2019-2020学年高中数学 习题课（三） 三角恒等变形课件 北师大版必修4

习题课三提升关键能力三角恒等变形高频考点一三角函数化简与求值(1)同角三角函数基本关系式①平方关系：sin2α＋cos2α＝1；②商数关系：tanα＝sinαcosα.(2)两角和与差的三角函数式sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ；tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ.其公式变形为：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)；tanαtanβ＝1－tanα＋tanβtanα＋β.(3)二倍角公式sin2α＝2sinαcosα；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan2α＝2tan2α1－tan2α.其公式变形为：sin2α＝1－cos2α2；cos2α＝1＋cos2α2.[典例](1)已知tanα＝12，则sinαcosα的值为________．(2)sin47°－sin17°cos30°cos17°＝()A．－32B．－12C.12D.32(3)若0απ2，－π2β0，cosπ4＋α＝13，cosπ4－β2＝33，则cosα＋β2＝()A.33B．－33C.539D．－69[解析](1)sinαcosα＝sinαcosαsin2α＋cos2α＝tanαtan2α＋1＝1214＋1＝25.(2)原式＝sin30°＋17°－sin17°cos30°cos17°＝cos17°sin30°cos17°＝sin30°＝12，故选C.(3)∵0απ2，∴π4π4＋α3π4，所以由cosπ4＋α＝13，得sinπ4＋α＝223，又－π2β0，且cosπ4－β2＝33，则π4π4－β2π2，∴sinπ4－β2＝63，故cosα＋β2＝cosπ4＋α－π4－β2＝cosπ4＋αcosπ4－β2＋sinπ4＋αsinπ4－β2＝539.[答案](1)25(2)C(3)C[方法技巧]化简求值的思路(1)观察角，分析角之间的差异，巧用诱导公式或拆分．(2)观察名，尽可能使函数统一名称．(3)观察结构，利用公式，整体化简．1．化简：2tan45°－α1－tan245°－α·sinαcosαcos2α－sin2α＝________.解析：原式＝tan(90°－2α)·12sin2αcos2α＝sin90°－2αcos90°－2α·12·sin2αcos2α＝cos2αsin2α·12·sin2αcos2α＝12.答案：12[集训冲关]2．已知cosθ＋π4＝－1010，θ∈0，π2，则sin2θ－π3＝________.解析：由题得θ＋π4∈π4，3π4，∴sinθ＋π4＝31010，∴sin2θ＝－cos2θ＋π2＝1－2cos2θ＋π4＝45，cos2θ＝sin2θ＋π2＝2sinθ＋π4cosθ＋π4＝－35，因此sin2θ－π3＝sin2θcosπ3－cos2θsinπ3＝4＋3310.答案：4＋33103．已知tanπ12＋α＝2，tanβ－π3＝22，求：(1)tanα＋β－π4；(2)tan(α＋β)．解：(1)tanα＋β－π4＝tanα＋π12＋β－π3＝tanα＋π12＋tanβ－π31－tanα＋π12×tanβ－π3＝2＋221－2×22＝－2.(2)tan(α＋β)＝tanα＋β－π4＋π4＝tanα＋β－π4＋tanπ41－tanα＋β－π4×tanπ4＝－2＋11－－2×1＝22－3.高频考点二三角恒等变形与三角函数的综合应用[典例](2019·浙江高考)设函数f(x)＝sinx，x∈R.(1)已知θ∈[0,2π)，函数f(x＋θ)是偶函数，求θ的值；(2)求函数y＝fx＋π122＋fx＋π42的值域．[解](1)因为f(x＋θ)＝sin(x＋θ)是偶函数，所以对任意实数x都有sin(x＋θ)＝sin(－x＋θ)，即sinxcosθ＋cosxsinθ＝－sinxcosθ＋cosxsinθ，故2sinxcosθ＝0，所以cosθ＝0.又θ∈[0,2π)，因此θ＝π2或θ＝3π2.(2)y＝fx＋π122＋fx＋π42＝sin2x＋π12＋sin2x＋π4＝1－cos2x＋π62＋1－cos2x＋π22＝1－1232cos2x－32sin2x＝1－32cos2x＋π3.因此，所求函数的值域是1－32，1＋32.[方法技巧]以三角恒等变形为主要的化简手段，考查三角函数的性质．当给出的三角函数表达式较为复杂时，我们要先通过三角恒等变形，将三角函数的表达式变形化简，将函数表达式变为y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k等形式，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图像和性质．