2019-2020学年高中数学 第一章 三角函数 第4节 三角函数的图象与性质 1.4.2 正弦函数

1.4.2正弦函数、余弦函数的性质一、预习教材·问题导入根据以下提纲，预习教材P34～P40的内容，回答下列问题．(1)观察正弦函数和余弦函数的图象，你认为正弦函数值和余弦函数值有怎样的变化规律？提示：具有“周而复始”的变换规律．(2)正弦曲线和余弦曲线各有怎样的对称性？提示：正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于y轴对称．(3)诱导公式sin(－x)＝－sinx，cos(－x)＝cosx，体现了正弦函数y＝sinx和余弦函数y＝cosx的什么性质？提示：正弦函数y＝sin_x为奇函数，余弦函数y＝cos_x为偶函数．(4)正、余弦函数的定义域、值域各是什么？提示：正、余弦函数的定义域为R，值域为[－1，1]．(5)正弦函数在－π2，3π2上函数值的变化有什么特点？余弦函数在[0，2π]上函数值的变化有什么特点？提示：y＝sinx在－π2，π2上，曲线逐渐上升，是增函数，函数值y由－1增大到1；在π2，3π2上，曲线逐渐下降，是减函数，函数值y由1减小到－1.y＝cosx在[0，π]上，曲线逐渐下降，是减函数，函数值由1减小到－1，在[π，2π]上，曲线逐渐上升，是增函数，函数值由－1增大到1．二、归纳总结·核心必记1.函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个，使得当x取定义域内的值时，都有，那么函数f(x)就叫做周期函数，叫做这个函数的周期．(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个，那么这个就叫做f(x)的最小正周期．非零常数T每一个f(x＋T)＝f(x)非零常数T最小的正数最小正数(3)记f(x)＝sinx，则由sin(2kπ＋x)＝sinx(k∈Z)，得f(x＋2kπ)＝f(x)对于每一个非零常数2kπ(k∈Z)都成立，余弦函数同理也是这样，所以正弦函数、余弦函数都是周期函数，都是它们的周期，最小正周期为．2kπ(k∈Z且k≠0)2π2.正、余弦函数的性质函数名称图象与性质y＝sinxy＝cosx图象定义域值域周期性最小正周期为最小正周期为RR[－1，1][－1，1]2π2π三、综合迁移·深化思维(1)若f(2x＋T)＝f(x)恒成立，T是f(x)的周期吗？提示：不是．自变量x本身加非零常数T才可以，即f(x＋T)＝f(x)．(2)周期函数的定义域一定是x∈R吗？提示：不一定．但周期函数的定义域一定是无限集．(3)周期函数的周期是唯一的吗？提示：不唯一．若T是函数的周期，则kT(k∈Z)也是函数的周期．(4)正弦函数和余弦函数的图象都既是中心对称图形又是轴对称图形，它们的对称中心和对称轴有什么关系？提示：正弦函数图象的对称中心、对称轴分别与余弦函数图象的对称轴，对称中心对应．探究点一正、余弦函数的周期性[典例精析]1．求下列三角函数的最小正周期：(1)y＝3sinx，x∈R；(2)y＝cos2x，x∈R；(3)y＝sin13x－π4，x∈R；(4)y＝|cosx|，x∈R.[解](1)因为3sin(x＋2π)＝3sinx，由周期函数的定义知，y＝3sinx的周期为2π.(2)因为cos2(x＋π)＝cos(2x＋2π)＝cos2x，由周期函数的定义知，y＝cos2x的周期为π.(3)因为sin13（x＋6π）－π4＝sin13x＋2π－π4＝sin13x－π4，由周期函数的定义知，y＝sin13x－π4的周期为6π.(4)y＝|cosx|的图象如图(实线部分)所示，由图象可知，y＝|cosx|的周期为π.[类题通法]求三角函数的周期的方法(1)正弦函数和余弦函数的周期性实质是由终边相同的角所具有的周期性决定的．(2)求三角函数的周期，通常有三种方法：①定义法．②公式法．对于y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)，T＝2π|ω|；③观察法(图象法)．三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当方法求解，为了避免出现错误，求周期之前要尽可能将函数化为同名同角三角函数，且函数的次数为1.[针对训练]1．求下列函数的最小正周期：(1)y＝3sinπx2＋3；(2)y＝cos|x|.解：(1)由T＝2ππ2＝4，可得函数的最小正周期为4.(2)由于函数y＝cosx为偶函数，所以y＝cos|x|＝cosx，从而函数y＝cos|x|与y＝cosx的图象一样，因此最小正周期相同，为2π.探究点二正、余弦函数的奇偶性[典例精析]2．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝2sin2x；(2)f(x)＝sin3x4＋3π2；(3)f(x)＝sin|x|；(4)f(x)＝1－cosx＋cosx－1.[解](1)显然x∈R，f(－x)＝2sin(－2x)＝－2sin2x＝－f(x)，所以f(x)＝2sin2x是奇函数．(2)显然x∈R，f(x)＝sin3x4＋3π2＝－cos3x4，所以f(－x)＝－cos－3x4＝－cos3x4＝f(x)，所以函数f(x)＝sin3x4＋3π2是偶函数．(3)显然x∈R，f(－x)＝sin|－x|＝sin|x|＝f(x)，所以函数f(x)＝sin|x|是偶函数．(4)由1－cosx≥0，cosx－1≥0，得cosx＝1，所以x＝2kπ(k∈Z)，此时f(x)＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数．