2019-2020学年高中数学 第一章 坐标系 1-1-1 平面直角坐标系与曲线方程课件 北师大版选

第1页第一章坐标系第2页§1平面直角坐标系1．1平面直角坐标系与曲线方程第3页知识探究第4页1.直角坐标系(1)数轴：①定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线．②对应关系：数轴上的点与实数之间一一对应．(2)直角坐标系．①定义：在同一平面上相互垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系．第5页②相关概念：数轴的正方向：水平放置的数轴向右的方向、竖直放置的数轴向上的方向分别是数轴的正方向．x轴或横轴：坐标轴水平的数轴．y轴或纵轴：坐标轴竖直的数轴．坐标原点：坐标轴的公共原点O．③对应关系：平面直角坐标系内的点与有序实数对(x，y)之间一一对应．第6页④公式：设平面直角坐标系中，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点为P，填表：两点间的距离公式中点P的坐标公式|P1P2|＝（x1－x2）2＋（y1－y2）2(x1＋x22，y1＋y22)第7页2.曲线的方程与方程的曲线在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解；(2)以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上，那么，方程f(x，y)＝0叫作曲线C的方程，曲线C叫作方程f(x，y)＝0的曲线．第8页1.建立平面直角坐标系的一般原则建立平面直角坐标系时，根据几何特点选择适当的平面直角坐标系：(1)如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；(2)如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；(3)使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上.第9页2.坐标法解题的基本思想根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建立它的方程，通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系，这就是研究几何问题的坐标法.第10页课时学案第11页题型一平面上点的坐标的确定例1如图，等边三角形ABC的边长为2，顶点A在坐标原点，B点在x轴正半轴上，则A、B、C三点的坐标为分别为________．第12页【思路】求点的坐标，首先要确定点所在的象限，得到点的横坐标与纵坐标的符号；其次确定点到y轴、x轴的距离，得到点的横坐标与纵坐标的绝对值．第13页【解析】由已知，点A在坐标原点，点B在x轴正半轴上，点C在第一象限，则A点坐标为(0，0)．∵等边三角形ABC边长为2，即|OB|＝2，∴B点坐标为(2，0)，过C作CM⊥OB，垂足为M，∴|OM|＝12|OB|＝1，|CM|＝32|OB|＝3.∵点C在第一象限，∴C点坐标为(1，3)．【答案】A(0，0)，B(2，0)，C(1，3)第14页探究1在坐标平面内，点与有序实数对是一一对应的关系，坐标系中点的坐标特征是确定点的坐标的关键．第15页思考题1直线2x－3y＋5＝0与曲线y＝1x的交点坐标为________．【解析】将两方程联立起来解方程组即可．【答案】(12，2)，(－3，－13)第16页题型二曲线与方程例2A为定点，线段BC在定直线l上滑动．已知BC＝4，A到l的距离为3，求△ABC的外心的轨迹方程．【思路】本题可以利用外心是三角形各边的垂直平分线的交点，直接得到等量关系求解．第17页【解析】方法一：(直接法)建立平面直角坐标系，使x轴与l重合，点A在y轴上(如图所示)，则A(0，3)．设外心P(x，y)，因为P在BC的垂直平分线上，BC＝4，所以B(x＋2，0)．因为P也在AB的垂直平分线上，所以|PA|＝|PB|，即x2＋（y－3）2＝22＋y2.化简，得x2－6y＋5＝0.这就是所求的轨迹方程．第18页方法二：(参数法)建立坐标系如法一，得A(0，3)．设BC边的垂直平分线的方程为x＝t，①则点B的坐标为(t＋2，0)，于是AB的中点是(t＋22，32)，从而AB的垂直平分线方程为y－32＝t＋23(x－t＋22)．②由①②式消去t，得x2－6y＋5＝0，即为所求．【答案】x2－6y＋5＝0第19页探究2求轨迹方程的实质就是根据题设条件，把几何关系转化为代数关系，得到相应的方程，求轨迹方程的常用方法：(1)直接法：如果题目中的条件有明显的等量关系或者可以推出某个等量关系，即可用求曲线方程的步骤直接求解．(2)定义法：如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依定义写出轨迹方程．第20页(3)代入法：如果动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x1，y1)，而Q(x1，y1)又在某已知曲线上，则可先列出关于x，y，y1，x1的方程组，利用x、y表示x1、y1，把x1、y1代入已知曲线方程即为所求．(4)参数法：动点P(x，y)的横纵坐标用一个或几个参数来表示，消去参数即得其轨迹方程．第21页思考题2方程y＝|x|x2表示的曲线为图中的________．【解析】y＝|x|x2，x≠0，为偶函数，图像关于y轴对称，故排除①，②.