1．函数y＝2cos2x2＋π3－1(x∈R)的图像的一条对称轴经过点()A.－π6，0B.π6，0C.－π3，0D.π3，0解析：选D由二倍角公式得y＝cosx＋2π3，经检验在A、B、C、D四个选项中，只有选项D中横坐标使已知函数取得最值，故选D.[集训冲关]2．设函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω0)的最小正周期为π，将y＝f(x)的图像向左平移π8个单位得函数y＝g(x)的图像，则()A．g(x)在0，π2上单调递减B．g(x)在π4，3π4上单调递减C．g(x)在0，π2上单调递增D．g(x)在π4，3π4上单调递增解析：选A∵f(x)＝sinωx＋cosωx＝2ωx＋π4，T＝2πω＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝2sin2x＋π4，∴将y＝f(x)的图像向左平移π8个单位得函数y＝g(x)的图像，则y＝g(x)＝2sin2x＋π8＋π4＝2sin2x＋π2＝2cos2x，令2kπ≤2x≤2kπ＋π，k∈Z，解得kπ≤x≤kπ＋π2，k∈Z，当k＝0时，x∈0，π2，即g(x)在0，π2上单调递减．3．设函数f(x)＝(sinωx＋cosωx)2＋2cos2ωx(ω0)的最小正周期为2π3.(1)求ω的值；(2)若函数y＝g(x)的图像是由y＝f(x)的图像向右平移π2个单位长度得到．求y＝g(x)的单调增区间．解：(1)f(x)＝sin2ωx＋cos2ωx＋2sinωxcosωx＋1＋cos2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＋2＝2sin2ωx＋π4＋2，依题意得2π2ω＝2π3，故ω＝32.(2)依题意得g(x)＝2sin3x－π2＋π4＋2＝2sin3x－5π4＋2.由2kπ－π2≤3x－5π4≤2kπ＋π2(k∈Z)解得，23kπ＋π4≤x≤23kπ＋7π12(k∈Z)．故g(x)的单调增区间为23kπ＋π4，23kπ＋7π12(k∈Z).[典例]在平面直角坐标系xOy中，设向量a＝(2sinθ，1)，b＝1，sinθ＋π3，θ∈R.(1)若a·b＝0，求tanθ的值；(2)若a∥b，且θ∈0，π2，求θ的值．高频考点三三角函数与平面向量的综合问题[解](1)由a·b＝0，得2sinθ＋sinθ＋π3＝0，即2sinθ＋sinθcosπ3＋cosθsinπ3＝0，整理得52sinθ＋32cosθ＝0，所以tanθ＝－35.(2)由a∥b，得2sinθsinθ＋π3＝1，即2sin2θcosπ3＋2sinθcosθsinπ3＝1，所以12(1－cos2θ)＋32sin2θ＝1，整理得32sin2θ－12cos2θ＝12，所以sin2θ－π6＝12.又θ∈0，π2，所以2θ－π6∈－π6，5π6，所以2θ－π6＝π6，即θ＝π6.[方法技巧]平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．1．设向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)．若a与b－2c垂直，则tan(α＋β)为()A．2B.12C．－2D．－12解析：选A由a与b－2c垂直，得a·(b－2c)＝a·b－2a·c＝0，∴4cosαsinβ＋4sinαcosβ－2(4cosαcosβ－4sinαsinβ)＝0，即4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，故tan(α＋β)＝2.[集训冲关]2．已知向量a＝(sinα，cos2α)，b＝(1－2sinα，－1)，α∈π2，3π2，若a·b＝－85，则tanα的值为________．解析：a·b＝sinα(1－2sinα)－cos2α＝sinα－2sin2α－1＋2sin2α＝－85，即sinα＝－35.又α∈π2，3π2，∴cosα＝－45，∴tanα＝34.答案：343．已知向量a＝(cosx＋sinx,2sinx)，b＝(cosx－sinx，cosx)，令f(x)＝a·b.(1)求f(x)的最小正周期；(2)当x∈π4，3π4时，求f(x)的最小值以及取得最小值时x的值．解：f(x)＝(cosx＋sinx)(cosx－sinx)＋2sinx·cosx＝cos2x－sin2x＋2sinxcosx＝cos2x＋sin2x＝2sin2x＋π4.(1)由最小正周期公式得T＝2π2＝π.(2)由x∈π4，3π4，得2x＋π4∈3π4，7π4.令2x＋π4＝3π2，得x＝5π8，即当x＝5π8时，函数f(x)取得最小值－2.