2019-2020学年高中数学 第一章 坐标系 1-2-2 点的直角坐标与极坐标的互化课件 北师大版

第1页2．2点的直角坐标与极坐标的互化第2页知识探究第3页点的极坐标与直角坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，由图可以得出它们之间是关系：点M直角坐标(x，y)极坐标(ρ，θ)互化公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθρ2＝x2＋y2，tanθ＝yx(x≠0)第4页把直角坐标化为极坐标的注意事项设点M的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ).(1)由于ρ≥0，解得ρ＝x2＋y2.(2)tanθ＝yx(x≠0)，当x＝0时，点M(x，y)在y轴上，当y0时，点M的极角可取π2；当y＝0时，点M的极角可取0；当y0时，点M的极角可取32π.当x≠0时，由tanθ的值确定θ，要注意点M所在的象限.第5页课时学案第6页题型一把点的极坐标化为直角坐标例1分别把下列点的极坐标化为直角坐标．(1)(2，23π)；(2)(4，－π2)；(3)(6，2)．【思路】极坐标(ρ，θ)―→x＝ρcosθy＝ρsinθ―→直角坐标(x，y)．第7页【解析】(1)x＝2cos23π＝－1，y＝2sin23π＝3，∴直角坐标为(－1，3)．(2)x＝4cos(－π2)＝0，y＝4sin(－π2)＝－4，∴直角坐标为(0，－4)．(3)x＝6cos2，y＝6sin2，∴直角坐标为(6cos2，6sin2)．第8页探究1(1)点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件：①极点与直角坐标系的原点重合；②极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合；③两种坐标系的长度单位相同．(2)将点的极坐标(ρ，θ)化为点的直角坐标(x，y)时，运用到求角θ的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键．第9页思考题1将下列点的极坐标化为直角坐标．(1)(1，0)；(2)(2，32π)．【解析】(1)x＝ρ·cosθ＝1×cos0＝1，y＝ρ·sinθ＝0，∴(1，0)化为直角坐标为(1，0)．(2)x＝2·cos32π＝0，y＝2·sin32π＝－2，∴(2，32π)化为直角坐标为(0，－2)．第10页题型二将点的直角坐标化为极坐标例2将下列点的直角坐标化为极坐标(ρ≥0，0≤θ2π)．(1)(0，0)；(2)(1，－1)；(3)(32π，32π)．【思路】直角坐标(x，y)―→ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yx(x≠0)―→极坐标(ρ，θ)．第11页【解析】(1)ρ＝0，∴极坐标为(0，0)．(2)ρ＝x2＋y2＝2，tanθ＝yx＝－1，θ∈[0，2π)，由于(1，－1)在第四象限，∴θ＝74π，∴极坐标为(2，74π)．(3)ρ＝x2＋y2＝322π，tanθ＝1，θ∈[0，2π)，由于点(32π，32π)在第一象限，∴θ＝π4，∴极坐标为(322π，π4)．第12页探究2将点的直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)，当ρ≥0，θ∈[0，2π)时，除极点外点的极坐标是唯一的，此时由tanθ＝yx(x≠0)求角θ时有两解，所以要根据点所在的象限求出角θ，通常称为主值角；当ρ≥0，θ∈R时，点的极坐标是不唯一的，一般根据终边相同的角的意义将点的极坐标表示为(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)．第13页思考题2将M的直角坐标(1，－1)化为极坐标(ρ≥0，－πθ≤π)．【解析】ρ2＝x2＋y2＝2，tanθ＝－11＝－1，∵θ∈(－π，π]，(1，－1)在第四象限，∴θ＝－π4，∴极坐标为(2，－π4)．第14页题型三极坐标与直角坐标的综合应用例3已知△ABC三个顶点极坐标分别为A(2，π2)，B(2，56π)，C(3，53π)，极点O(0，0)．(1)判断△OAB的形状；(2)求△ABC的面积．【思路】(1)先将极坐标化为直角坐标，(2)根据边角关系判断三角形形状．第15页【解析】各点化为直角坐标分别为A(0，2)，B(－3，1)，C(32，－32)，O(0，0)．(1)∵|AB|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2＝2，|OA|＝|OB|＝2，∴△OAB为等边三角形．(2)∵|AC|＝13，|BC|＝13，|AB|＝2，∴△ABC为等腰三角形．∴AB中点D(－32，32)，∴|CD|＝23.∴S△ABC＝12|AB|·|CD|＝12×2×23＝23.第16页探究3本例考查了直角坐标与极坐标的互化、三角形的面积公式．第17页思考题3在极坐标系中，如果A(2，π4)，B(2，5π4)为等边三角形ABC的两个顶点，求顶点C的极坐标(ρ≥0，0≤θ2π)．【解析】如图|OC|＝23，∠AOC＝π2，∴C(23，34π)或(23，74π)．第18页课后巩固第19页1．点P的直角坐标为(－2，0)，则P点的极坐标为()A．(2，0)B．(2，π)C．(2，2π)D．(2，π2)答案B解析ρ＝x2＋y2＝2，tanθ＝yx＝0.点P在x轴负半轴上，所以θ＝π，故选B.第20页2．点A的极坐标为(2，76π)，则A的直角坐标为()A．(－1，－3)B．(－3，1)C．(－3，－1)D．(3，－1)答案C第21页3．极坐标为(3，4)的点到极轴的距离为()A．4B．5C．3sin4D．－3sin4答案D第22页4．极坐标为(3，3)的点在直角坐标系的()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案B第23页5．在直角坐标系中，M的坐标为(3，4)，原点为O，将OM绕点O逆时针方向旋转π3得到ON，求点N的直角坐标．解析设点M的极坐标为(ρ，θ)，则ρ＝32＋42＝5，cosθ＝35，sinθ＝45，将OM绕点O逆时针旋转π3得到ON，得N(ρ，θ＋π3)，第24页由于cos(θ＋π3)＝cosθ·cosπ3－sinθ·sinπ3＝3－4310，sin(θ＋π3)＝sinθ·cosπ3＋cosθ·sinπ3＝4＋3310，∴x＝ρcos(θ＋π3)＝5×3－4310＝3－432，y＝ρsin(θ＋π3)＝5×4＋3310＝4＋332.∴点N的直角坐标为(3－432，4＋332)．第25页