中两个靠得比较近的天体称为双星，它们绕其连线上的某固定点做匀速圆周运动。双星具有以下特点：(1)由于双星和该固定点总保持三点共线，所以双星做匀速圆周运动的角速度和周期分别相同。(2)由于每颗星的向心力都是由双星间相互作用的万有引力提供的，因此大小必然相等。由F＝mrω2和L＝r1＋r2，可得r1＝m2m1＋m2L，r2＝m1m1＋m2L，则r1r2＝m2m1。探规寻律两颗星之间的距离为L，质量之比为m1∶m2＝3∶2，下列说法中正确的是()A．m1、m2做圆周运动的线速度之比为3∶2B．m1、m2做圆周运动的角速度之比为3∶2C．m1做圆周运动的半径为25LD．m2做圆周运动的半径为25L1．远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体。如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动。现测得[即时应用]解析：选C设双星m1、m2距转动中心O的距离分别为r1、r2，双星绕O点转动的角速度为ω，据万有引力定律和牛顿第二定律得Gm1m2L2＝m1r1ω2＝m2r2ω2。又r1＋r2＝L，m1∶m2＝3∶2，所以可解得r1＝25L，r2＝35L。m1、m2运动的线速度分别为v1＝r1ω，v2＝r2ω，故v1∶v2＝r1∶r2＝2∶3。综上所述，选项C正确。2．我们银河系的恒星中大约有四分之一是双星，某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间万有引力的作用下绕两者连线上某一定点O做匀速圆周运动(如图所示)。由天文观察测得其运动周期为