2019-2020学年高中数学 第一章 三角函数章末总结课件 新人教A版必修4

章末总结网络建构知识辨析判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里打“√”,错误的打“×”.1.锐角是第一象限角,反之亦然.()×2.不相等的角终边一定不相同.()3.点P(tanα,cosα)在第三象限,则角α终边在第二象限.()4.若α,β为锐角,则sin2α+cos2β=1.()×√×5.若α∈R,则tanα=sincos恒成立.()6.若sin(kπ-α)=13(k∈Z),则sinα=13.()××7.正切函数y=tanx在定义域内是增函数.()×8.由sin(π6+2π3)=sinπ6知,2π3是正弦函数y=sinx(x∈R)的一个周期.()×9.已知y=ksinx+1,x∈R,则y的最大值为k+1.()10.y=sin|x|是偶函数.()×√题型归纳真题赏析题型归纳·素养提升题型一任意角的三角函数的定义及应用[典例1](1)已知点P在角4π3的终边上,且|OP|=4,则点P的坐标为()(A)(-2,-23)(B)(-12,-32)(C)(-23,-2)(D)(-32,-12)解析:(1)点P的坐标为(|OP|·cos4π3,|OP|·sin4π3),即(-2,-23),故选A.(2)已知α是第二象限的角,其终边上一点为P(x,5),且cosα=24x,则tanα等于()(A)155(B)153(C)-155(D)-153解析:(2)因为25xx=24x且α在第二象限,所以x=-3,所以tanα=53=-153.故选D.规律方法(1)利用三角函数的定义,已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值;已知角α的三角函数值,也可以求出点P的坐标或其他参数的取值.(2)利用三角函数的定义求三角函数值时,除了r是正值外,点的横、纵坐标都可正可负.要注意对符号的分类讨论.解:sin(-π2-α)=-cosα,Cos(-5π2-α)=cos(2π+π2+α)=-sinα.所以sinα·cosα=60169,即2sinα·cosα=120169.①又因为sin2α+cos2α=1,②①+②得(sinα+cosα)2=289169,题型二同角三角函数的关系式及诱导公式[典例2]已知sin(-π2-α)·cos(-5π2-α)=60169,且π4απ2,求sinα与cosα的值.②-①得(sinα-cosα)2=49169,又因为α∈(π4,π2),所以sinαcosα0,即sinα+cosα0,sinα-cosα0,所以sinα+cosα=1713,③sinα-cosα=713,④③+④得sinα=1213,③-④得cosα=513.规律方法同角三角函数的基本关系和诱导公式是三角恒等变形的主要依据,主要应用方向是三角函数式的化简、求值和证明.常用以下方法技巧:(1)化弦:当三角函数式中三角函数名称较多时,往往把三角函数化为弦,再化简变形.(2)化切:当三角函数式中含有正切及其他三角函数时,有时可将三角函数名称都化为正切,再化简变形.(3)“1”的代换:在三角函数式中,有些会含有常数1,常数1虽然非常简单,但有些三角函数式的化简却需要利用三角函数公式将1代换为三角函数式.题型三三角函数的图象及变换[典例3]如图是函数y=Asin(ωx+)+k(A0,ω0,||π2)的一段图象.(1)求此函数解析式;解:(1)由图象知A=13()222=12,k=13()222=-1,T=2×(2π3-π6)=π,所以ω=2πT=2.所以y=12sin(2x+)-1.当x=π6时,y=-12,即2×π6+=π2+2kπ,k∈Z,又||π2,所以=π6.所以所求函数解析式为y=12sin(2x+π6)-1.(2)分析一下该函数是如何通过y=sinx变换得来的?解:(2)把y=sinx向左平移π6个单位得到y=sin(x+π6),然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的12,得到y=sin(2x+π6),再横坐标保持不变,纵坐标变为原来的12得到y=12sin(2x+π6),最后把函数y=12sin(2x+π6)的图象向下平移1个单位,得到y=12sin(2x+π6)-1的图象.规律方法三角函数的图象是研究三角函数性质的基础,又是三角函数性质的具体体现.在平时的考查中,主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定,以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质上.