2019-2020学年高中数学 第一章 数列 2.1 等差数列 第1课时 等差数列的概念及通项公式课

第一章数列§2等差数列2．1等差数列第1课时等差数列的概念及通项公式1．等差数列的概念(1)定义：如果一个数列从起，每一项与前一项的差是，那么称这样的数列为等差数列，这个为等差数列的公差，通常用字母表示．(2)等差中项：如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成__________，那么A叫作a与b的等差中项，且A＝______．第2项同一个常数常数d等差数列a＋b22．等差数列的通项公式若{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，则{an}的通项公式为．an＝a1＋(n－1)d3．等差数列与一次函数的关系由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可得an＝dn＋(a1－d)，如果设p＝d，q＝a1－d，则an＝pn＋q，其中p，q是常数．当p≠0时，表示数列的各点均在一次函数y＝px＋q的图像上．总之，公差不为零的等差数列的图像是直线上的均匀排开的的点．当公差为零时，等差数列为，此时数列的图像是平行于x轴的直线(或x轴)上的均匀排开的一群孤立的点．y＝px＋q一群孤立常数列判断题.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列1，1，1，1，1是等差数列．()(2)若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．()(3)任意两个实数都有等差中项．()(4)等差数列的公差是相邻两项的差．()(5)数列{an}满足an＋1－an＝n，则数列{an}是等差数列．()√×√××已知等差数列{an}的首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an＝()A．4－2nB．2n－4C．6－2nD．2n－6答案：C已知实数m是1和5的等差中项，则m＝()A.5B．±5C．3D．±3答案：C已知等差数列{an}中，d＝－13，a7＝8，则a1＝________．答案：10已知等差数列{an}中，a1＝3，an＝21，d＝2，则n＝________．答案：101．理解等差数列的定义应注意三点(1)“从第2项起”：①第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合；②定义中包括首项这一基本量，且必须从第2项起保证使数列中各项均与前面一项作差．(2)“每一项与它的前一项的差”：这一运算要求，它的含义也有两个：其一是强调作差的顺序，即后面的项减前面的项；其二是强调这两项必须相邻．(3)“同一个常数”：若一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的差等于常数，但是常数不同，则这个数列不是等差数列．2．对等差中项定义的两点说明(1)根据定义，如果A是x与y的等差中项，那么A－x＝y－A⇔2A＝x＋y⇔A＝x＋y2，反之成立．(2)在等差数列{an}中，从第2项起，每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项，表示为an＋1＝an＋an＋22.它等价于an＋an＋2＝2an＋1，an＋1－an＝an＋2－an＋1.等差数列的判断与证明判断下列数列是否为等差数列．(1)在数列{an}中，an＝3n＋2；(2)在数列{an}中，an＝n2＋n.【解】(1)an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(n∈N＋)．由n的任意性知，这个数列为等差数列．(2)an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，不是常数，所以这个数列不是等差数列．等差数列的判定方法(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N＋)⇔{an}为等差数列．(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N＋)⇔{an}为等差数列．(3)通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数，n∈N＋)⇔{an}为等差数列．[注意]如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．1.(1)在数列{an}中，a1＝2，2an＋1＝2an＋1(n∈N＋)，则数列{an}是()A．公差为1的等差数列B．公差为12的等差数列C．公差为2的等差数列D．不是等差数列(2)设各项均为正数的无穷数列{an}和{bn}满足：对任意n∈N＋都有2bn＝an＋an＋1，且a2n＋1＝bn·bn＋1.求证：{bn}是等差数列．解：(1)选B.因为2an＋1－2an＝1，所以an＋1－an＝12，所以数列{an}是公差为12的等差数列．(2)证明：由a2n＋1＝bn·bn＋1，得an＋1＝bn·bn＋1，所以an＝bn－1·bn.代入2bn＝an＋an＋1，得2bn＝bn－1·bn＋bn·bn＋1.所以2bn＝bn－1＋bn＋1.所以{bn}是等差数列．等差数列的通项公式及其应用已知数列{an}为等差数列，a3＝5，a7＝13，求数列{an}的通项公式．【解】设an＝a1＋(n－1)d，则a1＋2d＝5，a1＋6d＝13，解得a1＝1，d＝2.