【答案】③第22页题型三用坐标法解决平面几何问题例3已知▱ABCD，求证：|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)．【思路】解答本题可以运用坐标方法，先在▱ABCD所在的平面内建立平面直角坐标系，设出点A、B、C、D的坐标，再由距离公式完成证明．也可用向量法证明．第23页【解析】方法一：坐标法以A为坐标原点O，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，则A(0，0)．设B(a，0)，C(b，c)，则AC的中点E(b2，c2)，由对称性知D(b－a，c)．∴|AB|2＝a2，|AD|2＝(b－a)2＋c2，|AC|2＝b2＋c2，|BD|2＝(b－2a)2＋c2.∴|AC|2＋|BD|2＝4a2＋2b2＋2c2－4ab＝2(2a2＋b2＋c2－2ab)，|AB|2＋|AD|2＝2a2＋b2＋c2－2ab.∴|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)．第24页方法二：向量法在▱ABCD中，AC→＝AB→＋AD→，两边平方，得AC→2＝|AC→|2＝AB→2＋AD→2＋2AB→·AD→.同理得BD→2＝|BD→|2＝BA→2＋BC→2＋2BA→·BC→.以上两式相加，得|AC→|2＋|BD→|2＝2(|AB→|2＋|AD→|2)＋2BC→·(AB→＋BA→)＝2(|AB→|2＋|AD→|2)，即|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)．第25页探究3本例是平行四边形的一个重要定理：平行四边形的两条对角线的平方和等于其四边的平方和．方法一是运用代数方法即解析法实现几何结论的证明．这种“以算代证”的解题策略就是坐标方法的表现形式之一．方法二运用了向量的数量积运算，更显言简意赅，给人以简捷明快之感．第26页思考题3已知△ABC中，点D为BC边的中点，求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|BD|2)．第27页【解析】以A为坐标原点O，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，则A(0，0)，设B(a，0)，C(b，c)，则D(a＋b2，c2)．∴|AD|2＋|BD|2＝（a＋b）24＋c24＋（a－b）24＋c24＝12(a2＋b2＋c2)．∴|AB|2＋|AC|2＝a2＋b2＋c2＝2(|AD|2＋|BD|2)．第28页课后巩固第29页1．平面直角坐标系中点P(x，y)关于x轴、y轴、原点、直线y＝x、直线y＝－x的对称点的坐标分别是________、________、________、________、________．第30页答案(x，－y)(－x，y)(－x，－y)(y，x)(－y，－x)解析点P(x，y)关于x轴、y轴、原点、直线y＝x、直线y＝－x的对称点的坐标分别是(x，－y)、(－x，y)、(－x，－y)、(y，x)、(－y，－x)．第31页2．已知点A(－5，－2)，B(0，3)，点P的横坐标为－3，且满足PA⊥PB，则点P的纵坐标为________．第32页答案4或－3解析设点P的纵坐标为y，则PA→＝(－2，－2－y)，PB→＝(3，3－y)，由PA⊥PB，得PA→·PB→＝0，即(－2)×3＋(y＋2)·(y－3)＝0，化简，得y2－y－12＝0，解得y＝4或y＝－3.第33页3．已知△ABC的三个顶点的坐标是A(4，1)，B(2，－1)，C(－2，5)，则△ABC的形状是________．第34页答案等腰三角形解析由平面上两点的距离公式，有|AB|＝（2－4）2＋（－1－1）2＝22，|AC|＝（－2－4）2＋（5－1）2＝213，|BC|＝（－2－2）2＋（5＋1）2＝213，∴|AC|＝|BC|，且|AC|2＋|BC|2|AB|2，故是等腰三角形．第35页4．在直角△ABC中，斜边长是定值，则直角顶点C的轨迹是________．第36页答案圆(除去A、B两点)解析由于未给定坐标系，为此，首先要建立直角坐标系，取AB所在的直线为x轴，AB的中点O为坐标原点，过O与AB垂直的直线为y轴(如图)，设AB＝2c，则有A(－c，0)，B(c，0)，设动点C的坐标为(x，y)，∵△ABC是直角三角形，第37页∴|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，即(x＋c)2＋y2＋(x－c)2＋y2＝(2c)2，化简，得x2＋y2＝c2.由于C点到达A、B位置时直角△ABC不存在，轨迹中应除去A、B两点，故所求直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2＝c2(y≠0)．第38页5．已知矩形ABCD，对于矩形所在的平面内任意一点M，求证：|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2.第39页证明以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，则A(0，0)．设B(a，0)，C(a，b)，D(0，b)，M(x，y)，则|AM|2＋|CM|2＝x2＋y2＋(x－a)2＋(y－b)2＝2(x2＋y2)＋(a2＋b2)－2(ax＋by)，|BM|2＋|DM|2＝(x－a)2＋y2＋x2＋(y－b)2＝2(x2＋y2)＋(a2＋b2)－2(ax＋by)，所以|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2.第40页