2019-2020学年高中数学 第一章 算法初步 1.3 算法与案例 第2课时 秦九韶算法与进位制课

第一章算法初步第2课时秦九韶算法与进位制第一章算法初步考点学习目标核心素养秦九韶算法理解秦九韶算法的计算过程数学运算、逻辑推理进位制理解进位制的概念，能进行不同进位制间的转化数学抽象、数学运算问题导学(1)什么是秦九韶算法？(2)学习了十进制，知道十进制是使用0～9十个数字，那么二进制、五进制、七进制分别使用哪些数字？1．秦九韶算法(1)秦九韶算法原理功能一元n次多项式改写后的形式用于计算一元n次多项式的值f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0＝________________________________＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0＝…＝__________________________________(anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1)x＋a0(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0功能计算方法用于计算一元n次多项式的值从括号最内层开始，由内向外逐层计算v1＝anx＋an－1，v2＝v1x＋an－2，v3＝_____________，…vn＝vn－1x＋a0，这样，求n次多项式f(x)的值就转化为求___________________的值v2x＋an－3n个一次多项式(2)算法步骤第一步，输入多项式次数n、最高次项的系数an和x的值．第二步，将v的值初始化为an，将i的值初始化为n－1.第三步，输入i次项的系数ai.第四步，v＝vx＋ai，i＝i－1.第五步，判断i是否大于或等于0.若是，则返回第三步；否则，输出多项式的值v.(3)程序框图和相应程序程序框图如图所示，程序如下．2．进位制(1)进位制的概念进位制是人们为了______和______方便而约定的记数系统，“满几进一”就是______制，______制的基数就是______．常见的进位制有二进制、八进制、十进制、十六进制及六十进制．(2)k进制数的表示方法一般地，若k是一个大于1的整数，那么以k为基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式：anan－1an－2…a1a0(k)(an，an－1，…，a1，a0∈N，0＜an＜k，0≤an－1，…，a1，a0＜k)．计数运算几进几进几(3)k进制数与10进制数的转化①由k进制anan－1an－2…a1a0(k)转化为10进制数anan－1an－2…a1a0＝an×kn＋an－1×kn－1＋an－2×kn－2＋…＋a1×k＋a0×k0；②由10进制数转化为k进制数——除k取余法．■名师点拨为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，如110001(2)表示二进制数，37(8)表示八进制数，十进制数一般不标注基数．用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x6＋6x5＋3x2＋2，当x＝4时的值时，先算的是()A．4×4B．7×4C．4×4×4D．7×4＋6解析：选D.因为f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0，所以用秦九韶算法求多项式f(x)＝7x6＋6x5＋3x2＋2当x＝4时的值时，先算的是7×4＋6.(2019·吉林省长春外国语学校月考)101110(2)转化为等值的八进制数是()A．46(8)B．56(8)C．67(8)D．78(8)解析：选B.101110(2)＝25＋23＋22＋2＝46＝5×8＋6＝56(8)．故选B.用秦九韶算法计算多项式f(x)＝3x6＋4x5＋5x4＋6x3＋7x2＋8x＋1当x＝0.4时的值时，需要做乘法和加法的次数分别是()A．6，6B．5，6C．5，5D．6，5答案：A完成不同进位制数之间的转化119(10)＝________(6)．解析：所以119(10)＝315(6)．答案：315(2019·湖北省华中师范大学第一附属中学期末考试)用秦九韶算法求多项式f(x)＝11＋35x＋9x3＋5x5＋2x6当x＝－1时的值，有如下说法：①要用到6次乘法；②要用到6次加法和15次乘法；③v3＝12；④v0＝11.其中说法正确的是()A．①③B．①④C．②④D．①③④秦九韶算法及其应用【解析】因为f(x)＝11＋35x＋9x3＋5x5＋2x6＝(((((2x＋5)x＋0)x＋9)x＋0)x＋35)x＋11，所以需做加法与乘法的次数都是6次，所以v0＝2，v1＝v0x＋a5＝2×(－1)＋5＝3，v2＝v1x＋a4＝3×(－1)＋0＝－3，v3＝v2x＋a3＝－3×(－1)＋9＝12，所以v3的值为12.其中正确的是①③.故选A.【答案】A利用秦九韶算法求多项式的值的步骤1．(2019·湖北省华中师范大学第一附属中学期末考试)用秦九韶算法求多项式f(x)＝2x5－x4＋2x2＋5x＋3当x＝3的值时，v0＝2，v1＝5，则v2的值是()A．2B．1C．15D．17解析：选C.f(x)＝2x5－x4＋2x2＋5x＋3＝(2x4－x3＋2x＋5)x＋3＝((2x3－x2＋2)x＋5)x＋3＝(((2x2－x)x＋2)x＋5)x＋3＝((((2x－1)x)x＋2)x＋5)x＋3，当x＝3时，v0＝2，v1＝2×3－1＝5，v2＝5×3＝15.故选C.2．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s＝()A．7B．12C．17D．34解析：选C.法一：(通性通法)第一步，a＝2，s＝0×2＋2＝2，k＝1；第二步，a＝2，s＝2×2＋2＝6，k＝2；第三步，a＝5，s＝6×2＋5＝17，k＝3＞2，跳出循环．