2019-2020学年高中数学 第一章 三角函数 第3节 三角函数的诱导公式 第2课时 诱导公式五、

第2课时诱导公式五、六一、预习教材·问题导入根据以下提纲，预习教材P26～P27的内容，回答下列问题．如图所示，设α是任意角，其终边与单位圆交于点P1(x，y)，与角α的终边关于直线y＝x对称的角的终边与单位圆交于点P2.(1)P2点的坐标是什么？提示：P2(y，x)．(2)π2－α的终边与角α的终边关于直线y＝x对称吗？它们的正弦、余弦值有何关系？提示：对称．sinπ2－α＝cos_α，cosπ2－α＝sin_α．二、归纳总结·核心必记1.诱导公式五和公式六2.诱导公式的记忆诱导公式一～六可归纳为k·π2±α的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”：（1）“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的．（2）“奇”、“偶”是对诱导公式k·π2±α中的整数k来讲的．（3）“象限”指k·π2±α中，将α看成锐角时，k·π2±α所在的象限，根据“一全正，二正弦、三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号．三、综合迁移·深化思维(1)诱导公式五、六中的α是任意角吗？提示：是．(2)在△ABC中，角A2与角B＋C2的三角函数值满足哪些等量关系？提示：∵A＋B＋C＝π，∴A2＝π2－B＋C2，∴sinA2＝sinπ2－B＋C2＝cosB＋C2，cosA2＝cosπ2－B＋C2＝sinB＋C2．探究点一化简求值[典例精析]1．已知f(α)＝sin（π－α）cos（2π－α）cos－α＋3π2cosπ2－αsin－π－α.(1)化简f(α)；(2)若α为第三象限角，且cosα－3π2＝15，求f(α)的值；(3)若α＝－31π3，求f(α)的值．[解](1)f(α)＝sinαcosα－sinαsinαsinα＝－cosα.(2)∵cosα－3π2＝－sinα＝15，∴sinα＝－15，又∵α为第三象限角，∴cosα＝－1－sin2α＝－265，∴f(α)＝265.(3)f－31π3＝－cos－31π3＝－cos－6×2π＋5π3＝－cos5π3＝－cosπ3＝－12.[类题通法]用诱导公式进行化简时的注意点(1)化简后项数尽可能的少．(2)函数的种类尽可能的少．(3)分母不含三角函数的符号．(4)能求值的一定要求值．[针对训练]1．化简：(1)cosα－πsinπ－α·sinα－π2cosπ2＋α；(2)sin(－α－5π)cosα－π2－sin3π2＋αcos(α－2π)．解：(1)原式＝cos[－π－α]sinα·sin－π2－α(－sinα)＝cosπ－αsinα·－sinπ2－α(－sinα)＝－cosαsinα·(－cosα)(－sinα)＝－cos2α.(2)原式＝sin(－α－π)cos－π2－α－sinπ＋π2＋α·cos[－(2π－α)]＝sin[－(α＋π)]cosπ2－α＋sinπ2＋αcos(2π－α)＝－sin(α＋π)sinα＋cosαcosα＝sin2α＋cos2α＝1.探究点二条件求值问题[典例精析]2．(1)已知cos31°＝m，则sin239°tan149°的值是()A.1－m2mB.1－m2C．－1－m2mD．－1－m2(2)已知sinπ3－α＝12，则cosπ6＋α的值为________．[解](1)sin239°tan149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°)＝－sin59°(－tan31°)＝－sin(90°－31°)·(－tan31°)＝－cos31°·(－tan31°)＝sin31°＝1－cos231°＝1－m2.(2)cosπ6＋α＝cosπ2－π3－α＝sinπ3－α＝12.答案：(1)B(2)12[类题通法]解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角，函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．[针对训练]2．已知cos(π＋α)＝－12，求cosπ2＋α的值．解：∵cos(π＋α)＝－cosα＝－12，∴cosα＝12，∴α为第一或第四象限角．①若α为第一象限角，则cosπ2＋α＝－sinα＝－1－cos2α＝－1－122＝－32；②若α为第四象限角，则cosπ2＋α＝－sinα＝1－cos2α＝1－122＝32.探究点三三角恒等式的证明[典例精析]3．求证：tan（2π－α）sin（－2π－α）cos（6π－α）sin3π2＋αcos3π2＋α＝－tanα.[解]左边＝tan（－α）sin（－α）cos（－α）sin2π－π2－αcos2π－π2－α＝（－tanα）（－sinα）cosαsin－π2－αcos－π2－α＝sin2α－sinπ2－αcosπ2－α＝sin2α－cosαsinα＝－sinαcosα＝－tanα＝右边．即原等式成立．[类题通法]三角恒等式的证明策略对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法，拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．[针对训练]3．求证：sin（2π－θ）cos（π＋θ）cosπ2＋θcos11π2－θcos（π－θ）sin（3π－θ）sin（－π－θ）sin9π2＋θ＝－tanθ.证明：sin（2π－θ）cos（π＋θ）cosπ2＋θcos11π2－θcos（π－θ）sin（3π－θ）sin（－π－θ）sin9π2＋θ＝－sinθ·（－cosθ）·（－sinθ）·cos3π2－θ－cosθ·sinθ·sinθ·sinπ2＋θ＝sinθ·cosθ·sinθ·sinθ－cosθ·sinθ·sinθ·cosθ＝－tanθ.[课堂归纳领悟]1．本节课的重点是诱导公式五、六及其应用，难点是利用诱导公式解决条件求值问题．2．要掌握诱导公式的三个应用(1)利用诱导公式解决化简求值问题，见探究点一；(2)利用诱导公式解决条件求值问题，见探究点二；(3)利用诱导公式解决三角恒等式的证明问题，见探究点三.3．本节课要掌握一些常见角的变换技巧π6＋α＝π2－π3－α⇔π6＋α＋π3－α＝π2，π4＋α＝π2－π4－α⇔π4＋α＋π4－α＝π2，5π6＋α－π3＋α＝π2等．