所以{an}的通项公式为an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.故数列{an}的通项公式是an＝2n－1.在本例条件下，问21是不是这个数列中的项？40是不是这个数列中的项？若是，分别是第几项？解：令21＝2n－1，解得n＝11，所以21是这个数列中的项，是第11项．令40＝2n－1，解得n＝412.因为412不是正整数，所以40不是这个数列中的项．(1)求等差数列通项公式的步骤(2)等差数列通项公式中的四个参数及其关系等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d四个参数a1，d，n，an“知三求一”知a1，d，n求an知a1，d，an求n知a1，n，an求d知d，n，an求a12.(1)等差数列{an}中，a1＝13，a2＋a5＝4，an＝33，则n等于()A．50B．49C．48D．47(2)在等差数列{an}中，若a3＋a8＋a13＝12，a3a8a13＝28.求数列{an}的通项公式．解：(1)选A.设等差数列{an}的公差为d，由题得2a1＋5d＝4，将a1＝13代入得，d＝23，则an＝13＋23(n－1).令an＝33，得n＝50，选A.(2)设{an}的首项为a1，公差为d，则由a3＋a8＋a13＝12，得a1＋7d＝4，所以a1＝4－7d.代入a3a8a13＝28，并整理得(4－5d)×4×(4＋5d)＝28，即d＝±35.当d＝35时，a1＝－15，an＝35n－45；当d＝－35时，a1＝415，an＝－35n＋445.等差数列与一次函数的关系已知(3，5)，(5，3)是等差数列{an}的图像上的两点．(1)求a8；(2)画出这个数列的图像；(3)判断这个数列的单调性．【解】(1)设等差数列{an}的公差为d.由于(3，5)，(5，3)是等差数列{an}的图像上的两点，所以a3＝5，a5＝3.由a1＋2d＝5，a1＋4d＝3得d＝－1，a1＝7.所以an＝7＋(n－1)×(－1)＝8－n，故a8＝0.(2)图像是直线y＝8－x上一些等间隔的点．如图所示．(3)因为一次函数y＝8－x是减函数，所以数列{an}是递减数列．等差数列{an}(非常数列)的通项公式an是关于n的一次函数，因此在解决有关等差数列问题时，可以考虑利用一次函数的有关性质进行求解．3.(1)已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，则a45＝____________．(2)已知等差数列{an}的通项公式为an＝2n－7.①画出这个数列的图像；②该数列是否有最大项、最小项．解：(1)因为所给数列不是常数列，所以等差数列{an}的通项公式是关于n的一次函数，则点A(15，33)，B(61，217)，C(45，a45)三点共线，所以kAB＝kBC，即217－3361－15＝217－a4561－45，解得a45＝153.故填153.(2)①易知数列的各点均在直线y＝2x－7上，画出图像如图所示：②因为一次函数y＝2x－7是增函数，所以数列{an}有最小项a1＝－5，无最大项．思想方法运用“对称设项法”解题已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数．【解】设这四个数分别为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，根据题意，得（a－3d）＋（a－d）＋（a＋d）＋（a＋3d）＝26，（a－d）（a＋d）＝40，化简，得4a＝26，a2－d2＝40，解得a＝132，d＝±32.故这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2.(1)本题是运用“对称设项法”，用此方法来设项能达到简化运算的目的．(2)当等差数列{an}的项数n为奇数时，可设中间一项为a，再用公差为d向两边分别设项：…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，…；当项数n为偶数时，可设中间两项为a－d，a＋d，再以公差为2d向两边分别设项：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，这样可减少计算量．1．下列哪个数不是等差数列0，－312，－7，…的项()A．－20B．－21C．－212D．－352解析：选A.由题意可知：a1＝0，d＝－312，所以此数列的通项公式为an＝－72n＋72.令－72n＋72＝－20，解得n＝477.因为－72n＋72＝－20没有正整数解，所以－20不是这个数列的项．2．已知数列{an}满足a2n＋1＝a2n＋4，且a1＝1，an0，则an＝________．解析：因为a2n＋1－a2n＝4，所以{a2n}是等差数列，且首项a21＝1，公差d＝4，所以a2n＝1＋(n－1)·4＝4n－3.又an0，所以an＝4n－3.答案：4n－33．在等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7.(1)求数列的第10项；(2)问112是数列{an}的第几项？(3)在80到110之间有多少项？解：设{an}的公差为d，则a1＋a1＋4d＝8，a1＋3d＝7，解得a1＝－2，d＝3，(1)a10＝a1＋9d＝－2＋27＝25.(2)an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5，由112＝3n－5，解得n＝39.所以112是数列{an}的第39项．(3)由803n－5110，解得2813n3813，所以n的取值为29，30，…，38，共10项．