2019-2020学年高中数学 第一章 推理与证明 4 数学归纳法课件 北师大版选修2-2

[自主梳理]一、数学归纳法数学归纳法是用来证明某些与________有关的数学命题的一种方法．二、数学归纳法的证明步骤1．基本步骤(1)验证：________时，命题成立；(2)在假设当__________时命题成立的前提下，推出当________时，命题成立．根据(1)(2)可以断定命题对一切正整数n都成立．正整数nn＝1n＝k(k≥1)n＝k＋12．数学归纳法能保证命题对________都成立．因为根据(1)，验证了当________时命题成立；根据(2)可知，当________时命题成立．由于________时命题成立，再根据(2)可知，__________时命题也成立，这样递推下去，就可以知道当________时命题成立，即命题对任意正整数n都成立．所有的正整数n＝1n＝1＋1＝2n＝2当n＝2＋1＝3n＝4,5，…[双基自测]1．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，在验证n＝1成立时，左边所得代数式是()A．1B．1＋3C．1＋2＋3D．1＋2＋3＋4解析：n＝1时，左边＝1＋2＋3.答案：C2．若f(n)＝1＋12＋13＋…＋12n＋1，则当n＝1时，f(n)等于()A．1B.13C．1＋12＋13D．以上都不对解析：f(1)＝1＋12＋13.答案：C答案：C3．用数学归纳法证明“2n＞n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的初始值n0应取()A．2B．3C．5D．64．用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N＋)，从“k到k＋1”左端需增乘的代数式为()A．2k＋1B．2(2k＋1)C.2k＋1k＋1D.2k＋3k＋1解析：当n＝k时，左边＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)，而当n＝k＋1时，左边＝[(k＋1)＋1][(k＋1)＋2]…[(k＋1)＋(k－1)][(k＋1)＋k]·[(k＋1)＋(k＋1)]＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)＝2(k＋1)(k＋2)…(k＋k)(2k＋1)．答案：B解析：当n＝2时，1＋12＋13＜2.当n＝k时到第2k－1项，而当n＝k＋1时到第2k＋1－1项，所以2k＋1－1－(2k－1)＝2k＋1－2k＝2·2k－2k＝2k.5．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n－1＜n(n∈N＋且n＞1)第一步要证明的不等式是________，从n＝k到n＝k＋1时，左端增加了________项．答案：1＋12＋13＜22k探究一用数学归纳法证明等式[例1]用数学归纳法证明12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)．[证明](1)当n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，∴左边＝右边，等式成立．(2)假设当n＝k(k≥1)时等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)成立，则当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋[2(k＋1)－1]2－[2(k＋1)]2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝(2k＋1)(k＋1)－4(k＋1)2＝(k＋1)[2k＋1－4(k＋1)]＝(k＋1)(－2k－3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，∴当n＝k＋1时，等式成立．由(1)(2)可知对于任意正整数n，等式都成立．用数学归纳法证明与正整数有关的等式命题时，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由n＝k到n＝k＋1时，等式两边会增加多少项等．1．用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n.证明：(1)当n＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，等式成立．(2)假设当n＝k(k≥1)时等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k，上式表明当n＝k＋1时等式也成立．根据(1)(2)可知，对任意的n∈N＋，等式都成立．那么当n＝k＋1时，1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＋12k＋1－12k＋2＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k＋12k＋1－12k＋2＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋1＋12k＋2，探究二用数学归纳法证明不等式[例2]求证：当n∈N＋，n≥2时，1n＋1＋1n＋2＋…＋12n1324.