具体要求:(1)用“五点法”作y=Asin(ωx+)的图象时,确定五个关键点的方法是分别令ωx+=0,π2,π,3π2,2π.(2)对于y=Asin(ωx+)的图象变换,应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别.(3)已知函数图象求函数y=Asin(ωx+)(A0,ω0)的解析式时,常用的解题方法是待定系数法.题型四三角函数的性质[典例4]已知函数f(x)=2sin(2x+π6)+a+1(其中a为常数).(1)求f(x)的单调区间;解:(1)由-π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ,k∈Z,解得-π3+kπ≤x≤π6+kπ,k∈Z,所以函数f(x)的单调增区间为[-π3+kπ,π6+kπ](k∈Z),由π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ,k∈Z,解得π6+kπ≤x≤2π3+kπ,k∈Z,所以函数f(x)的单调减区间为[π6+kπ,2π3+kπ](k∈Z).(2)若x∈[0,π2]时,f(x)的最大值为4,求a的值;解:(2)因为0≤x≤π2,所以π6≤2x+π6≤7π6,所以-12≤sin(2x+π6)≤1,所以f(x)的最大值为2+a+1=4,所以a=1.(3)求f(x)取最大值时x的取值集合.解:(3)当f(x)取最大值时,2x+π6=π2+2kπ,所以2x=π3+2kπ,所以x=π6+kπ,k∈Z.所以当f(x)取最大值时,x的取值集合是﹛x︱x=π6+kπ,k∈Z﹜.规律方法三角函数的性质是三角函数部分的重点内容,要熟练掌握三角函数的定义域、值域、周期性、单调性和奇偶性的求法.理解整体代换的思想是解决这种题型的关键.在此基础上,掌握函数y=Asin(ωx+),y=Acos(ωx+)及y=Atan(ωx+)的相关性质.题型五易错辨析[典例5]函数y=cos2x-4cosx+5的值域是.错解:由于函数y=(cosx-2)2+1≥1,所以该函数的值域是[1,+∞).纠错:求函数值域时,树立定义域优先的原则.定义域是函数的三要素之一,研究函数的性质一般要先考虑函数的定义域,三角函数也不例外,当求其值域时,不要想当然认为定义域为R,另外在利用换元法求解有关“二次函数型”函数值域问题时要特别注意换元后“新元”的范围,以免扩大或缩小自变量的取值范围.本例在探求y=(cosx-2)2+1的值域时,误认为cosx∈R,而忽略了余弦函数的有界性,即|cosx|≤1.正解:令t=cosx,由于x∈R,故-1≤t≤1,y=t2-4t+5=(t-2)2+1.当t=-1,即cosx=-1时函数有最大值10;当t=1,即cosx=1时函数有最小值2.所以该函数的值域是[2,10].答案:[2,10]真题赏析·素养升级C1.(2017·全国Ⅱ卷)函数f(x)=sin(2x+π3)的最小正周期为()(A)4π(B)2π(C)π(D)π2解析:T=2π=2π2=π.故选C.A2.(2017·全国Ⅲ卷)函数f(x)=15sin(x+π3)+cos(x-π6)的最大值为()(A)65(B)1(C)35(D)15解析:f(x)=15(12sinx+32cosx)+12sinx+32cosx,f(x)=65(12sinx+32cosx)=65sin（x+π3）,所以f(x)max=65,故选A.3.(2016·全国Ⅱ卷)函数y=Asin(ωx+)的部分图象如图所示,则()(A)y=2sin（2x-π6）(B)y=2sin（2x-π3）(C)y=2sin（x+π6）(D)y=2sin（x+π3）A解析:T=2（π3+π6）=π=2π得ω=2,A=2.当x=π3时,y=2sin（23π+）=2,2π3+=π2+2kπ,k∈Z,=-π6+2kπ,k∈Z.故选A.4.(2017·全国Ⅲ卷)设函数f(x)=cos（x+π3）,则下列结论错误的是()(A)f(x)的一个周期为-2π(B)y=f(x)的图像关于直线x=8π3对称(C)f(x+π)的一个零点为x=π6(D)f(x)在（π2,π）单调递减D解析:f(x)=cos（x+π3）中,x∈（π2,π）,x+π3∈（5π6,4π3）,则f(x)=cos（x+π3）不是单调函数.故选D.5.(2018·全国Ⅲ卷)函数f(x)=cos（3x+π6）在[0,π]的零点个数为__________.解析:由题意可知,当3x+π6=kπ+π2(k∈Z)时,f(x)=cos（3x+π6）=0.因为x∈[0,π],所以3x+π6∈[π6,196π],所以当3x+π6取值为π2,3π2,5π2时,f(x)=0,即函数f(x)=cos(3x+π6)在[0,π]的零点个数为3.答案:3