故输出的s＝17.法二：(光速解法)由秦九韶算法的意义可知s＝f(x)＝[(0×x＋2)x＋2]x＋5＝2x2＋2x＋5，故输出的s＝f(2)＝17.(1)(2019·山西省怀仁县第一中学期末考试)把“二进制”数101101(2)化为“八进制”数是()A．40(8)B．45(8)C．50(8)D．55(8)(2)将十进制数458转化为四进制数为________．进位制【解析】(1)因为101101(2)＝1×25＋0＋1×23＋1×22＋0＋1×20＝45(10)，再利用“除8取余法”，可得45(10)＝55(8)．故选D.(2)所以458＝13022(4)．【答案】(1)D(2)13022(4)将本例(1)中的二进制数101101(2)转化为三进制数．解：101101(2)＝1×25＋0×24＋1×23＋1×22＋0×21＋1×20＝45，所以45＝1200(3)，所以101101(2)＝1200(3)．(1)k进制数化为十进制数的步骤①把k进制数写成不同数位上的数字与k的幂的乘积之和的形式；②按十进制数的运算规则运算出结果．(2)十进制数化为k进制数(除k取余法)的步骤1．(2019·黑龙江省双鸭山市第一中学期末考试)下列四个数中，数值最小的是()A．25B．111C．11100(2)D．10111(2)解析：选D.将二进制化为十进制，可得10111(2)＝1＋2＋4＋16＝23，11100(2)＝4＋8＋16＝28，因为232528111，所以数值最小的是10111(2)．故选D.2．(2019·福建省三明市期末质量检测)将五进制数42(5)化为十进制数为()A．10B．22C．110D．1010解析：选B.五进制数42(5)化为十进制数为4×51＋2×50＝22.故选B.3．(2019·广西南宁市第三中学月考)将八进制数135(8)化为二进制数为()A．1110101(2)B．1011101(2)C．1010101(2)D．1111001(2)解析：选B.135(8)＝1×82＋3×8＋5＝93＝1×26＋1×24＋1×23＋1×22＋1＝(1011101)(2)．故选B.(1)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州安岳(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为4，3，则输出v的值为()中国古代数学文化中的算法问题A．20B．61C．183D．548(2)公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为________．(参考数据：sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305)【解析】(1)初始值n，x的值分别为4，3，程序运行过程如下：v＝1，i＝3≥0，v＝1×3＋3＝6，i＝2≥0；v＝6×3＋2＝20，i＝1≥0；v＝20×3＋1＝61，i＝0≥0；v＝61×3＋0＝183，i＝－1＜0，结束循环，此时输出v的值为183.故选C.(2)n＝6，S＝12×6×sin60°＝332≈2.598＜3.1，不满足条件，进入循环；n＝12，S＝12×12×sin30°＝3＜3.1，不满足条件，继续循环；n＝24，S＝12×24×sin15°≈12×0.2588＝3.1056＞3.1，满足条件，退出循环，输出n的值为24.【答案】(1)C(2)24中国古代数学文化与算法框图的结合题是近几年来高考的热点，解决该类题目首先要在了解传统文化的基础上读懂框图含义，其次运行程序框图得出输出结果．我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n＝()A．4B．5C．2D．3解析：选A.执行程序框图，可得a＝1，A＝1，S＝0，n＝1，S＝2，不满足条件S≥10，执行循环体，n＝2，a＝12，A＝2；S＝92，不满足条件S≥10，执行循环体，n＝3，a＝14，A＝4；S＝354，不满足条件S≥10，执行循环体，n＝4，a＝18，A＝8；S＝1358，满足条件S≥10，退出循环，输出n的值为4，故选A.1．秦九韶算法的先进性主要体现在减少运算次数，下列说法正确的是()A．秦九韶算法可以减少加法运算次数B．秦九韶算法可以减少乘法运算次数C．秦九韶算法同时减少加法和乘法的运算次数D．秦九韶算法中，加法和乘法的运算次数都有可能减少解析：选B.通过对秦九韶算法的理解可知，它的主要作用是减少乘法运算的次数，将原来的乘法运算次数由n（n＋1）2减少到n，而对加法运算没有影响．2．(2019·贵州省铜仁市第一中学期中考试)用秦九韶算法计算多项式f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x在x＝3时，可得v4＝(v4表示由内到外第四个一次多项式的值)()A．789B．－86C．262D．－262解析：选A.f(x)＝7x7＋6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x＝((((((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3)x＋2)x＋1)x，故v4＝(((7x＋6)x＋5)x＋4)x＋3，当x＝3时，v4＝(((7×3＋6)×3＋5)×3＋4)×3＋3＝789.故选A.3．(2019·安徽省屯溪第一中学期中考试)729化成六进制，其结果是()A．3321(6)B．3223(6)C．3213(6)D．3123(6)解析：选C.729÷6＝121，余数是3，121÷6＝20，余数是1，20÷6＝3，余数是2.3÷6＝0，余数3故729(10)＝3213(6)．故选C.4．(2019·山西大学附属中学模块诊断)10101000(2)＝________(5)．解析：由题意可得：10101000(2)＝27＋25＋23＝168，利用竖式除法有：据此可得：10101000(2)＝1133(5)．答案：1133