[证明](1)当n＝2时，12＋1＋12＋2＝712＝14241324，不等式成立．(2)假设n＝k(k≥2，k∈N＋)时不等式成立，即1k＋1＋1k＋2＋…＋12k1324，那么当n＝k＋1时，1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2－1k＋1＝(1k＋1＋1k＋2＋…＋12k)＋12k＋1－12k＋21324＋12k＋12k＋21324，∴当n＝k＋1时，不等式成立．根据(1)(2)可知，n∈N＋，n≥2时不等式成立．1．本题证明第一步n不是取1，而是取2.2．在运用数学归纳法证明不等式时，经常需要在证明过程中(从k到k＋1的过程中)与证明不等式的其他方法(如基本不等式法，放缩法，分析法等)相结合．2．求证：1n＋1＋1n＋2＋…＋13n56(n≥2，n∈N＋)．证明：(1)当n＝2时，左边＝13＋14＋15＋16＝576056，不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时，不等式成立，即1k＋1＋1k＋2＋…＋13k56.则当n＝k＋1时，1k＋1＋1＋1k＋1＋2＋…＋13k＋13k＋1＋13k＋2＋13k＋3＝1k＋1＋1k＋2＋…＋13k＋(13k＋1＋13k＋2＋13k＋3－1k＋1)56＋(13k＋1＋13k＋2＋13k＋3－1k＋1)56＋(3×13k＋3－1k＋1)＝56.所以当n＝k＋1时，不等式也成立．由(1)(2)可知，不等式对一切n≥2，n∈N＋都成立．探究三归纳—猜想—证明[例3]已知数列11×4，14×7，17×10，…，13n－23n＋1，….设Sn为数列前n项和，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法证明．[解析]S1＝11×4＝14，S2＝14＋14×7＝27，S3＝27＋17×10＝310，S4＝310＋110×13＝413，可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数一致，分母可用项数n表示为3n＋1，可以猜想Sn＝n3n＋1.下面用数学归纳法证明：(1)显然当n＝1时，S1＝11×4＝14成立．(2)假设当n＝k时，等式成立，即Sk＝k3k＋1.则当n＝k＋1时，Sk＋1＝Sk＋1[3k＋1－2][3k＋1＋1]＝k3k＋1＋13k＋13k＋4＝k3k＋4＋13k＋13k＋4＝3k＋1k＋13k＋13k＋4＝k＋13k＋1＋1，即当n＝k＋1时等式也成立．根据(1)和(2)可知，等式对任何n∈N＋都成立．“观察—归纳—猜想—证明”模式的题目的解法：(1)观察：由已知条件写出前几项；(2)归纳：根据前几项的规律，找到项与项数的关系；(3)猜想：猜想一般项的表达式；(4)证明：用数学归纳法证明猜想的结论．3．数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N＋)．(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项an的表达式；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．解析：(1)a1＝1，a2＝32，a3＝74，a4＝158，由此猜想an＝2n－12n－1(n∈N＋)．(2)①当n＝1时，a1＝1，结论成立．②假设当n＝k(k∈N＋)时，结论成立，即ak＝2k－12k－1，那么当n＝k＋1(k∈N＋)时，ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1，则ak＋1＝2＋ak2＝2＋2k－12k－12＝2k＋1－12k＝2k＋1－12k＋1－1，即当n＝k＋1时，结论也成立．根据①和②，可知猜想对任何n∈N＋都成立，即an＝2n－12n－1(n∈N＋)．用数学归纳法证明几何问题[例4]求证平面上凸n边形(n∈N＋，n≥4)的对角线的条数为f(n)＝12n(n－3)．[证明]①当n＝4时，f(4)＝12×4×(4－3)＝2，平面上四边形有2条对角线，命题成立．②假设n＝k(k≥4，k∈N＋)时命题成立，即平面上凸k边形A1A2…Ak共有f(k)＝12k(k－3)条对角线，则当n＝k＋1时，即平面上凸k＋1边形在k边形的基础上增加了1个顶点Ak＋1，如图所示，这时新增加的对角线是Ak＋1A2，Ak＋1A3，…，Ak＋1Ak－1以及A1Ak，共增加了(k＋1－3)＋1＝(k－1)条．因为12k(k－3)＋(k－1)＝12(k2－k－2)＝12(k＋1)(k－2)＝12(k＋1)[(k＋1)－3]＝f(k＋1)，所以n＝k＋1时，命题也成立．由①②可知，对于任意n≥4，n∈N＋，命题成立．[感悟提高]利用数学归纳法证明几何问题时，关键是找出由“n＝k”到“n＝k＋1”的增量．对于本题，当n＝k＋1时，对角线条数的增量k－1可用画图的方法去找，也可设f(n)＝12n(n－3)，由f(k＋1)－f(k)＝k－1分析出，再结合图形说明为什么从“n＝k”到“n＝k＋1”时，对角线条数的增量为k－1.