[类题通法]与三角函数奇偶性有关的结论(1)要使y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)；(2)要使y＝Asin(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋π2(k∈Z)；(3)要使y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ＋π2(k∈Z)；(4)要使y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)．[针对训练]2．函数y＝sin12x－φ(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ的值是()A．0B.π4C.π2D．π解析：选C由题意得sin(－φ)＝±1，即sinφ＝±1.因为φ∈[0，π]，所以φ＝π2.故选C.探究点三正、余弦函数的单调性[典例精析](1)求函数y＝2sinx－π3的单调区间；(2)求函数y＝－2cos2x＋π3的单调区间；(3)求函数y＝|sinx|的单调递增区间．[解](1)令z＝x－π3，则y＝2sinz.∵z＝x－π3是增函数，∴y＝2sinz单调递增(减)时，函数y＝2sinx－π3也单调递增(减)．由z∈2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)，得x－π3∈2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)，即x∈2kπ－π6，2kπ＋5π6(k∈Z)，故函数y＝2sinx－π3的单调递增区间为2kπ－π6，2kπ＋5π6(k∈Z)．同理可求函数y＝2sinx－π3的单调递减区间为2kπ＋5π6，2kπ＋11π6(k∈Z)．(2)令u＝2x＋π3，函数y＝2cosu在u∈[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z时单调递减，由2kπ≤2x＋π3≤2kπ＋π，k∈Z，得kπ－π6≤x≤kπ＋π3，k∈Z，故函数y＝－2cos2x＋π3的单调递增区间为kπ－π6，kπ＋π3，k∈Z.函数y＝2cosu在u∈[2kπ－π，2kπ]，k∈Z时单调递增，由2kπ－π≤2x＋π3≤2kπ，k∈Z，得kπ－2π3≤x≤kπ－π6，k∈Z，故函数y＝－2cos2x＋π3的单调递减区间为kπ－2π3，kπ－π6，k∈Z.(3)画出y＝|sinx|图象如图所示，可知函数的单调递增区间为kπ，kπ＋π2(k∈Z)．[类题通法]与正、余弦函数有关的单调区间的求解技巧(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．(2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asinz的单调区间而求出函数的单调区间．若ω0，则可利用诱导公式将x的系数转变为正数．[针对训练]3．求函数y＝3sinπ3－2x的单调递减区间．解：∵y＝3sinπ3－2x＝－3sin2x－π3，∴y＝3sin2x－π3是增函数时，y＝3sinπ3－2x是减函数．∵函数y＝sinx在－π2＋2kπ，π2＋2kπ(k∈Z)上是增函数，∴－π2＋2kπ≤2x－π3≤π2＋2kπ，即－π12＋kπ≤x≤5π12＋kπ(k∈Z)．∴函数y＝3sinπ3－2x的单调递减区间为－π12＋kπ，5π12＋kπ(k∈Z)．探究点四正、余弦函数的最值问题[典例精析]4．求下列函数的值域：(1)y＝cosx＋π6，x∈0，π2；(2)y＝cos2x－4cosx＋5.[解](1)由y＝cosx＋π6，x∈0，π2可得x＋π6∈π6，2π3，函数y＝cosx在区间π6，2π3上单调递减，所以函数的值域为－12，32.(2)令t＝cosx，则－1≤t≤1.∴y＝t2－4t＋5＝(t－2)2＋1，∴t＝－1时，y取得最大值10，t＝1时，y取得最小值2.所以y＝cos2x－4cosx＋5的值域为[2，10]．[类题通法]求三角函数值域的常用方法(1)求解形如y＝asinx＋b(或y＝acosx＋b)的函数的最值或值域问题时，利用正、余弦函数的有界性(－1≤sinx，cosx≤1)求解，求三角函数取最值时相应自变量x的集合时，要注意考虑三角函数的周期性．(2)求解形如y＝asin2x＋bsinx＋c(或y＝acos2x＋bcosx＋c)，x∈D的函数的值域或最值时，通过换元，令t＝sinx(或cosx)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t＝sinx(或cosx)的有界性．[针对训练]4．求函数f(x)＝2sin2x＋2sinx－12，x∈π6，5π6的值域．解：令t＝sinx，y＝f(x)，∵x∈π6，5π6，∴12≤sinx≤1，即12≤t≤1.∴y＝2t2＋2t－12＝2t＋122－1，∴1≤y≤72，∴函数f(x)的值域为1，72.[课堂归纳领悟]1．本节课的重点是正弦函数和余弦函数的性质，难点是正、余弦函数的最值问题的求解．2．理解正、余弦函数的性质，要重点关注以下三点(1)正弦函数(余弦函数)不是定义域上的单调函数．另外，说“正弦函数(余弦函数)在第一象限内是增(减)函数”也是错误的，因为在第一象限内，即使是终边相同的角，它们也可以相差2π的整数倍．(2)正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点，即此时的正弦值(余弦值)取最大值或最小值．(3)正弦曲线(余弦曲线)的对称中心一定是正弦曲线(余弦曲线)与x轴的交点，即此时的正弦值(余弦值)为0.3．要重点掌握函数性质的应用(1)求正、余弦函数的周期，见探究点一；(2)判断正、余弦函数的奇偶性，见探究点二；(3)求正、余弦函数的单调区间，见探究点三；(4)求正、余弦函数的值域，见探究点四.4．本节课的易错点有以下两处(1)求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，如果ω＜0，应先利用诱导公式将其转化为正值，如练3.(2)求函数y＝Asin2x＋Bsinx＋C的值域时，易忽视正弦函数y＝sinx的有界性.